Valor esperado

Na teoria das probabilidades, o valor esperado (também chamado de esperança matemática, média ou primeiro momento) é uma generalização da média aritmética ponderada. Desde que seja finito, o valor esperado pode ser interpretado como a média de longo prazo dos resultados de repetições independentes de um mesmo experimento aleatório, conforme formalizado pela lei dos grandes números.

Para uma variável aleatória que assume um número finito de valores, o valor esperado é a média ponderada desses valores, tendo suas probabilidades como pesos. Mais genericamente, é a integral de Lebesgue da variável aleatória em relação à medida de probabilidade subjacente.

O valor esperado de uma variável aleatória $X$ é comumente denotado por ${\text{E}}(X)$ , ${\text{E}}[X]$ , ou ${\text{E}}X$ , por vezes com $E$ estilizado como $\mathbb {E}$ , ${\mathcal {E}}$ ou $E$ .

Definição matemática

Esperança de uma variável aleatória

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ e com as suas probabilidades representadas pela função $p(x_{i})$ , o valor esperado calcula-se pela série:

E[X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}p(x_{i})

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade $f(x)$ :

E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

E[g(X)]=\sum _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p(x_{i})

e

E[g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)dx

Deve-se notar que, no caso geral, $\mathbf {E}$ não comuta com a função g, ou seja:

E[g(X)]\neq g(E[X])

Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensão

Para o caso mais geral de $\mathbf {X}$ ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com $\mathbf {g}$ assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

E[\mathbf {g} (\mathbf {X} )]=\sum _{i=1}^{\infty }p(\mathbf {x_{i}} )\mathbf {g} (\mathbf {x_{i}} )

e

E[\mathbf {g} (\mathbf {X} )]=\int _{\Omega }\mathbf {g} dP

, em que a integral de Lebesgue é usada.

Exemplos

a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
a variável aleatória X dada por $p(X=(-10)^{n})=(1/2)^{n}$ para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
Seja um vetor aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as variáveis aleatórias $Y_{1},...,Y_{n}$ . A esperança de Y, $E[Y]$ , é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das variáveis aleatórias que compunham Y. Ou seja,

Y={\begin{bmatrix}Y_{1}\\\vdots \\Y_{n}\end{bmatrix}}\rightarrow E[Y]={\begin{bmatrix}E[Y_{1}]\\\vdots \\E[Y_{n}]\end{bmatrix}}

.

Propriedades do valor esperado

Nas seguintes propriedades, $X,Y$ são variáveis aleatórias, $a,b,c$ são constantes.

E(a)=a

E(a+X)=a+E(X)

E(bX)=bE(X)

E(a+bX)=a+bE(X)

Sejam: x o vetor aleatório N X 1 com valor esperado E(X) e variância $\sigma ^{2}\cdot I$ ; A uma matriz quadrada genérica de dimensão N x X; tr(A) o traço da matriz A. Então, a esperança da variável ao quadrado será:

$E(X^{2})=E(x^{T}Ax)=Var(X)\cdot tr(A)+[E(X)]^{T}\cdot A\cdot E(X)$

E para duas variáveis aleatórias:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(a+bX+cY)=a+bE(X)+cE(Y)

Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.

Operador esperança

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.

Esperança do produto

No caso geral, temos que

E[XY]\neq E[X]E[Y]

No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:

E[XY]=E[X]E[Y]

Esperança condicional

Seja uma variável aleatória $X:{\color {Red}\Omega }\rightarrow \mathbb {R}$ e uma sigma-álgebra ${\color {Magenta}\tau }$ no espaço amostral ${\color {Red}\Omega }$ . A esperança condicional de X, dado ${\color {Magenta}\tau }$ , é a variável aleatória $Z:{\color {Red}\Omega }\rightarrow \mathbb {R}$ tal que

Z=E\left[X|{\color {Magenta}\tau }\right]

=\sum _{i=1}^{n}x_{i}P\left[X=x_{i}|{\color {Magenta}\tau }\right]

.

Esta variável Z tem as seguintes propriedades:

Z não contém mais informação que a contida em ${\color {Magenta}\tau }:\sigma \left(Z\right)\subset {\color {Magenta}\tau }$ . Ou seja, a variável aleatória (que é sempre uma função) $\varpi \rightarrow Z\left(\varpi \right)$ é mensurável com relação a ${\color {Magenta}\tau }$ (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a ${\color {Magenta}\tau }$ )
Z satisfaz a relação $E(X(\varpi ).I_{A})$ $=E\left[Z\left(\varpi \right).I_{A}\right]\forall A\in {\color {Magenta}\tau }$ , onde $I_{A}$ é uma variável indicadora, que vale 1 se $\varpi \in A$ e 0 se $\varpi \not \in A$ .