Curtose

Curtose é uma estatística calculada pelo quarto momento de uma variável aleatória (desse modo, é um valor esperado assim como a média e variância) que mede o "comportamento caudal" de uma dada distribuição. A curtose, sendo muito sensível a valores atípicos (outliers), é uma boa medida da propensão de uma distribuição probabilística a valores discrepantes. Considerando essa sensibilidade, esse valor pode ser empregado como um comparativo do quanto uma dada distribuição distancia-se da normalidade. Assim, distribuições mais suscetíveis a outliers apresentarão caudas mais pesadas (também chamadas de "largas" ou "gordas") enquanto que aquelas menos sucetíveis, caudas mais leves (também chamadas de "finas" ou "magras").

Definida pela primeira vez por Karl Pearson, durante muito tempo na literatura clássica associou-se erroneamente curtose a uma medida de forma que caracteriza o achatamento da curva de distribuição de probabilidade. Peter H. Westfall teve grande contribuição na explicação de que, na verdade, esse número está relacionado às caudas das curvas de distribuição, não ao formato de seus picos.

Curtose e Excesso de Curtose

A curtose é um valor esperado que utiliza o quarto momento central para fornecer uma estatística útil à analise da influência de outliers ou comportamento caudal de uma distribuição, diga-se, ${\displaystyle p(y)}$ de uma Variável Aleatória (V.A.) Y.

Há duas formas comuns de se definir a curtose:

• A primeira é:

$${\displaystyle \beta _{2}=\mathbb {E} [Z^{4}]=\mathbb {E} [({\frac {Y-\mu _{Y}}{\sigma }})^{4}]={\frac {\mathbb {E} [(Y-\mu _{Y})^{4}]}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}}$$

em que ${\displaystyle \sigma }$ o desvio-padrão de Y.

• A segunda (conhecida como Excesso de Curtose) é:

$${\displaystyle \gamma =\beta _{2}-3}$$

O excesso de curtose traz a ideia de comparação com a curva normal. É conhecido que, para a distribuição normal, com ${\displaystyle p(y)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma }}\right)^{2}}}$, tem-se ${\displaystyle \beta _{2}=3}$. Assim, define-se o excesso de curtose como a diferença entre a curtose de uma dada distribuição e a curtose da normal.

Comparações com o Excesso de Curtose

Com ${\displaystyle \gamma }$, encontra-se três comparações possíveis conforme o distanciamento de uma dada distribuição em relação a normal perfeita. Originalmente, essas elas se referenciavam aos picos dessas curvas. Contudo, conforme já mencionado, é errado fazer essa análise. Portanto, ainda que os nomes que seguem mantenham essa intenção, as definições foram ajustadas para a interpretação correta da curtose.

Mesocúrtica

Distribuições com excesso de curtose zero são chamadas de mesocúrticas ou mesocurtóticas. O exemplo mais proeminente de uma distribuição mesocúrtica é a família da distribuição normal, independentemente dos valores de seus parâmetros. Algumas outras distribuições bem conhecidas podem ser mesocúrticas, dependendo dos valores dos parâmetros: por exemplo, a distribuição binomial é mesocúrtica para ${\displaystyle p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}}$

Leptocúrtica

Uma distribuição com excesso de curtose positivo é chamada de leptocúrtica ou leptocurtótica. Uma distribuição leptocúrtica possui caudas mais pesadas. (lepto- significa 'delgado' ou 'fino', referindo-se originalmente ao pico.«Lepto-» ) Exemplos de distribuições leptocúrticas incluem a distribuição t de Student, a distribuição de Rayleigh, a distribuição de Laplace, a distribuição exponencial, a distribuição de Poisson e a distribuição logística. Tais distribuições às vezes são chamadas de super-gaussianas

Platicúrtica

Uma distribuição com excesso de curtose negativo é chamada de platicúrtica ou platicurtótica. Uma distribuição platicúrtica possui caudas mais finas (platy- significa 'largo' ou 'amplo', referindo-se originalmente ao pico). Exemplos de distribuições platicúrticas incluem as distribuições uniforme contínua e discreta e a distribuição cosseno levantado. A distribuição mais platicúrtica de todas é a distribuição de Bernoulli com p = 1/2 (por exemplo, o número de vezes que se obtém cara ao lançar uma moeda uma vez, um lançamento de moeda), para a qual o excesso de curtose é −2.

Ver também

• Para uma explicação didática e correta da curtose, ver o livro "Understanting Advanced Statistical Methods", de Westfall & Henning. Sempre tomar cuidado ao consultar interpretações/conceitos da curtose em referências clássicas.

Notas

Referências

• Pearson, K. (1905), «Das Fehlergesetz und seine Verallgemeinerungen durch Fechner und Pearson. A Rejoinder», Biometrika, 4: 169–212 
• Kendall, Maurice; Stuart, Alan (1977), The Advanced Theory of Statistics, ISBN 0-85264-242-3, 1: Distribution Theory 4ª ed. , London & High Wycombe: Charles Griffin & Company Limited 
• Benveniste, Albert; Goursat, Maurice; Ruget, Gabriel (1980), «Robust identification of a nonminimum phase system: Blind adjustment of a linear equalizer in data communications», IEEE Transactions on Automatic Control, 25 (3): 385–399, Bibcode:1980ITAC...25..385B, doi:10.1109/tac.1980.1102343 
• Westfall, Peter H.; Henning, Kevin S. S. (2013), Understanding Advanced Statistical Methods, ISBN 978-1-4665-1211-5, Boca Raton: CRC Press 
• Westfall, Peter H. (2014), «Kurtosis as Peakedness, 1905–2014. R.I.P.», The American Statistician, 68 (3): 191–195, doi:10.1080/00031305.2014.917055 

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