Filtrierter Kolimes

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein filtrierter Kolimes (auch direkter Limes oder induktiver Limes) ein spezieller Kolimes. Er kann in gewissen Fällen als Verallgemeinerung der Vereinigung betrachtet werden.

Elementare Definition (für teilgeordnete Indexmengen)

Die Indexmenge $(I, \leq)$ sei eine feste gerichtete Menge.

Ein induktives System $(X_{i}, f_{i j})$ besteht aus Objekten (beispielsweise Mengen, Gruppen oder topologischen Räumen) $X_{i}$ für die Indizes $i \in I$ sowie Übergangsabbildungen

f_{i j} : X_{i} \to X_{j}

für

i \leq j

,

die mit der jeweiligen Struktur verträglich sind (d. h. Mengenabbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen topologischer Räume) und folgende Bedingungen erfüllen

$f_{i i} = {id}_{X_{i}}$ für alle $i$ die identische Abbildung auf $X_{i}$ und
$f_{i k} = f_{j k} \circ f_{i j}$ für alle $i \leq j \leq k$ .

Der induktive Limes eines induktiven Systems $(X_{i}, f_{i j})$ ist ein Objekt ${c o l i m}_{n} X_{n}$ zusammen mit Abbildungen

u_{i} : X_{i} \to {c o l i m}_{n} X_{n}

,

die mit den $f_{i j}$ kompatibel sind, d. h.

u_{i} = u_{j} \circ f_{i j}

für

i \leq j

mit der folgenden universellen Eigenschaft:

Kompatible Systeme von Abbildungen der

X_{i}

in ein beliebiges Testobjekt

T

entsprechen Abbildungen von

{c o l i m}_{n} X_{n}

nach

T

.

Das bedeutet: Wann immer Abbildungen $t_{i} : X_{i} \to T$ gegeben sind, für die

t_{i} = t_{j} \circ f_{i j}

für

i \leq j

gilt, gibt es eine eindeutige Abbildung

c : {c o l i m}_{n} X_{n} \to T

,

von der die Abbildungen $t_{i}$ „herkommen“, d. h.

t_{i} = c \circ u_{i}

.

Der induktive Limes eines induktiven Systems (X_i, f_i,j) von Mengen kann explizit konstruiert werden als eine Menge von Äquivalenzklassen

\underset{i}{∐} X_{i} / \sim

in der disjunkten Vereinigung $\underset{i}{∐} X_{i}$ . Hierbei sollen Elemente $x \in X_{i}$ und $y \in X_{j}$ äquivalent sein, wenn ein $k \in I$ existiert, für das $f_{i k} (x) = f_{j k} (y) \in X_{k}$ gilt.