Fortunate-Zahl

Die Fortunate-Zahl fn zu einer gegebenen positiven natürlichen Zahl n ist definiert als die Differenz von Pn (= Produkt der ersten n Primzahlen) auf die kleinste Primzahl, die mindestens um 2 größer als Pn ist.

Sie sind nach Reo Franklin Fortune benannt, der sie untersucht hat.

fn=min⁡{m>1|∏i=1npi+m∈ℙ}.

Die ersten 50 Fortunate-Zahlen sind:

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, 89, 103, 79, 151, 197, 101, 103, 233, 223, 127, 223, 191, 163, 229, 643, 239, 157, 167, 439, 239, 199, 191, 199, 383, 233, 751, 313, 773, 607, 313, 383, 293, … (Folge A005235 in OEIS)

Sortiert und ohne Wiederholungen ist die Folge der Fortunate-Zahlen:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, 223, 229, 233, 239, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 313, 331, 353, 373, 379, 383, 397, 401, 409, 419, 421, 439, 443, … (Folge A046066 in OEIS)

Beispiel

Berechnung der 8. Fortunate-Zahl f8:
Das Produkt der ersten 8 Primzahlen ist P8=2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17⋅19=9699690. Die nächste um mindestens 2 größere Primzahl ist p=9699713. Diese Primzahl ist um p−P8=9699713−9699690=23 größer als das Primzahlprodukt P8. Somit ist f8=23.

Fortunate-Primzahlen

Eine Fortunate-Zahl, die gleichzeitig prim ist, nennt man Fortunate-Primzahl. Bisher sind alle bekannten Fortunate-Zahlen Primzahlen.

Reo Franklin Fortune vermutete, dass alle Fortunate-Zahlen prim sind, ein bis heute ungelöstes Problem (Fortunes Vermutung, englisch Fortune's conjecture).

Less-fortunate numbers

Auf entsprechende Weise definiert Paul Carpenter auch die less-fortunate numbers (oder lesser fortunate numbers) als

ln=min⁡{m>1|∏i=1npi−m∈ℙ}.

Sie sind also definiert als die Differenz von Pn (= Produkt der ersten n Primzahlen) und der größten Primzahl, die mindestens um 2 kleiner als Pn ist. Auch für diese Zahlen ist nicht bekannt, ob sie sämtlich prim sind.

Beispiele

  • Die Less-fortunate number l1 ist nicht definiert, weil P1=2 ist und somit keine Primzahl existiert, welche mindestens um 2 kleiner als P1 ist.
  • Berechnung der Less-fortunate number l9:
Das Produkt der ersten 9 Primzahlen ist P9=2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17⋅19⋅23=223092870. Die nächstkleinere Primzahl ist p=223092827. Das Primzahlprodukt ist um P9−p=223092870−223092827=43 größer als die Primzahl p. Somit ist l9=43.
  • Die ersten 50 Less-fortunate numbers sind (wobei man mit l2=3,l3=7,… beginnen muss):
3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, 59, 47, 89, 67, 73, 107, 89, 101, 127, 97, 83, 89, 97, 251, 131, 113, 151, 263, 251, 223, 179, 389, 281, 151, 197, 173, 239, 233, 191, 223, 223, 293, 593, 293, 457, 227, 311, 373, 257, … (Folge A055211 in OEIS)
  • Sortiert und ohne Wiederholungen ist die Folge der Less-fortunate numbers:
3, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 41, 43, 47, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 113, 127, 131, 151, 173, 179, 191, 197, 223, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 281, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 347, 367, 373, 379, 389, 431, 433, 439, 443, 449, …

Eigenschaft

  • Die ersten 1000 Less-fortunate-numbers sind Primzahlen.

Vermutung

  • Es wird vermutet, dass alle Less-fortunate-numbers Primzahlen sind.

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1. ↑ Fortunate number. In: The Prime Glossary. Abgerufen am 19. April 2008 (englisch).
  2. ↑ Richard Kenneth Guy: Unsolved problems in number theory. Springer, 1994, S. 7–8, abgerufen am 23. Dezember 2018.
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