Fehlerfunktion

Als Fehlerfunktion oder Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet man in der Theorie der speziellen Funktionen die durch das Integral

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

definierte Funktion. Damit ist die Fehlerfunktion eine Stammfunktion von $\textstyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}},$ und zwar die einzige ungerade (gerade Funktionen mit Stammfunktion besitzen genau eine ungerade solche).

Für ein reelles Argument $x$ ist $\operatorname {erf}$ eine reellwertige Funktion; zur Verallgemeinerung auf komplexe Argumente siehe unten.

Die Fehlerfunktion ist eine Sigmoidfunktion, findet Anwendung in der Statistik und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und hängt eng mit dem Fehlerintegral zusammen.

Bezeichnungen

Die Bezeichnung ${\textrm {erf}}(x)$ kommt von error function.

Taylor-Reihe

Der Integrand der Fehlerfunktion hat folgende Reihendarstellung:

e^{-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot t^{2n}

Auf Kreisschreiben ${\overline {D_{r}(0)}}\subset \mathbb {C}$ konvergieren die Taylorsummen $\textstyle f_{_{N}}(t)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot t^{2n}$ gleichmäßig gegen den Integranden $e^{-t^{2}}$ der Fehlerfunktion. Daher kann man die Stammfunktion auf ${\overline {D_{r}(0)}}$ bilden und mit dem Identitätssatz kann man die Stammfunktion des Integranden als ganze Funktion auf $\mathbb {C}$ erweitern. Dies liefert eine Stammfunktion von $e^{-t^{2}}$ :

F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\cdot (2n+1)}}\cdot x^{2n+1}

Mit $F(0)=0$ kann man diese Potenzreihendarstellung für $\operatorname {erf} (x)$ verwenden.

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\cdot (2n+1)}}\cdot x^{2n+1}

Komplementäre Fehlerfunktion

Die komplementäre (bzw. konjugierte) Fehlerfunktion $\operatorname {erfc} (x)$ ist gegeben durch

{\begin{array}{rcl}\operatorname {erfc} (x)&=&1-\operatorname {erf} (x)\\&=&\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.\end{array}}

Punktsymmetrie des Graphen

Die Punktsymmetrie des Graphen der Fehlerfunktion ergibt sich direkt über die ungeraden Exponenten mit $F(-x)=-F(x)$ . Daher erfüllen $\operatorname {erf}$ und $\operatorname {erfc}$ die folgenden Eigenschaften:

\operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x),\quad \operatorname {erfc} (-x)=2-\operatorname {erfc} (x)

Verallgemeinerte Fehlerfunktion

Die verallgemeinerte Fehlerfunktion $\operatorname {erf} (a,b)$ wird durch das Integral

\operatorname {erf} (a,b)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\cdot (F(b)-F(a))

definiert.

Eigenschaften

Es gilt:

\operatorname {erf} (a,b)=\operatorname {erf} (b)-\operatorname {erf} (a)

Die Fehlerfunktion ist ungerade:

\operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x)

Das uneigentliche Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ ist

{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=2

Außerdem gilt:

\operatorname {erf} (x)^{2}={\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp[-x^{2}(y^{2}+1)]}{y^{2}+1}}\mathrm {d} y

Verwendung

Verwandtschaft mit der Normalverteilung

Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung. Sie hat jedoch die Bildmenge $(-1,1)$ , während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich $[0,1]$ annehmen muss.

Es gilt für die Standardnormalverteilung

{\begin{array}{rcl}\Phi (x)&=&{\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!\cdot (2n+1)}}\cdot \left({\frac {-1}{2}}\right)^{n}\cdot x^{2n+1}\end{array}}

bzw. für die Verteilungsfunktion $F$ einer beliebigen Normalverteilung mit Standardabweichung $\sigma$ und Erwartungswert $\mu$

F(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right).

Messreihe – Messfehler

Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer Messreihe vom gemeinsamen Mittelwert durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung $\sigma$ und Erwartungswert 0 beschrieben werden können, dann ist $\textstyle \operatorname {erf} \left({\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$ die Wahrscheinlichkeit, mit der der Messfehler einer einzelnen Messung zwischen $-a$ und $+a$ liegt (für positives $a$ ).

Pseudozufallszahlen

Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der Inversionsmethode normalverteilte Pseudozufallszahlen zu generieren.

Wärmeleitungsgleichung

Die Fehlerfunktion und das Fehlerintegral kommen beispielsweise in Lösungen der Wärmeleitungsgleichung vor, wenn die Anfangsbedingung durch die Signum- bzw. Heaviside-Funktion vorgegeben ist.

Numerische Berechnung

Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss numerisch bestimmt werden.

Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der Reihenentwicklung

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\dotsb \right),

für große reelle Werte mit der Kettenbruchentwicklung

\operatorname {erf} (x)=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {e^{-x^{2}}}{x+{\frac {1}{2x+{\frac {2}{x+{\frac {3}{2x+{\frac {4}{x+\dotsb }}}}}}}}}}.

Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von $1{,}2\cdot 10^{-7}$ :

\operatorname {erf} (x)\approx {\begin{cases}1-\tau (x){\text{,}}&{\text{falls }}x\geq 0{\text{,}}\\\tau (-x)-1&{\text{sonst,}}\end{cases}}

mit

{\begin{array}{rcl}\tau (x)&=&t\cdot \exp {\bigl (}-x^{2}-1{,}26551223+1{,}00002368\cdot t+0{,}37409196\cdot t^{2}+0{,}09678418\cdot t^{3}\\&&\qquad -0{,}18628806\cdot t^{4}+0{,}27886807\cdot t^{5}-1{,}13520398\cdot t^{6}+1{,}48851587\cdot t^{7}\\&&\qquad -0{,}82215223\cdot t^{8}+0{,}17087277\cdot t^{9}{\bigr )}\end{array}}

und

t={\frac {1}{1+0{,}5\,|x|}}.

Eine für alle reellen Werte von $x$ schnell konvergierende Entwicklung erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:

{\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\ \cdots \right)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-k\,x^{2}}\right)\end{aligned}}

Durch geeignete Wahl von $c_{1}$ und $c_{2}$ ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei $\textstyle x=\pm 1{,}3796$ kleiner als $\textstyle 3{,}6127\cdot 10^{-3}$ ist:

\operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}\,e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}\,e^{-2\,x^{2}}\right)

Wertetabelle

$x$	$\operatorname {erf} (x)$	$\operatorname {erfc} (x)$	$x$	$\operatorname {erf} (x)$	$\operatorname {erfc} (x)$
0,00	0,0000000	1,0000000	1,30	0,9340079	0,0659921
0,05	0,0563720	0,9436280	1,40	0,9522851	0,0477149
0,10	0,1124629	0,8875371	1,50	0,9661051	0,0338949
0,15	0,1679960	0,8320040	1,60	0,9763484	0,0236516
0,20	0,2227026	0,7772974	1,70	0,9837905	0,0162095
0,25	0,2763264	0,7236736	1,80	0,9890905	0,0109095
0,30	0,3286268	0,6713732	1,90	0,9927904	0,0072096
0,35	0,3793821	0,6206179	2,00	0,9953223	0,0046777
0,40	0,4283924	0,5716076	2,10	0,9970205	0,0029795
0,45	0,4754817	0,5245183	2,20	0,9981372	0,0018628
0,50	0,5204999	0,4795001	2,30	0,9988568	0,0011432
0,55	0,5633234	0,4366766	2,40	0,9993115	0,0006885
0,60	0,6038561	0,3961439	2,50	0,9995930	0,0004070
0,65	0,6420293	0,3579707	2,60	0,9997640	0,0002360
0,70	0,6778012	0,3221988	2,70	0,9998657	0,0001343
0,75	0,7111556	0,2888444	2,80	0,9999250	0,0000750
0,80	0,7421010	0,2578990	2,90	0,9999589	0,0000411
0,85	0,7706681	0,2293319	3,00	0,9999779	0,0000221
0,90	0,7969082	0,2030918	3,10	0,9999884	0,0000116
0,95	0,8208908	0,1791092	3,20	0,9999940	0,0000060
1,00	0,8427008	0,1572992	3,30	0,9999969	0,0000031
1,10	0,8802051	0,1197949	3,40	0,9999985	0,0000015
1,20	0,9103140	0,0896860	3,50	0,9999993	0,0000007

Komplexe Fehlerfunktion

Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente $z$ ausgeweitet werden:

\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-\tau ^{2}}\,\mathrm {d} \tau

In diesem Fall ist $\operatorname {erf}$ eine komplexwertige Funktion. Unter komplexer Konjugation gilt

\operatorname {erf} (z^{*})=\operatorname {erf} (z)^{*}

.

Imaginäre Fehlerfunktion

Die imaginäre Fehlerfunktion $\operatorname {erfi} (x)$ ist gegeben durch

\operatorname {erfi} (x)={\frac {\operatorname {erf} (\mathrm {i} x)}{\mathrm {i} }}

mit der Reihenentwicklung

\operatorname {erfi} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}+\dotsb \right)

.

Zur Berechnung können $\operatorname {erf,erfi,erfc}$ und weitere verwandte Funktionen auch durch die Faddeeva-Funktion $w(z)$ ausgedrückt werden. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek libcerf zur Verfügung.

Literatur

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972, Chapter 7.
William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery: Numerical Recipes in C. 2. Auflage. Cambridge 1992, S. 220 ff. (PDF; 76 kB)
Bronstein, I.N. und Semendjajew, K.A., Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, S. 782

Einzelnachweise

↑ Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, S. 782
↑ Für eine konkrete Implementierung siehe z. B. Peter John Acklam: An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function. (Memento vom 5. Mai 2007 im Internet Archive)
↑ Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.
↑ H. M. Schöpf, P. H. Supancic: On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion. In: The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16-11.
↑ Moritz Cantor: Bürmann, Heinrich. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 47, Duncker & Humblot, Leipzig 1903, S. 392–394.
↑ E. W. Weisstein: Bürmann’s Theorem. mathworld
↑ Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: libcerf.

[1] Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, S. 782

[2] Für eine konkrete Implementierung siehe z. B. Peter John Acklam: An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function. (Memento vom 5. Mai 2007 im Internet Archive)

[3] Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.

[4] H. M. Schöpf, P. H. Supancic: On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion. In: The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16-11.

[5] Moritz Cantor: Bürmann, Heinrich. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 47, Duncker & Humblot, Leipzig 1903, S. 392–394.

[6] E. W. Weisstein: Bürmann’s Theorem. mathworld

[7] Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: libcerf.