Wärmeleitungsgleichung

Homogene Gleichung

In homogenen Medien lautet die Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u({\vec {x}},t)-a\Delta u({\vec {x}},t)=0,}$

wobei ${\displaystyle u({\vec {x}},t)}$ die Temperatur an der Stelle ${\displaystyle {\vec {x}}}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \Delta }$ der Laplace-Operator bezüglich ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und die Konstante ${\displaystyle a>0}$ die Temperaturleitfähigkeit des Mediums ist.

In der mathematischen Literatur verzichtet man häufig auf die Diffusivität-Konstante ${\displaystyle a}$, das heißt, man setzt ${\displaystyle a=1}$ und betrachtet die kompakte Gleichung

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u.}$

Im stationären Fall, wenn also die Zeitableitung ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial t}}}$ null ist, geht die Gleichung in die Laplace-Gleichung ${\displaystyle \Delta u=0}$ über.

Eine häufig verwendete Vereinfachung berücksichtigt nur eine Raumdimension und beschreibt zum Beispiel die zeitliche Änderung der Temperatur in einem dünnen, relativ dazu langen Stab aus festem Material. Dadurch wird der Laplace-Operator zu einer einfachen zweiten Ableitung:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)-a{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{u(x,t)}=0}$

Nichthomogene Gleichung

In Medien mit zusätzlichen Wärmequellen (z. B. durch Joulesche Wärme oder eine chemische Reaktion) lautet die dann inhomogene Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u({\vec {x}},t)-a\Delta u({\vec {x}},t)=f({\vec {x}},t),}$

wobei die rechte Seite ${\displaystyle f}$ der Quotient aus volumenbezogener Wärmequelldichte (der pro Volumen und Zeit produzierten Wärmemenge) und der volumenbezogenen Wärmekapazität (dem Produkt aus Dichte und massebezogener Wärmekapazität) ist. Im stationären Fall, wenn also die Zeitableitung null ist, geht die Gleichung in die Poisson-Gleichung über.

Fundamentallösung

Eine spezielle Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist die sogenannte Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Diese lautet bei einem eindimensionalen Problem

${\displaystyle H(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi at}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4at}}\right)}$

und bei einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Problem

${\displaystyle H({\vec {x}};t)={\frac {1}{(4\pi at)^{n/2}}}\exp \left(-{\frac {\|{\vec {x}}\|^{2}}{4at}}\right),}$

wobei ${\displaystyle \textstyle \|{\vec {x}}\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}$ das Quadrat der euklidischen Norm von ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ist.

${\displaystyle H}$ wird auch als Wärmeleitungskern (oder engl. heat kernel) bezeichnet. Die funktionale Form entspricht der einer Gauß’schen Normalverteilung mit ${\displaystyle \sigma ^{2}=2at}$.

Lösungsformel für das homogene Cauchyproblem

Mit Hilfe der oben angegebenen Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung kann man für das homogene Cauchyproblem der Wärmeleitungsgleichung eine allgemeine Lösungsformel angeben. Dazu stellt man für gegebene Anfangsdaten ${\displaystyle u_{0}}$ zur Zeit ${\displaystyle t=0}$ zusätzlich die Anfangsbedingung

${\displaystyle \forall \ {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}:u({\vec {x}},t=0)=u_{0}({\vec {x}})}$

in Form einer Delta-Distribution dar. Die Lösung ${\displaystyle u({\vec {x}},t)}$ des homogenen Anfangswertproblem erhält man für ${\displaystyle t>0}$ durch die Faltung der Fundamentallösung ${\displaystyle H}$ mit den gegebenen Anfangsdaten ${\displaystyle u_{0}}$:

${\displaystyle u({\vec {x}},t)=(H*u_{0})({\vec {x}},t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}H({\vec {x}}-{\vec {y}},t)u_{0}({\vec {y}})\,\mathrm {d} {\vec {y}}}$

Lösungsformel für das inhomogene Cauchyproblem mit Null-Anfangsdaten

Für das inhomogene Anfangswertproblem mit Null-Anfangsdaten ${\displaystyle u_{0}({\vec {x}})=0}$ erhalten wir analog zum homogenen Fall durch die Faltung der Fundamentallösung ${\displaystyle H}$ mit der gegebenen rechten Seite ${\displaystyle f}$ der Differentialgleichung als Lösungsformel:

${\displaystyle u({\vec {x}},t)=(H*f)({\vec {x}},t)=\int _{0}^{t}\int _{\mathbb {R} ^{n}}H({\vec {x}}-{\vec {y}},t-s)f({\vec {y}},s)\,\mathrm {d} {\vec {y}}\,\mathrm {d} s}$

Allgemeine Lösungsformel

Die Lösungsformel für das inhomogene Cauchyproblem mit beliebigen Anfangsdaten erhält man aufgrund der Linearität der Wärmeleitungsgleichung durch Addition der Lösung des homogenen Cauchyproblems mit der Lösung des inhomogenen Cauchyproblems mit Null-Anfangsdaten, insgesamt also:

${\displaystyle u({\vec {x}},t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}H({\vec {x}}-{\vec {y}},t)u_{0}({\vec {y}})\,\mathrm {d} {\vec {y}}+\int _{0}^{t}\int _{\mathbb {R} ^{n}}H({\vec {x}}-{\vec {y}},t-s)f({\vec {y}},s)\,\mathrm {d} {\vec {y}}\,\mathrm {d} s}$

Weitere Lösungen

Wärmewellen

Die Funktion

${\displaystyle u(x,t)=\mathrm {e} ^{-kx}\sin(\omega t-kx)}$

mit einer vorgegebenen Konstanten ${\displaystyle \omega >0}$ löst die homogene Wärmeleitungsgleichung (mit Temperaturleitfähigkeit ${\displaystyle a}$), falls dabei

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {\omega }{2a}}}}$

ist. Sie beschreibt die Temperatur etwa in einer weiten, dicken, ebenen Wand in Abhängigkeit von der Tiefe ${\displaystyle x\geq 0}$ und der Zeit ${\displaystyle t,}$ falls sich die Temperatur an der Oberfläche ${\displaystyle x=0}$ periodisch gemäß ${\displaystyle \sin(\omega t)}$ ändert (man spricht auch von thermischen Wellen).

Temperaturausgleich

In manchen Fällen kann man Lösungen der homogenen Gleichung mithilfe eines Symmetrieansatzes finden, beispielsweise mit

${\displaystyle u(x,t)=v\!\!\ \left(\!{\frac {x}{\sqrt {4at}}}\!\right)}$

für ${\displaystyle t>0.}$ Dieser führt auf die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle v''(\xi )=-2\xi \,v'(\xi ).}$

Diese entspricht einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit getrennten Veränderlichen für ${\displaystyle w=v'}$ und hat die allgemeine Lösung

${\displaystyle v(\xi )=c_{1}\!\ \mathrm {erf} (\xi )+c_{2}}$

mit zwei Konstanten ${\displaystyle c_{1},\!\ c_{2}}$ und der Fehlerfunktion ${\displaystyle \mathrm {erf} .}$ So erhält man die Lösungsschar

${\displaystyle u(x,t)=c_{1}\!\ u_{1}(x,t)+c_{2}}$

mit der speziellen Lösung

${\displaystyle u_{1}(x,t)=\mathrm {erf} \!\!\ \left(\!{\frac {x}{\sqrt {4at}}}\!\right)\quad \;(x\in \mathbb {R} ,\;t>0).}$

Wird noch

${\displaystyle u_{1}(x,0)={\begin{cases}\,1&{\text{für }}x>0,\\\,0&{\text{für }}x=0,\\\!-1\!&{\text{für }}x<0\end{cases}}}$

(Signumfunktion) gesetzt, so ist eine Funktion ${\displaystyle u_{1}\colon \,\mathbb {R} \times [0,\infty )\to \mathbb {R} }$ festgelegt, die nur im Punkt ${\displaystyle (0,0)}$ unstetig ist, sonst aber beliebig oft stetig differenzierbar.

Die Funktion ${\displaystyle u_{1}}$ beschreibt die Temperaturentwicklung in zwei gleichen zylindrischen Stäben, die sich längs der gesamten positiven bzw. negativen ${\displaystyle x}$-Achse erstrecken, rundherum wärmeisoliert sind und zunächst die einheitliche Temperatur ${\displaystyle 1}$ bzw. ${\displaystyle -1}$ haben, aber zum Zeitpunkt ${\displaystyle 0}$ an der Stelle ${\displaystyle x=0}$ zusammengefügt werden.

Maximumprinzip

Sei ${\displaystyle u}$ eine Funktion, die die Temperatur eines Festkörpers in Abhängigkeit vom Ort und der Zeit angibt, also ${\displaystyle u=u(x_{1},x_{2},x_{3},t)}$. ${\displaystyle u}$ ist zeitabhängig, weil sich die thermische Energie mit der Zeit über das Material ausbreitet. Die physikalische Selbstverständlichkeit, dass Wärme nicht aus dem Nichts entsteht, schlägt sich mathematisch im Maximumprinzip nieder: Der Maximalwert (über Zeit und Raum) der Temperatur wird entweder am Anfang des betrachteten Zeitintervalls oder am Rand des betrachteten Raumbereichs angenommen. Diese Eigenschaft gilt allgemein bei parabolischen partiellen Differentialgleichungen und kann leicht bewiesen werden.

Glättungseigenschaft

Eine weitere interessante Eigenschaft ist, dass selbst wenn ${\displaystyle u}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=t_{0}}$ eine Unstetigkeitsstelle hat, die Funktion ${\displaystyle u}$ zu jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t>t_{0}}$ stetig im Raum ist. Wenn also zwei Metallstücke verschiedener Temperatur bei ${\displaystyle t=t_{0}}$ fest verbunden werden, wird sich (nach dieser Modellierung) an der Verbindungsstelle schlagartig die mittlere Temperatur einstellen und die Temperaturkurve stetig durch beide Werkstücke verlaufen.