Matematik

Matematiska begrepp
Tal Mängd Variabel Ekvation Funktion Operator Vektor Linjärt rum

Matematik (från grekiska: Μαθηματικά) är en abstrakt och generell vetenskap om problemlösning och metodutveckling: abstrakt därför att den har frigjort sig från problemens konkreta ursprung, och generell därför att den kan tillämpas inom ett stort antal områden och teoretiska modeller. Matematik kan också beskrivas som vetenskapen om kvantitativa relationer och rumsliga former i den verkliga världen. Exempel på matematiska begrepp är tal, data, struktur, kvantiteter, rum och förhållandena mellan dessa. Begreppen kan studeras som abstrakta objekt i sig (ren matematik) eller tillämpas inom vetenskapliga discipliner som fysik och teknik (tillämpad matematik).

Medan naturvetenskapen studerar företeelser i tid och rum är det inte självklart att detsamma gäller för de objekt som matematiken studerar. Även metoderna skiljer sig åt: naturvetenskapen använder främst induktiva metoder och matematiken deduktiva. Bland annat av dessa skäl väcker matematiken ontologiska och kunskapsteoretiska frågor som skiljer sig från vetenskapsteorins. Frågorna behandlas inom matematikfilosofi.

Etymologi

Det grekiska ordet mathemata betyder ungefär ”det som lärs”, ibland i allmän bemärkelse och ibland med syftning på astronomi, aritmetik och musik. Ordet hör ihop med substantivet mathema (μάθημα), som betyder ”lärdom”, ”kunskap” eller ”studium”. Mathema kommer i sin tur av verbet manthanein (μανθάνειν), ”att lära sig”.

Ordet mathemata och dess släktord har gett upphov till motsvarande ord i andra europeiska språk. Latinets mathematica, franskans mathématiques, spanskans matemáticas och engelskans mathematics har alltså ett gemensamt ursprung. Vad ordet matematik omfattar har aldrig varit enhetligt, utan har varierat genom historien och mellan regioner som Europa, Kina och Mellanöstern. I matematikhistorisk forskning söker man efter motsvarande ord i andra kulturer, och genom att undersöka dessa ord och de verksamheter som förknippats med dem har ämnet vuxit fram.

I svenskan betecknar matematik skolämnet eller vetenskapen, som i ”lärobok i matematik” och ”professor i matematik”. I vardagligt tal kan ”det är matematik” syfta på aritmetik i betydelsen ”det är lätt att räkna ut”.

Den vardagliga kortformen matte för skolämnet är enligt Svenska Akademiens ordbok belagd sedan 1924. De engelska motsvarigheterna är math (amerikansk engelska) och maths (brittisk engelska, belagt sedan 1890).

Historia

Matematiken har en minst 4000 år lång historia. Enligt vissa går den längre tillbaka än så; i Sumer i södra Mesopotamien, i nuvarande Irak, utvecklades matematik i samband med skrivkonsten och läsandet för omkring 5000 år sedan. Mycket av vår äldsta kunskap om människans användning av matematik kommer från det forntida Egypten och Babylonien. Matematik har också utvecklats inom bland annat den grekiska, arabiska, kinesiska, indiska och mayanska kulturen. Bland de områden som behandlats genom historien finns algebra, analys, tal och talteori, geometri och topologi, matematisk fysik och matematisk astronomi.

Den förste matematikern som är känd till namnet är Ahmes, en egyptisk skrivare som omkring 1650 f.Kr. skrev ned en samling matematiska problem som han uppgav sig ha hämtat ur äldre skrifter. Texten är i dag känd som Rhindpapyrusen. Tillsammans med andra arkeologiska fynd som Plimpton 322 (Babylonien, mellan 1900 och 1600 f.Kr.) och Moskva-papyrusen (Egypten, Mellersta riket, omkring 1700 f.Kr.) visar den att det forntida Egypten och Babylonien, civilisationer som föregick Antikens Grekland, hade välutvecklade system för att skriva tal.

Enligt en klassisk periodindelning framträdde matematiken som en självständig vetenskap i Antikens Grekland under 500- och 400-talen f.Kr. Grekernas deduktiva framställning av geometrin, med Euklides Elementa som mest kända exempel, förblev i mer än två tusen år förebilden för hur en matematisk teori byggs upp. Under 1600-talet ledde naturvetenskapens behov av att beskriva rörelse och förändring till analytisk geometri och differential- och integralkalkylen. Under 1800-talet drevs utvecklingen i allt högre grad av matematikens egna frågor, med bland annat funktionsteorin för komplexa variabler och Lobatjevskijs icke-euklidisk geometri. Samtidigt skärptes kraven på logisk stringens, och frågan om matematikens grunder behandlades inom mängdteori och matematisk logik.

Matematiker

Norman L. Biggs skriver i sin lärobok Discrete Mathematics: ”Matematiker behandlar påståenden. Oftast handlar påståendena om tal. Påståendena kan vara sanna eller falska. För att avgöra om ett påstående är sant eller falskt krävs ett bevis.”

Notation och terminologi

Matematiska begrepp införs med definitioner som anger hur begreppen ska tolkas. Här presenteras några grundläggande begrepp i modern matematik. Beskrivningarna är i huvudsak inte formella definitioner utan förklaringar av hur begreppen används.

Mängder

En mängd är en samling objekt, mängdens element. Mängden {1, 2, 3} är ändlig, medan {1, 2, 3, ...} är oändlig; punkterna markerar att uppräkningen fortsätter. En mängd utan element kallas den tomma mängden. Om alla element i en mängd också tillhör en annan mängd är den förstnämnda en delmängd av den andra. Av två mängder kan man bilda deras snitt, de element som tillhör båda mängderna, och deras union, de element som tillhör minst en av dem. Komplementet till en mängd består av de element som inte tillhör mängden men som tillhör en given grundmängd. Mängder och operationer på mängder studeras inom mängdteori, där Zermelo-Fraenkels mängdteori är det vanligaste axiomsystemet.

Funktioner

En funktion ordnar till varje element i en mängd, definitionsmängden, exakt ett element i en annan mängd, målmängden. Mängden av de värden som funktionen faktiskt antar kallas värdemängden. I skolmatematiken är definitions- och värdemängderna oftast delmängder av de reella talen $\mathbb {R}$ .

Tal

Matematikens talsystem omfattar bland annat de naturliga talen, heltalen, de rationella talen, de reella talen och de komplexa talen. Varje talsystem kan konstrueras ur det föregående, med de naturliga talen som grund:

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .

Nedan beskrivs i korthet en sådan uppbyggnad, där de naturliga talen definieras med Peanos axiom. Ett axiom är här ett grundantagande som inte härleds ur andra påståenden.

De naturliga talen

Med de naturliga talen $\mathbb {N}$ avses här de icke-negativa heltalen 0, 1, 2, … . Intuitivt får man dem genom att börja med 0 och sedan upprepade gånger lägga till 1. Den beskrivningen är dock inte formell, eftersom den förutsätter att addition redan är definierad. En formell grund ges av Peanos axiom:

Det finns en mängd $\mathbb {N}$ med ett element 0 och en funktion $s\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ , efterföljarfunktionen, sådana att

(i)\qquad s(n)\neq 0{\text{ för alla }}n\in \mathbb {N} ,

(ii)\qquad s(m)=s(n)\Rightarrow m=n{\text{ för alla }}m,n\in \mathbb {N} ,

(iii)\qquad {\text{om }}A\subseteq \mathbb {N} ,\ 0\in A{\text{ och }}s(n)\in A{\text{ för alla }}n\in A,{\text{ så är }}A=\mathbb {N} .

Talet $s(n)$ kallas efterföljaren till $n$ och motsvarar det som vanligen skrivs $n+1$ . Axiom (i) säger att 0 inte är efterföljare till något tal, och axiom (ii) att olika tal har olika efterföljare. Tillsammans medför de att följden 0, s(0), s(s(0)), … aldrig upprepar sig, så att $\mathbb {N}$ är oändlig. Axiom (iii) är principen om matematisk induktion: om en egenskap P(n) gäller för 0, och det för varje n gäller att P(n) medför P(n+1), så gäller P(n) för alla naturliga tal. Det ser man genom att tillämpa axiomet på mängden $A=\{n\in \mathbb {N} \mid P(n)\}$ .

Addition och multiplikation definieras rekursivt med hjälp av efterföljarfunktionen:

Addition: $m+0=m$ och $m+s(n)=s(m+n)$ . Att addera n till m innebär alltså att tillämpa s n gånger på m.

Multiplikation: $m\cdot 0=0$ och $m\cdot s(n)=m\cdot n+m$ . Multiplikation är alltså upprepad addition.

Med hjälp av induktionsaxiomet kan man visa att operationerna är väldefinierade för alla naturliga tal och uppfyller de vanliga räknelagarna, till exempel den kommutativa, den associativa och den distributiva lagen.

Ordning: $m\geq n$ (”m är större än eller lika med n”) om ekvationen $m=n+x$ har en lösning $x\in \mathbb {N}$ . Om lösningen är $x=0$ är $m=n$ , och om $x\neq 0$ skriver man $m>n$ . Eftersom $n+1=n+s(0)=s(n)$ gäller $s(n)>n$ för alla n, och $\mathbb {N}$ saknar därför ett största element.

Subtraktion är däremot inte alltid möjlig inom $\mathbb {N}$ ; till exempel saknar ekvationen $2+x=1$ lösning bland de naturliga talen.

Heltalen

Heltalen $\mathbb {Z}$ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} utvidgar de naturliga talen så att subtraktion alltid är möjlig. De kan konstrueras som klasser av par (a, b) av naturliga tal, där paret representerar differensen a − b och två par (a, b) och (c, d) räknas som samma heltal om a + d = b + c. De naturliga talen kan då uppfattas som en delmängd av heltalen.

De rationella talen

De rationella talen $\mathbb {Q}$ är kvoter $a/b$ av heltal med $b\neq 0$ . De kan konstrueras som klasser av par (a, b) av heltal med b ≠ 0, där (a, b) och (c, d) räknas som samma tal om ad = bc. I $\mathbb {Q}$ är division med tal skilda från noll alltid möjlig.

De reella talen

Vissa storheter, till exempel ${\sqrt {2}}$ , kan inte skrivas som kvoter av heltal. De reella talen $\mathbb {R}$ fyller ut dessa luckor på tallinjen. De kan konstrueras ur de rationella talen, till exempel med Dedekindsnitt enligt Richard Dedekind eller med Cauchyföljder. Till skillnad från de rationella talen har varje uppåt begränsad, icke-tom mängd av reella tal en minsta övre begränsning.

De komplexa talen

De komplexa talen $\mathbb {C}$ kan konstrueras som par av reella tal och skrivs a + bi, där $i^{2}=-1$ . I $\mathbb {C}$ har varje polynomekvation av grad minst ett en lösning (algebrans fundamentalsats).

Rum

En vektor kan i det enklaste fallet ses som en ordnad lista av tal, vektorns komponenter, och tolkas som en punkt eller en riktad sträcka i ett koordinatsystem. Punkter och vektorer kan i sin tur användas för att beskriva geometriska figurer. Mer allmänt är en vektor ett element i ett vektorrum, en mängd där addition och multiplikation med tal är definierade och uppfyller vissa grundläggande räkneregler. Även andra objekt än tallistor, till exempel polynom, kan på så sätt behandlas som vektorer.

Matematisk notation

Matematisk notation består av symboler som gör det möjligt att uttrycka matematiska idéer koncist. Tecknen + för addition och − för subtraktion började till exempel användas i Europa under senmedeltiden och förekom i tryck för första gången 1489, i en räknebok av Johannes Widmann.

Delområden

Aritmetik

Läran om tal och räkneoperationer på tal kallas aritmetik. Till de aritmetiska operationerna hör addition, subtraktion, multiplikation och division, som kallas de fyra räknesätten, samt potenser (att upphöja ett tal till en exponent). Aritmetiken omfattar också faktorisering (uppdelning av ett tal i faktorer vars produkt är talet) och kongruensrelationer (att två tal ger samma rest vid division med ett givet tal). Operatorprioriteten avgör i vilken ordning olika delar av ett matematiskt uttryck ska beräknas. Aritmetiken var ett av de fyra ämnena i quadrivium vid de medeltida universiteten.

Geometri

Geometri är läran om rumsliga strukturer. Under 1600-talet formulerade René Descartes geometriska problem med algebraiska metoder, vilket gav upphov till analytisk geometri. En följd av detta var att olika kägelsnitt kunde beskrivas med korta ekvationer och att plana geometriska figurer kunde avbildas i ett kartesiskt koordinatsystem. Trigonometrin studerar sambanden mellan vinklar och sidor i trianglar och är nära förbunden med geometrin. I modern tid har topologin blivit ett viktigt område. Den studerar egenskaper som bevaras när ett objekt töjs, böjs eller trycks ihop utan att rivas sönder eller klistras ihop. Avstånd och vinklar spelar därför ingen roll, medan till exempel antalet hål bevaras.

Algebra

Algebra handlar ursprungligen om att lösa ekvationer och har beskrivits som läran om kvantitativ balans. Elementär algebra behandlar räkning med variabler och lösning av ekvationer, och linjär algebra behandlar vektorer, matriser och linjära ekvationssystem. Abstrakt algebra, eller modern algebra, studerar algebraiska strukturer, som består av en mängd, en eller flera operationer på mängden och räkneregler för dessa. Den växte fram under 1800-talet, när problem från talteorin och ekvationsteorin ledde till studiet av abstrakta objekt, till exempel tal, polynom, permutationer eller element i andra mängder, för vilka operationer liknande de aritmetiska kan definieras.

Matematisk analys

Matematisk analys handlar om förändring. Analysen bygger på begreppet gränsvärde, med vars hjälp derivatan, ett mått på förändringshastighet, och integralen, ett gränsvärde av summor, definieras. I vektoranalys kombineras analys och linjär algebra, oftast för att lösa problem i tre dimensioner.

Diskret matematik

Diskret matematik handlar om diskreta, det vill säga åtskilda, strukturer som heltalen, ändliga mängder och grafer. En viktig gren är kombinatorik, som bland annat behandlar kombinationer och permutationer. Även grafteorin hör hit.

Egenskaper och metodik

Matematiken strävar efter att abstrahera och generalisera begrepp. Ett exempel är begreppet symmetri, vars abstraktion bland annat leder till gruppteori och galoisteori.

Bevisföring

Matematiska satser är resultat som härleds ur ett antal grundläggande påståenden, axiom, som godtas utan bevis. Ett axiom har traditionellt betraktats som en självklar sanning och skiljer sig därmed från en förmodan eller hypotes, som inte betraktas som självklar.

En sats är ett bevisat matematiskt påstående. Beviset visar att satsen följer ur axiomen, tidigare bevisade satser och definitioner, där en definition är en exakt förklaring av ett matematiskt ord eller uttryck. Ett bevis ska kunna övertyga en läsare med relevanta förkunskaper om att satsen är sann. Ett lemma är en hjälpsats vars huvudsyfte är att förenkla beviset av en större sats, och en följdsats är en direkt konsekvens av en sats.

Ett enkelt exempel: enligt definitionen är ett heltal n udda om n = 2a + 1 för något heltal a. Påståendet att 7 är udda bevisas då genom att välja a = 3, eftersom 7 = 2·3 + 1.

Den brittiske matematikern och filosofen Bertrand Russell (1872–1970) skrev:

”	Ren matematik består helt och hållet av försäkringar om att om ett visst påstående är sant om någonting, så är ett visst annat påstående sant om den saken... Det är väsentligt att inte diskutera huruvida påståendet verkligen är sant, och att inte nämna vad detta någonting är som det antas vara sant om... Om vår hypotes handlar om vad som helst, och inte om någon eller några bestämda saker, så utgör våra slutsatser matematik. Matematiken kan alltså definieras som det ämne där vi aldrig vet vad vi talar om, eller om det vi säger är sant.	„
– Bertrand Russell

Estetik

Många matematiker har talat om skönheten i matematiken. Bland annat skrev G.H. Hardy:

”	Matematikerns mönster måste, liksom målarens eller poetens, vara vackra; idéerna måste, liksom färgerna eller orden, passa ihop på ett harmoniskt sätt. Skönheten är det första provet: det finns ingen varaktig plats i världen för ful matematik.	„
– G.H. Hardy

Matematikfilosofi

Matematikfilosofin omfattar ett antal filosofiska inriktningar med olika uppfattningar om vad matematiken är. Exempel är de så kallade fyra skolorna, logicism, intuitionism, formalism och predicativism, samt platonism, nominalism och strukturalism.

Tillämpad matematik

Fysik

Fysik var ursprungligen benämningen på all naturvetenskap. När bland andra kemin, biologin och geovetenskaperna blev egna vetenskaper kom fysiken att bli den vetenskap som studerar materians grundläggande strukturer. Den teoretiska fysiken är starkt matematiskt inriktad.

Numerisk analys

Numerisk analys omfattar metoder för att med dator finna approximativa lösningar till matematiska problem. Exempel är att bestämma rötter till ekvationer av formen $f(x)=0$ eller att anpassa ett polynom till ett antal punkter.

Sannolikhetsteori och statistik

Sannolikhetsteorin beskriver och studerar matematiska modeller av slumpmässiga fenomen ur ett teoretiskt perspektiv. Statistiken utvecklar metoder, principer och kriterier för att analysera data från slumpmässiga fenomen, experiment och observationer. Sådana metoder bygger ofta på sannolikhetsteorin, och de två områdena är därför nära förbundna.

Många vetenskapliga modeller är deterministiska, vilket innebär att framtida tillstånd kan förutsägas exakt utifrån kända begynnelsevärden. Isaac Newtons rörelselagar är ett exempel: med dem kan man bland annat beräkna hur lång tid det tar för jorden att gå ett varv runt solen. Sannolikhetsteorin studerar i stället fenomen vars utfall inte kan förutsägas exakt och använder därför probabilistiska modeller. Ett myntkast är ett exempel: även med fullständig kunskap om myntets konstruktion, till exempel att det är symmetriskt, går det inte att förutsäga om utfallet blir krona eller klave.

Den väsentliga skillnaden mellan sannolikhetsteori och statistikteori är att man i sannolikhetsteorin utgår från en given slumpmodell och försöker förutsäga utfallet av ett slumpförsök, medan man i statistikteorin utgår från observerade utfall och försöker beskriva den underliggande slumpmodellen. En biokemist kan till exempel använda statistiska metoder vid utvecklingen av ett läkemedel mot huvudvärk. Eftersom människor reagerar olika varierar lindringen mellan personer, och en statistisk analys av data från ett sådant försök kan visa hur stor lindring som kan förväntas i genomsnitt.

Optimeringslära

Optimeringslära handlar om att maximera eller minimera en storhet, ofta under givna bivillkor.

Utbildning

I Sverige har Skolverket beskrivit matematik som ”ett nationellt prioriterat utvecklingsområde”. Matematik ingår i läroplanerna för förskolan, grundskolan, grundsärskolan, sameskolan, gymnasieskolan, gymnasiesärskolan och vuxenutbildningen. Sedan den 2 juli 2023 heter grundsärskolan och gymnasiesärskolan anpassad grundskola respektive anpassad gymnasieskola. Matematikundervisning förekommer i samtliga världsdelar.

Matematiklärare utbildas vid universitet och högskolor. Vid Stockholms universitet kan matematik till exempel läsas som första eller andra ämne inom ämneslärarprogrammet och kombineras med ämnen från andra fakulteter, som historia eller engelska.

I Sverige bedrivs matematisk forskning bland annat vid Stockholms universitet, Uppsala universitet, Linköpings universitet, Chalmers tekniska högskola, Kungliga Tekniska högskolan, Luleå tekniska universitet, Lunds universitet och Mälardalens universitet, men också vid forskningsinstitut som Institut Mittag-Leffler och Fraunhofer-Chalmers Research Centre for Industrial Mathematics. I Finland bedrivs matematisk forskning bland annat vid Helsingfors universitet. Andra exempel är amerikanska Massachusetts Institute of Technology, engelska Universitetet i Cambridge, schweiziska Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, kinesiska Pekinguniversitetet, franska École polytechnique och japanska Tokyo Kogyo-universitetet (sedan 2024 en del av Institute of Science Tokyo).

Exempel på matematiska tidskrifter är Acta Mathematica, Annals of Mathematics och The American Mathematical Monthly.

Källor

Fotnoter

1 2 O'Connor, J.J. & Robertson, E.F.. ”Euclid of Alexandria”. MacTutor History of Mathematics. University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid. Läst 6 april 2013.
↑ ”Scuola di Atene” (på italienska). Musei Vaticani. https://www.museivaticani.va/content/museivaticani/it/collezioni/musei/stanze-di-raffaello/stanza-della-segnatura/scuola-di-atene.html. Läst 26 september 2026.
↑ ”matematik”. Nationalencyklopedin. Arkiverad från originalet den 17 mars 2010. https://web.archive.org/web/20100317141052/http://www.ne.se/matematik. Läst 4 april 2013.
1 2 3 ”Mathematics”. Encyclopedia of Mathematics. The European Mathematical Society. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mathematics. Läst 26 september 2026.
1 2 ”mathematics”. Oxford Dictionaries. Arkiverad från originalet den 4 april 2013. https://web.archive.org/web/20130404064222/http://oxforddictionaries.com/definition/english/mathematics. Läst 2 april 2013.
↑ Clapham & Nicholson 2009, s. 505.
1 2 3 4 ”Philosophy of Mathematics”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/. Läst 2 april 2013.
1 2 Stedall 2012, s. 18.
↑ ”Mathematical - Etymology, Origin & Meaning” (på amerikansk engelska). etymonline. https://www.etymonline.com/word/mathematical. Läst 2 juli 2025.
↑ ”Etymology of the Word Mathematics”. The Math Forum: Ask Dr. Math. Arkiverad från originalet den 30 maj 2013. https://web.archive.org/web/20130530200147/http://mathforum.org/library/drmath/view/52380.html. Läst 6 april 2013.
1 2 Stedall 2012, s. 19.
1 2 ”Uppslagsord: MATEMATIK”. Svenska Akademiens ordbok. https://www.saob.se/artikel/?seek=matematik&pz=1. Läst 7 mars 2019.
↑ ”Mathematics”. WolframMathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Mathematics.html. Läst 22 april 2013.
↑ ”Rhind Mathematical Papyrus”. The British Museum. Arkiverad från originalet den 7 december 2013. https://web.archive.org/web/20131207004358/http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?objectId=110036&partId=1. Läst 9 april 2013.
↑ Stedall 2012, s. xv.
↑ ”What is mathematics?”. University of Oregon. Arkiverad från originalet den 31 maj 2013. https://web.archive.org/web/20130531204628/http://pages.uoregon.edu/moursund/Math/mathematics.htm. Läst 24 april 2013.
↑ ”Babylonian Mathematics”. G. Donald Allen. Arkiverad från originalet den 11 juni 2014. https://web.archive.org/web/20140611141038/http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf. Läst 8 augusti 2013.
1 2 O'Connor, J.J. & Robertson, E.F.. ”History Topics Index – Mathematics in various cultures & Mathematical topics”. University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/. Läst 24 april 2013.
1 2 3 Elwes 2010, s. 6.
↑ ”Plimpton 322”. Clark University. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html. Läst 24 april 2013.
↑ ”Moscow Mathematical Papyrus”. Saint Louis University. Arkiverad från originalet den 1 juni 2013. https://web.archive.org/web/20130601110441/http://mathcs.slu.edu/history-of-math/index.php/Moscow_Mathematical_Papyrus. Läst 24 april 2013.
↑ Biggs 2009, s. 1.
↑ Rogosinski 1952, s. 4–9.
↑ ”Earliest Uses of Various Mathematical Symbols”. Jeff Miller Web Pages. Arkiverad från originalet den 20 februari 2016. https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html. Läst 4 april 2013.
↑ ”Arithmetic”. Encyclopedia of Mathematics. The European Mathematical Society. Arkiverad från originalet den 4 oktober 2009. https://web.archive.org/web/20091004230123/http://eom.springer.de/a/a013260.htm. Läst 26 september 2026.
↑ ”Arithmetic”. WolframMathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html. Läst 8 augusti 2013.
↑ Carleson, Lennart (1968). Matematik för vår tid : en presentation och ett debattinlägg. Stockholm: Prisma
↑ Beachy & Blair 1996, s. xvii.
↑ Eriksson & Gavel 2002.
↑ ”An Introduction to Galois Theory”. NRICH. http://nrich.maths.org/1422. Läst 4 april 2013.
↑ ”Axiom”. WolframMathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Axiom.html. Läst 4 april 2013.
1 2 ”Chapter 4: Direct Proof”. Book of Proof av Richard Hammack. Arkiverad från originalet den 24 mars 2012. https://web.archive.org/web/20120324091528/http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Direct.pdf. Läst 11 augusti 2013.
↑ ”Proofs in Mathematics”. cut-the-knot.org. http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml. Läst 14 augusti 2013.
↑ ”Is Mathematics Beautiful?”. Cut the Knot. http://www.cut-the-knot.org/manifesto/beauty.shtml. Läst 4 april 2013.
↑ Hardy 2012, s. 84.
↑ ”Fysik”. Nationalencyklopedin. Arkiverad från originalet den 11 december 2011. https://web.archive.org/web/20111211194849/http://www.ne.se/fysik. Läst 4 april 2013.
↑ ”Numerisk analys”. Nationalencyklopedin. Arkiverad från originalet den 13 oktober 2010. https://web.archive.org/web/20101013222730/http://www.ne.se/numerisk-analys. Läst 4 april 2013.
1 2 3 4 Gut 2009, s. 1–2.
↑ ”determinism”. Department of Physics, The University of Texas at Austin. http://order.ph.utexas.edu/chaos/determinism.html#panel08. Läst 25 juli 2013.
↑ Alm & Britton 2008, s. 265.
↑ Devore & Berk 2012, s. 1–8.
↑ ”Matematik”. Skolverket. Arkiverad från originalet den 15 juni 2012. https://web.archive.org/web/20120615063139/http://www.skolverket.se/skolutveckling/amnesutveckling/matematik. Läst 26 april 2013.
↑ ”Matematik: Läroplaner, kursplaner och ämnesplaner”. Skolverket. Arkiverad från originalet den 10 maj 2013. https://web.archive.org/web/20130510022328/http://www.skolverket.se/kursplaner-och-betyg/laroplaner-kursplaner-amnesplaner. Läst 26 april 2013.
↑ ”Anpassade skolformer”. Skolverket. https://www.skolverket.se/regler-och-ansvar/forandringar-inom-skolomradet/sidor-tidigare-forandringar/anpassade-skolformer. Läst 26 september 2026.
↑ ”PISA Participating countries/economies”. OECD. Arkiverad från originalet den 8 september 2015. https://web.archive.org/web/20150908034707/http://www.oecd.org/pisa/participatingcountrieseconomies/. Läst 26 april 2013.
↑ ”Matematiska institutionen”. Stockholms universitet. 2014. Arkiverad från originalet den 26 mars 2017. https://web.archive.org/web/20170326052309/http://www.math.su.se/utbildning/l%C3%A4rarutbildning/%C3%A4mnesl%C3%A4rarprogrammet/bli-matematikl%C3%A4rare-1.80271. Läst 25 mars 2017.
↑ ”Matematikcentrum”. Lunds universitet. http://www.maths.lu.se/forskning/. Läst 26 april 2013.
↑ ”Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola”. Chalmers tekniska högskola. http://www.chalmers.se/sv/institutioner/math/forskning/Sidor/default.aspx. Läst 26 april 2013.
↑ ”Matematiska institutionen Stockholms universitet”. Stockholms universitet. http://www.math.su.se/forskning. Läst 26 april 2013.
↑ ”Matematiska institutionen Uppsala universitet”. Uppsala universitet. http://www.math.uu.se/Forskning/. Läst 26 april 2013.
↑ ”Matematiska institutionen Kungliga Tekniska högskolan”. Kungliga Tekniska högskolan. http://www.sci.kth.se/en/institutioner/math/forskning/matematik. Läst 26 april 2013.
↑ ”Om Institut Mittag-Leffler”. Institut Mittag-Leffler. Arkiverad från originalet den 7 september 2015. https://web.archive.org/web/20150907230337/http://www.mittag-leffler.se/?q=about. Läst 26 april 2013.
↑ ”Mathematics as a technology”. Fraunhofer-Chalmers Research Centre for Industrial Mathematics. http://www.fcc.chalmers.se/. Läst 27 april 2013.
↑ ”World's Best Universities Mathematics”. USNews. Arkiverad från originalet den 30 september 2013. https://web.archive.org/web/20130930233851/http://www.usnews.com/education/worlds-best-universities-rankings/best-universities-mathematics. Läst 26 april 2013.
↑ ”Institute of Science Tokyo established on October 1, 2024” (på engelska). Institute of Science Tokyo. https://www.isct.ac.jp/en/news/fqsr7lxwvnbe. Läst 26 september 2026.
↑ ”Mathematical Journals”. Mathematics on the Web Pages. Arkiverad från originalet den 26 april 2013. https://web.archive.org/web/20130426052229/http://www.mathontheweb.org/mathweb/mi-journals.html. Läst 4 april 2013.

Tryckta källor

Alm, Sven Erick; Britton, Tom (2008), Stokastik: Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar (1), Stockholm: Liber, ISBN 978-91-47-05351-3
Beachy, John A.; Blair, William D. (1996), Abstract algebra, Prospect Heights, Ill.: Waveland Press, ISBN 0-88133-866-4, https://archive.org/details/abstractalgebra0000beac
Biggs, Norman (2009), Discrete Mathematics (2), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850718-5
Clapham, Christopher; Nicholson, James (2009), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (4), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0199235940
Devore, Jay; Berk, Kenneth (2012), Modern Mathematical Statistics with Applications (2), Heidelberg, London, New York: Springer, ISBN 978-1-4614-0391-3
Elwes, Richard (2010), Maths 1001 (2), USA, Kanada: Firefly Books, ISBN 978-1-55407-719-9
Eriksson, Kimmo; Gavel, Hillevi (2002), Diskret matematik och diskreta modeller, Lund: Studentlitteratur, ISBN 91-44-02465-7
Gut, Allan (2009), An intermediate course in probability (2), Heidelberg, London, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-0161-3
Hardy, Godfrey Harold (2012), A Mathematician's Apology (19), USA: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60463-6
Rogosinski, W. W. (1952), Volume and integral, Edinburgh: Oliver and Boyd
Stedall, Jacqueline (2012), The History of Mathematics: A Very Short Introduction (1), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-959968-4

Originalcitat

↑ "Mathematicians deal with statements. Usually the statements are about numbers. The statements may be true or false. To decide whether a statement is true or false requires a proof."
↑ "Pure mathematics consists entirely of such asseverations as that, if such and such a proposition is true of anything, then such and such another proposition is true of that thing... It is essential not to discuss whether the proposition is really true, and not to mention what the anything is of which it is supposed to be true... If our hypothesis is about anything and not about some one or more particular things, then our deductions constitute mathematics. Thus mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true."
↑ "The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics."

Externa länkar

Wikimedia Commons har media som rör Matematik.
Bilder & media
Matematik på Wikibooks.
Böcker
Sveriges Matematiklärarförening (SMaL)

[MacTutor_Euclid-1] 1 2 O'Connor, J.J. & Robertson, E.F.. ”Euclid of Alexandria”. MacTutor History of Mathematics. University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid. Läst 6 april 2013.

[2] ”Scuola di Atene” (på italienska). Musei Vaticani. https://www.museivaticani.va/content/museivaticani/it/collezioni/musei/stanze-di-raffaello/stanza-della-segnatura/scuola-di-atene.html. Läst 26 september 2026.

[NE,_matematik-3] ”matematik”. Nationalencyklopedin. Arkiverad från originalet den 17 mars 2010. https://web.archive.org/web/20100317141052/http://www.ne.se/matematik. Läst 4 april 2013.

[Mathematics,_Encyclopedia_of_Mathematics-4] 1 2 3 ”Mathematics”. Encyclopedia of Mathematics. The European Mathematical Society. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mathematics. Läst 26 september 2026.

[OD,_Definition_Mathematics-5] 1 2 ”mathematics”. Oxford Dictionaries. Arkiverad från originalet den 4 april 2013. https://web.archive.org/web/20130404064222/http://oxforddictionaries.com/definition/english/mathematics. Läst 2 april 2013.

[6] Clapham & Nicholson 2009, s. 505.

[Stanford,_Philosophy_of_Mathematics-7] 1 2 3 4 ”Philosophy of Mathematics”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/. Läst 2 april 2013.

[Stedall,_18-8] 1 2 Stedall 2012, s. 18.

[9] ”Mathematical - Etymology, Origin & Meaning” (på amerikansk engelska). etymonline. https://www.etymonline.com/word/mathematical. Läst 2 juli 2025.

[10] ”Etymology of the Word Mathematics”. The Math Forum: Ask Dr. Math. Arkiverad från originalet den 30 maj 2013. https://web.archive.org/web/20130530200147/http://mathforum.org/library/drmath/view/52380.html. Läst 6 april 2013.

[Stedall,_19-11] 1 2 Stedall 2012, s. 19.

[SAOB-12] 1 2 ”Uppslagsord: MATEMATIK”. Svenska Akademiens ordbok. https://www.saob.se/artikel/?seek=matematik&pz=1. Läst 7 mars 2019.

[Mathematics,_W-13] ”Mathematics”. WolframMathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Mathematics.html. Läst 22 april 2013.

[14] ”Rhind Mathematical Papyrus”. The British Museum. Arkiverad från originalet den 7 december 2013. https://web.archive.org/web/20131207004358/http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?objectId=110036&partId=1. Läst 9 april 2013.

[15] Stedall 2012, s. xv.

[UO_mathematics-16] ”What is mathematics?”. University of Oregon. Arkiverad från originalet den 31 maj 2013. https://web.archive.org/web/20130531204628/http://pages.uoregon.edu/moursund/Math/mathematics.htm. Läst 24 april 2013.

[17] ”Babylonian Mathematics”. G. Donald Allen. Arkiverad från originalet den 11 juni 2014. https://web.archive.org/web/20140611141038/http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf. Läst 8 augusti 2013.

[Mathematics_history_topics-18] 1 2 O'Connor, J.J. & Robertson, E.F.. ”History Topics Index – Mathematics in various cultures & Mathematical topics”. University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/. Läst 24 april 2013.

[Ahmes-19] 1 2 3 Elwes 2010, s. 6.

[Plimpton_322-20] ”Plimpton 322”. Clark University. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html. Läst 24 april 2013.

[Moscow_Mathematics_Papyrus-21] ”Moscow Mathematical Papyrus”. Saint Louis University. Arkiverad från originalet den 1 juni 2013. https://web.archive.org/web/20130601110441/http://mathcs.slu.edu/history-of-math/index.php/Moscow_Mathematical_Papyrus. Läst 24 april 2013.

[22] Biggs 2009, s. 1.

[24] Rogosinski 1952, s. 4–9.

[25] ”Earliest Uses of Various Mathematical Symbols”. Jeff Miller Web Pages. Arkiverad från originalet den 20 februari 2016. https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html. Läst 4 april 2013.

[26] ”Arithmetic”. Encyclopedia of Mathematics. The European Mathematical Society. Arkiverad från originalet den 4 oktober 2009. https://web.archive.org/web/20091004230123/http://eom.springer.de/a/a013260.htm. Läst 26 september 2026.

[27] ”Arithmetic”. WolframMathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html. Läst 8 augusti 2013.

[Carleson1968-28] Carleson, Lennart (1968). Matematik för vår tid : en presentation och ett debattinlägg. Stockholm: Prisma

[29] Beachy & Blair 1996, s. xvii.

[30] Eriksson & Gavel 2002.

[31] ”An Introduction to Galois Theory”. NRICH. http://nrich.maths.org/1422. Läst 4 april 2013.

[32] ”Axiom”. WolframMathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Axiom.html. Läst 4 april 2013.

[BOP_CH_4-33] 1 2 ”Chapter 4: Direct Proof”. Book of Proof av Richard Hammack. Arkiverad från originalet den 24 mars 2012. https://web.archive.org/web/20120324091528/http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Direct.pdf. Läst 11 augusti 2013.

[34] ”Proofs in Mathematics”. cut-the-knot.org. http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml. Läst 14 augusti 2013.

[36] ”Is Mathematics Beautiful?”. Cut the Knot. http://www.cut-the-knot.org/manifesto/beauty.shtml. Läst 4 april 2013.

[37] Hardy 2012, s. 84.

[39] ”Fysik”. Nationalencyklopedin. Arkiverad från originalet den 11 december 2011. https://web.archive.org/web/20111211194849/http://www.ne.se/fysik. Läst 4 april 2013.

[40] ”Numerisk analys”. Nationalencyklopedin. Arkiverad från originalet den 13 oktober 2010. https://web.archive.org/web/20101013222730/http://www.ne.se/numerisk-analys. Läst 4 april 2013.

[Gut,_1-2-41] 1 2 3 4 Gut 2009, s. 1–2.

[determinism-42] ”determinism”. Department of Physics, The University of Texas at Austin. http://order.ph.utexas.edu/chaos/determinism.html#panel08. Läst 25 juli 2013.

[Britton,_265-43] Alm & Britton 2008, s. 265.

[Devore,_1-8-44] Devore & Berk 2012, s. 1–8.

[Skolverket,_matematik-45] ”Matematik”. Skolverket. Arkiverad från originalet den 15 juni 2012. https://web.archive.org/web/20120615063139/http://www.skolverket.se/skolutveckling/amnesutveckling/matematik. Läst 26 april 2013.

[Skolverket,_matematik,_kursplan-46] ”Matematik: Läroplaner, kursplaner och ämnesplaner”. Skolverket. Arkiverad från originalet den 10 maj 2013. https://web.archive.org/web/20130510022328/http://www.skolverket.se/kursplaner-och-betyg/laroplaner-kursplaner-amnesplaner. Läst 26 april 2013.

[47] ”Anpassade skolformer”. Skolverket. https://www.skolverket.se/regler-och-ansvar/forandringar-inom-skolomradet/sidor-tidigare-forandringar/anpassade-skolformer. Läst 26 september 2026.

[OECD,_Pisa,_Mathematics-48] ”PISA Participating countries/economies”. OECD. Arkiverad från originalet den 8 september 2015. https://web.archive.org/web/20150908034707/http://www.oecd.org/pisa/participatingcountrieseconomies/. Läst 26 april 2013.

[49] ”Matematiska institutionen”. Stockholms universitet. 2014. Arkiverad från originalet den 26 mars 2017. https://web.archive.org/web/20170326052309/http://www.math.su.se/utbildning/l%C3%A4rarutbildning/%C3%A4mnesl%C3%A4rarprogrammet/bli-matematikl%C3%A4rare-1.80271. Läst 25 mars 2017.

[50] ”Matematikcentrum”. Lunds universitet. http://www.maths.lu.se/forskning/. Läst 26 april 2013.

[51] ”Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola”. Chalmers tekniska högskola. http://www.chalmers.se/sv/institutioner/math/forskning/Sidor/default.aspx. Läst 26 april 2013.

[52] ”Matematiska institutionen Stockholms universitet”. Stockholms universitet. http://www.math.su.se/forskning. Läst 26 april 2013.

[53] ”Matematiska institutionen Uppsala universitet”. Uppsala universitet. http://www.math.uu.se/Forskning/. Läst 26 april 2013.

[54] ”Matematiska institutionen Kungliga Tekniska högskolan”. Kungliga Tekniska högskolan. http://www.sci.kth.se/en/institutioner/math/forskning/matematik. Läst 26 april 2013.

[55] ”Om Institut Mittag-Leffler”. Institut Mittag-Leffler. Arkiverad från originalet den 7 september 2015. https://web.archive.org/web/20150907230337/http://www.mittag-leffler.se/?q=about. Läst 26 april 2013.

[56] ”Mathematics as a technology”. Fraunhofer-Chalmers Research Centre for Industrial Mathematics. http://www.fcc.chalmers.se/. Läst 27 april 2013.

[57] ”World's Best Universities Mathematics”. USNews. Arkiverad från originalet den 30 september 2013. https://web.archive.org/web/20130930233851/http://www.usnews.com/education/worlds-best-universities-rankings/best-universities-mathematics. Läst 26 april 2013.

[58] ”Institute of Science Tokyo established on October 1, 2024” (på engelska). Institute of Science Tokyo. https://www.isct.ac.jp/en/news/fqsr7lxwvnbe. Läst 26 september 2026.

[59] ”Mathematical Journals”. Mathematics on the Web Pages. Arkiverad från originalet den 26 april 2013. https://web.archive.org/web/20130426052229/http://www.mathontheweb.org/mathweb/mi-journals.html. Läst 4 april 2013.

[23] "Mathematicians deal with statements. Usually the statements are about numbers. The statements may be true or false. To decide whether a statement is true or false requires a proof."

[35] "Pure mathematics consists entirely of such asseverations as that, if such and such a proposition is true of anything, then such and such another proposition is true of that thing... It is essential not to discuss whether the proposition is really true, and not to mention what the anything is of which it is supposed to be true... If our hypothesis is about anything and not about some one or more particular things, then our deductions constitute mathematics. Thus mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true."

[38] "The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics."