Variância

Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória ou processo estocástico é uma medida da sua dispersão estatística, indicando "o quão longe" em geral os seus valores se encontram do valor esperado.

A variância de uma variável aleatória real é o seu segundo momento central e também o seu segundo cumulante (os cumulantes só diferem dos momentos centrais a partir do 4º grau, inclusive). Sendo o seu valor o quadrado do desvio padrão.

Algumas definições
Variância de uma variável aleatória é a medida de dispersão ou espalhamento em torno dos possíveis valores dessa variável aleatória (tradução livre, ).

História do conceito

O termo variância foi introduzido por Ronald Fisher num ensaio de 1918 intitulado de The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance. O conceito de variância é análogo ao conceito de momento de inércia em mecânica clássica.

Definição

Se μ = E(X) é o valor esperado (média) da variável aleatória X, então a variância é:

\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}).

Isto é, é o valor esperado do quadrado do desvio de X da sua própria média. Em linguagem comum isto pode ser expresso como "A média do quadrado da distância de cada ponto até a média". É assim a "média do quadrado dos desvios". A variância da variável aleatória "X" é geralmente designada por $\operatorname {var} (X)$ , $\sigma _{X}^{2}$ , ou simplesmente $\sigma ^{2}$ .

Notar que a definição acima pode ser usada quer para variáveis aleatórias discretas, quer para contínuas.

Muitas distribuições, tais como a distribuição de Cauchy, não têm variância porque o integral relevante diverge. Em particular, se uma distribuição não tem valores esperados, ela também não tem variância.

O contrário não é verdadeiro: há distribuições para as quais existe valor esperado mas não existe variância, como, por exemplo, a distribuição t de Student com 2 graus de liberdade. Um contra-exemplo mais simples é uma distribuição discreta sobre $\mathbb {N} ^{\star }\,$ em que a probabilidade de cada ponto n é proporcional a ${\frac {1}{n^{3}}}\,$ . O valor esperado será calculado através de uma série convergente $\Sigma {\frac {1}{n^{2}}}\,$ , e a variância através de uma série divergente $\Sigma {\frac {1}{n}}\,$ .

Exemplos

Distribuição exponencial

A distribuição exponencial com parâmetro ⁠ $\lambda >0$ ⁠ é uma distribuição contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ no intervalo $[0,\infty )$ . Sua média pode ser demonstrada como $\operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.$ Usando integração por partes e fazendo uso do valor esperado já calculado, temos: ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}$ Assim, a variância de ⁠ $X$ ⁠ é dada por $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.$

Dado honesto

Um dado de seis faces honesto, isto é, um dado não viciado no qual todos os resultados têm a mesma probabilidade de ocorrer (equiprováveis), pode ser modelado como uma variável aleatória discreta, ⁠ $X$ ⁠, com resultados de 1 a 6, cada um com probabilidade igual a 1/6. O valor esperado de ⁠ $X$ ⁠ é $(1+2+3+4+5+6)/6=7/2.$ Portanto, a variância de ⁠ $X$ ⁠ é ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$ A fórmula geral para a variância do resultado, ⁠ $X$ ⁠, de um dado de ⁠ $n$ ⁠ lados é ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$

Distribuições de probabilidade comumente utilizadas

A tabela a seguir lista a variância de algumas distribuições de probabilidade comumente usadas.

Nome da distribuição de probabilidade	Função de distribuição de probabilidade	Média	Variância
Distribuição binomial	$\Pr \,(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
Distribuição geométrica	$\Pr \,(X=k)=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\frac {(1-p)}{p^{2}}}$
Distribuição normal	$f\left(x\mid \mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}^{2}}$	$\mu$	$\sigma ^{2}$
Distribuição uniforme (contínua)	$f(x\mid a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{para }}a\leq x\leq b,\\[3pt]0&{\text{para }}x<a{\text{ or }}x>b\end{cases}}$	${\frac {a+b}{2}}$	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$
Distribuição exponencial	$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$	${\frac {1}{\lambda }}$	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Distribuição de Poisson	$f(k\mid \lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$	$\lambda$	$\lambda$

Propriedades

Se a variância pode ser calculada (ou seja, a integral ou o somatório convergem), podemos concluir que ela nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos.

A unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. Por exemplo, a variância de um conjunto de alturas medidas em centímetros será dada em centímetros quadrados. A variância de um preço, medido, por exemplo, em euros por metro cúbico, será dada em euros quadrados por metro à sexta potência, uma unidade que não faz nenhum sentido prático. Este facto é inconveniente e levou muitos estatísticos a usar a raiz quadrada da variância, conhecida como o desvio padrão, como um sumário da dispersão.

Pode ser provado facilmente a partir da definição que a variância não depende do valor médio $\mu$ . Isto é, se a variável é "deslocada" por uma quantidade b ao tomarmos X+b, a variância da variável aleatória resultante permanece inalterada. Por contraste, se a variável for multiplicada por um factor de escala a, a variância é então multiplicada por a². Mais formalmente, se a e b forem constantes reais e X uma variável aleatória cuja variância está definida, então:

\operatorname {var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {var} (X)

Outra fórmula para a variância que se deduz de forma simples a partir da definição acima é:

\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.

Na prática usa-se muito frequentemente esta fórmula para calcular mais rapidamente a variância.

Uma razão para o uso da variância em preferência a outras medidas de dispersão é que a variância da soma (ou diferença) de variáveis aleatórias independentes é a soma das suas variâncias. Uma condição não tão estrita, chamada de "incorrelação" (uncorrelatedness) também é suficiente. Para duas variáveis temos:

\operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)+2\operatorname {cov} (X,Y).

E em geral, para uma combinação linear qualquer:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\not =j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}

Aqui $\operatorname {cov}$ é a covariância, a qual é zero para variáveis aleatórias não correlacionadas.

Variância da população e variância da amostra

Em estatística, o conceito de variância também pode ser usado para descrever um conjunto de observações. Quando o conjunto das observações é uma população, é chamada de variância da população. Se o conjunto das observações é (apenas) uma amostra estatística, chamamos-lhe de variância amostral (ou variância da amostra).

A variância da população ( $\sigma ^{2}$ ) de valores $y_{i}$ (onde $i=1,2,\dots ,N$ ) é dada por:

$\sigma ^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-\mu )^{2}$

onde $\mu$ é a média da população.

Se tentarmos estimar a variância da população a partir de uma amostra de tamanho $n$ com observações $x_{i}$ , um primeiro estimador intuitivo (usando o divisor $n$ ) seria:

$s_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

onde ${\bar {x}}$ é a média da amostra.

No entanto, este estimador é enviesado para baixo. A sua esperança matemática é $\operatorname {E} [s_{n}^{2}]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}$ , ou seja, em média ele subestima a verdadeira variância da população.

Para corrigir esse viés, aplica-se a chamada Correção de Bessel, substituindo o divisor $n$ por $n-1$ . Isso resulta na fórmula clássica da variância amostral ( $s^{2}$ ), que é um estimador não enviesado para a variância populacional ( $\sigma ^{2}$ ):

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

Essa correção se faz necessária porque, na prática, a verdadeira média da população ( $\mu$ ) é desconhecida e acaba sendo estimada a partir dos próprios dados pela média amostral ( ${\bar {x}}$ ). Como os valores da amostra tendem a estar mais próximos da sua própria média amostral do que da média populacional, o cálculo subestima a real dispersão dos dados. Se a verdadeira média populacional $\mu$ fosse conhecida, usar o divisor $n$ calculando os desvios em relação a $\mu$ produziria, de fato, um estimador não enviesado.

O estimador não enviesado (também chamado de estimador centrado) costuma ser denotado por $s^{2}$ , mas também pode aparecer como $s_{n-1}^{2}$ , ${s'}^{2}$ ou até ${s'_{n}}^{2}$ . Independentemente da notação, ao desvio padrão populacional está associada a letra grega $\sigma$ e a divisão por $N$ , enquanto o desvio padrão amostral associa-se à letra $s$ e à divisão por $n-1$ , tendo sempre em conta que a variância é o quadrado do desvio padrão.

É intuitivo que, para amostras grandes, se possa admitir calcular a variância pela divisão por $n$ em vez de $n-1$ . Na prática, para um $n$ grande, esta distinção matemática torna-se insignificante.

Generalizações

Se X é uma variável aleatória vectorial, com valores em Rⁿ, e considerado como um vector coluna, então a generalização natural da variância é E[(X − μ)(X − μ)^T], onde μ = E(X) e X^T é a transposta de X, e logo um vetor-linha. A variância é uma matriz quadrada não-negativa definida, referida geralmente como a matriz de covariância.

Se X é uma variável aleatória de valores complexos, então a sua variância é E[(X − μ)(X − μ)^*], onde X^* é o conjugado complexo de X. Esta variância, assim como no caso real, é uma matriz quadrada não-negativa definida, cuja diagonal são números reais não-negativos.

Algoritmos para cálculo da variância

Distribuição da variância

Como a variância é uma função de variáveis aleatórias, a variância amostral é em si também uma variável aleatória, portanto também tem distribuição. Então, se y_i são observações independentes de uma distribuição normal, pelo teorema de Cochran a variância amostral s² tem uma distribuição qui-quadrado:

(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}.

Uma consequência direta deste resultado é que a esperança da variância amostral E(s²) = σ².

Se as observações y_i são independentes e identicamente distribuídas, mas não necessariamente distribuídas como uma normal, então

\operatorname {E} [s^{2}]=\sigma ^{2},\quad \operatorname {Var} [s^{2}]=\sigma ^{4}\left({\frac {2}{n-1}}+{\frac {\kappa }{n}}\right),

onde κ é o excesso de curtose da distribuição. Se as condições da lei dos grandes números valerem, então s² é um estimador consistente de σ².

Variância assintótica

A variância assintótica é a variância limite, ou seja, aquela que a sequência, ou estimador, tem no limite.

Ver também

Referências

1 2 RUNGER, George C.; MONTGOMERY, Douglas C. Applied Statistics and Probability for Engineers. 3rd ed. Mídia em CD: 2002.
↑ TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10ª edição. Tradução: Vera Regina Lima de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
↑ LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel. 4ª edição. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005.
↑ EVANS, Lawrence C. An introduction to stochastic differential equations. Version 1.2. ver: http://math.berkeley.edu/~evans/SDE.course.pdf. 2012.
↑ Papoulis, Athanasios (2002). Probability, random variables, and stochastic processes. S. Unnikrishna Pillai. Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-366011-0. OCLC 47283225. Consultado em 10 de setembro de 2026
↑ Wasserman, Larry. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. [S.l.]: Springer. ISBN 978-1-4419-2322-6 |acessodata= requer |url= (ajuda)
1 2 Farias, Ana Maria Lima de. Inferência Estatística (PDF). Niterói: Universidade Federal Fluminense (UFF). pp. 8–11, 32–33. Consultado em 22 de setembro de 2026

[runger_et_al-1] 1 2 RUNGER, George C.; MONTGOMERY, Douglas C. Applied Statistics and Probability for Engineers. 3rd ed. Mídia em CD: 2002.

[2] TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10ª edição. Tradução: Vera Regina Lima de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 2005.

[3] LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel. 4ª edição. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005.

[4] EVANS, Lawrence C. An introduction to stochastic differential equations. Version 1.2. ver: http://math.berkeley.edu/~evans/SDE.course.pdf. 2012.

[5] Papoulis, Athanasios (2002). Probability, random variables, and stochastic processes. S. Unnikrishna Pillai. Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-366011-0. OCLC 47283225. Consultado em 10 de setembro de 2026

[6] Wasserman, Larry. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. [S.l.]: Springer. ISBN 978-1-4419-2322-6 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[Farias-7] 1 2 Farias, Ana Maria Lima de. Inferência Estatística (PDF). Niterói: Universidade Federal Fluminense (UFF). pp. 8–11, 32–33. Consultado em 22 de setembro de 2026