Determinant

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır. Sadece bir sayısal değer değil; o matrisin temsil ettiği lineer dönüşümün uzay üzerindeki etkisini özetleyen çok kritik bir "ölçektir.

1.Geometrik Ölçekleme

Determinantın somut anlamı, bir dönüşümün birim bölgeyi ne kadar genişlettiği veya daralttığıdır.

• 2x2 Matrislerde: Birim karenin (alanı 1 olan) dönüşüm sonrası kapladığı paralelkenarın alanını verir.
• 3x3 Matrislerde: Birim küpün dönüşüm sonrası kapladığı paralelkenar yüzlü (parallelepipied) hacmini ifade eder.
• n-boyutlu Uzayda: Söz konusu lineer dönüşümün ${\displaystyle n}$-boyutlu hacmi hangi oranda değiştirdiğini gösterir.

2. Terslenebilirlik (Invertibility)

Cebirsel açıdan determinant, bir matrisin tersinin olup olmadığını belirleyen yegane kriterdir.

${\displaystyle \det(A)\neq 0}$ : Matris terslenebilirdir. Bu, dönüşümün uzayı "ezmediği", yani boyut kaybı yaşatmadığı anlamına gelir. Bilgi kaybı yoktur; dönüşüm geri alınabilir.

${\displaystyle \det(A)=0}$ : Matris singülerdir (tekildir). Geometrik olarak bu, uzayın daha düşük bir boyuta çöktüğü anlamına gelir.

3. Yönelim

Pozitif Determinant: Dönüşüm uzayının yönelimini korur.

Negatif Determinant: Dönüşüm uzayını "tersyüz" eder. Bir nevi aynalama etkisi yaratır.

Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matris elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir.

Örneğin:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}$ matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}\ }$.

Basit bir örnek olarak,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\,}$.

Bu durumda matrisinin determinantı şudur:

${\displaystyle \det A=ad-bc.\ }$

Determinantın açık tanımı

Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}C_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}(-1)^{i+j}M_{i,j}}$.

Determinant ve geometri

Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d) ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

Determinantın temel özellikleri

• Birim matrisin determinantı birdir:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{vmatrix}}=1.}$

• Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:

${\displaystyle {\mathsf {\det(AB)=\det(A)\det(B)}}}$.

• det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A⁻¹ tanımlıdır. Bu durumda:

${\displaystyle {\mathsf {\det(A^{-1})=\left(\det(A)\right)^{-1}}}}$.

• A ve B benzer matrisler olsun: ${\displaystyle \textstyle {\mathsf {A=X^{-1}BX}}}$ ve dönüşüm matrisi X in tersi ${\displaystyle \textstyle {\mathsf {X^{-1}}}}$ tanımlı olsun. Bu durumda:

${\displaystyle {\mathsf {\det(A)=\det(X)^{-1}\det(BX)=\det(X)^{-1}\det(B)\det(X)=\det(B)\det(X)^{-1}\det(X)=\det(B)}}}$.

• Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:

${\displaystyle {\mathsf {\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}}}$.

• Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:

${\displaystyle {\mathsf {\det(\alpha A)=\alpha ^{n}det(A)}}}$.

Kalıp Matrisler (Blok matrisler)

Boyutları n×n, n×m, m×n ve m×m olan A, B, C ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&0\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\0&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(A)\det(D)}}.}$

Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&0\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {I}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathsf {I}}&{\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {B}}\\0&{\mathsf {D-CA^{-1}B}}\end{pmatrix}}}$

denkliği yazılabilir ve buradan determinant

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(A)\det(D-CA^{-1}B)}}.}$

şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etmiş oluruz.

Ayrıca,

C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(AD-BC)}}}$.

A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(AD-CB)}}}$.

B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(DA-BC)}}}$.

A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(DA-CB)}}}$.

Kaynakça

Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.