Affine Gruppe

AGL₁(ℝ)

Sei ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{1}}$ der eindimensionale reelle Vektorraum. Eine bijektive, affine Abbildung ist dann nichts anderes als eine Geradengleichung

${\displaystyle f(x)=ax+v}$ mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ und ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(\mathbb {R} )}$ ist also die Gruppe aller nicht-konstanten Geradengleichungen. Jedes Element hat die Form ${\displaystyle f=f_{a,v}}$ mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*},v\in \mathbb {R} }$. Also kann ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(\mathbb {R} )}$ mit ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\times \mathbb {R} }$ identifiziert werden, und für die Gruppenoperationen gilt bei dieser Identifikation

${\displaystyle (a,v)\cdot (b,w)=(ab,aw+v)}$

${\displaystyle \textstyle (a,v)^{-1}=({\frac {1}{a}},{\frac {-v}{a}})}$.

${\displaystyle (1,0)}$ ist das neutrale Element.

AGL₁(5)

Ersetzt man in obigem Beispiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ durch den endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}=\{0,1,2,3,4\}}$, so erhält man die im Folgenden beschriebene endliche Gruppe mit 20 Elementen.

Eine bijektive, affine Abbildung ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\rightarrow \mathbb {Z} _{5}}$ hat die Gestalt

${\displaystyle f(x)=ax+v}$ mit ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{5}^{*}=\{1,2,3,4\}}$ und ${\displaystyle v\in \mathbb {Z} _{5}}$.

Bezeichnet man ein solches Element einfach mit av, so ist

${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)=\{10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,31,32,33,34,40,41,42,43,44\}}$

und man hat folgende Verknüpfungstafel:

${\displaystyle \,\cdot }$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,34}$
${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,34}$
${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,30}$
${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,31}$
${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,32}$
${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,33}$
${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,21}$
${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,22}$
${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,23}$
${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,24}$
${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,20}$
${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,13}$
${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,14}$
${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,10}$
${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,11}$
${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,12}$
${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,42}$
${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,43}$
${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,44}$
${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,41}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,40}$
${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,34}$	${\displaystyle \,32}$	${\displaystyle \,30}$	${\displaystyle \,33}$	${\displaystyle \,31}$	${\displaystyle \,24}$	${\displaystyle \,22}$	${\displaystyle \,20}$	${\displaystyle \,23}$	${\displaystyle \,21}$	${\displaystyle \,14}$	${\displaystyle \,12}$	${\displaystyle \,10}$	${\displaystyle \,13}$	${\displaystyle \,11}$	${\displaystyle \,44}$	${\displaystyle \,42}$	${\displaystyle \,40}$	${\displaystyle \,43}$	${\displaystyle \,41}$

Die Anordnung der Elemente wurde dabei so gewählt, dass die oberen, linken Teile der Verknüpfungstafel die 5-elementige Untergruppe ${\displaystyle \{10,11,12,13,14\}}$ und die 10-elementige Untergruppe ${\displaystyle \{10,11,12,13,14,40,41,42,43,44\}}$ zeigen. Diese sind isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\rtimes \mathbb {Z} _{5}}$ (siehe unten spezielle affine Gruppe). Letztere ist offenbar nichtabelsch. Da es bis auf Isomorphie aber nur zwei 10-elementige Gruppen gibt, siehe Liste kleiner Gruppen, muss sie isomorph zur Diedergruppe ${\displaystyle D_{5}}$ sein.

Konstruktion

Wir betrachten die affine allgemeine Gruppe ${\displaystyle \mathrm {AGL} (V)}$ über dem Vektorraum ${\displaystyle V}$. Die Untergruppe der Translationen auf ${\displaystyle V}$ ist isomorph zur additiven Gruppe ${\displaystyle (V,+)}$ und die Untergruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ operiert als Gruppe von Automorphismen auf den Translationen. Offenbar ist jedes Element aus ${\displaystyle \mathrm {AGL} (V)}$ ein Produkt aus einem Element der Untergruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ und der Translationengruppe ${\displaystyle V}$. Daher hat man das folgende semidirekte Produkt

${\displaystyle \mathrm {AGL} (V)\cong V\rtimes \mathrm {GL} (V)}$.

Für ${\displaystyle V=K^{n}}$ bedeutet das

${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(K)\cong K^{n}\rtimes \mathrm {GL} (n,K)}$.

Anzahl der Elemente

Damit lässt sich die Ordnung der Gruppe ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(q)}$ über dem Körper ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle q=p^{k}}$ Elementen leicht auf die Gruppenordnung von ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(q)}$ zurückführen:

${\displaystyle \mathrm {ord} (\mathrm {AGL} _{n}(q))=|K^{n}|\cdot \mathrm {ord} (\mathrm {GL} _{n}(q))=q^{n}\cdot \prod _{i=0}^{n-1}(q^{n}-q^{i})}$

Beispiel AGL₁(5)

Das obige Beispiel ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)}$ hat nach obiger Anzahlformel ${\displaystyle 5^{1}\cdot (5^{1}-5^{0})=20}$ Elemente und kann als

${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)\cong \mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{5}^{*}}$

geschrieben werden. Da ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\cong \mathbb {Z} _{5}^{*}}$, erhält man

${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)\cong \mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{4}}$.

Dabei ist allerdings darauf zu achten, wie ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ als Automorphismen auf ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ operiert. Bei den vorgenommenen Identifikationen wird das erzeugende Element ${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} _{4}}$ auf die Multiplikation mit 2 auf ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ abgebildet. Das ist mit dem semidirekten Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{4}}$ gemeint.

Beispiel AGL₂(2)

${\displaystyle \mathrm {AGL} _{2}(2)}$ ist die Gruppe der affinen Abbildungen des zweidimensionalen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-Vektorraums, sie permutiert die vier Vektoren dieses Vektorraums und ist daher isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{4}}$. Nach obigem ist aber auch ${\displaystyle \mathrm {ord} (\mathrm {AGL} _{2}(2))=2^{2}\cdot (2^{2}-2^{0})\cdot (2^{2}-2)=4\cdot 3\cdot 2=24}$, das heißt, ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{2}(2)}$ muss daher zu ${\displaystyle S_{4}}$ isomorph sein.

Die spezielle affine Gruppe

Auf den affinen Gruppen hat man die Determinantenabbildung

${\displaystyle \det$ :\mathrm {AGL} _{n}(K)\cong K^{n}\rtimes \mathrm {GL} _{n}(K)\rightarrow K^{*},(v,A)\mapsto \det(A)} ,

die ein Homomorphismus in die Einheitengruppe des Körpers ist. Alternativ kann man auch obige Einbettung ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(K)\subset \mathrm {GL} _{n+1}(K)}$ verwenden und die Determinantenabbildung auf ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(K)}$ als Einschränkung der Determinantenabbildung auf ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n+1}(K)}$ definieren.

Der Kern dieses Homomorphismus, das heißt die Menge aller Elemente mit Determinante 1, ist dann ein Normalteiler in ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(K)}$, den man in Analogie zur speziellen linearen Gruppe die spezielle affine Gruppe nennt und mit ${\displaystyle \mathrm {ASL} _{n}(K)}$ bezeichnet.

In obigem Beispiel ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)}$ ist offenbar ${\displaystyle \mathrm {ASL} _{1}(5)=\{10,11,12,13,14\}}$.

Allgemeiner kann man Urbilder beliebiger Untergruppen von ${\displaystyle K^{*}}$ betrachten. In ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)}$ hat man also den weiteren Normalteiler ${\displaystyle {\det }^{-1}(\{1,4\})}$, das ist die bereits oben erwähnte 10-elementige Untergruppe von ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{1}(5)}$. In der Sprache der semidirekten Produkte ist das ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$, indem man ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ als Untergruppe ${\displaystyle \{1,4\}\subset \mathbb {Z} _{5}^{*}}$ auffasst.

Die affine semilineare Gruppe

Die affinen Gruppen ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(K)}$ entstehen aus der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(K)}$ durch Hinzunahme der Translationen. Diese Gruppen kann man durch Hinzunahme von Körperautomorphismen weiter vergrößern. Ist ${\displaystyle \sigma }$ ein Automorphismus auf ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} _{n}(K)}$ und ${\displaystyle v\in K^{n}}$, so sei

${\displaystyle f_{A,v,\sigma }:K^{n}\rightarrow K^{n},\,x\mapsto A(\sigma (x))+v}$,

wobei ${\displaystyle \sigma (x)}$ durch komponentenweise Anwendung auf die Komponenten des Spaltenvektors ${\displaystyle x\in K^{n}}$ definiert ist. Derartige Abbildungen nennt man affin-semilinear, Kompositionen und Umkehrungen bijektiver affin-semilinearer Abbildungen sind wieder von dieser Art.

${\displaystyle \mathrm {A\Gamma L} _{n}(K):=\{f_{A,v,\sigma };\,A\in \mathrm {GL} _{n}(K),v\in K^{n},\sigma \in \mathrm {Aut} (K)\}}$

heißt affin semilineare Gruppe.

In den Fällen ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ oder ${\displaystyle K=\mathbb {Z} _{p}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle p}$ gibt es keine nicht-trivialen Körperautomorphismen und man erhält nichts Neues. Bei Körpern wie ${\displaystyle K=GF(4)}$ hat man es mit echten Erweiterungen von ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(K)}$ zu tun. Fasst man die affinen Abbildungen als strukturerhaltende Abbildungen affiner Räume auf, so ist ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(K)}$ im Allgemeinen nicht die volle Automorphismengruppe der affinen Struktur, diese erhält man erst durch die im Allgemeinen größere affine semilineare Gruppe.