Stern-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Stern-Primzahl (vom englischen stern prime) eine Primzahl p, welche sich nicht als Summe einer kleineren Primzahl und dem Doppelten eines Quadrats einer ganzen Zahl b≠0 darstellen lässt.

Mit anderen Worten: Gibt es für eine Primzahl p keine kleinere Primzahl q und keine ganze Zahl b≠0, so dass p=q+2b2 gilt, dann nennt man p Stern-Primzahl.

Etwas umformuliert erhält man: Eine Primzahl p nennt man Stern-Primzahl, wenn p−2b2∉ℙ keine Primzahl ergibt für alle ganzzahligen b≠0.

Diese Zahlen wurden erstmals am 18. November 1752 von Christian Goldbach in einem Brief an Leonhard Euler erwähnt (er vermutete damals, dass jede ungerade ganze Zahl die Form q+2b2 mit ganzzahligem b und primen q hat) und etwa ein Jahrhundert später, im Jahr 1856, vom deutschen Mathematiker Moritz Stern genauer untersucht, nach dem diese Zahlen auch benannt wurden.

Beispiele

137−2⋅12=135=33⋅5∉ℙ ist keine Primzahl.
137−2⋅22=129=3⋅43∉ℙ ist keine Primzahl.
137−2⋅32=119=7⋅17∉ℙ ist keine Primzahl.
137−2⋅42=105=3⋅5⋅7∉ℙ ist keine Primzahl.
137−2⋅52=87=3⋅29∉ℙ ist keine Primzahl.
137−2⋅62=65=5⋅13∉ℙ ist keine Primzahl.
137−2⋅72=39=3⋅13∉ℙ ist keine Primzahl.
137−2⋅82=9=32∉ℙ ist keine Primzahl.
137−2⋅92=−25<0
Offensichtlich gibt es kein b>0, sodass 137−2⋅b2∈ℙ eine Primzahl ist. Somit ist p=137 eine Stern-Primzahl.
97−2⋅12=95=5⋅19∉ℙ ist keine Primzahl.
97−2⋅22=89∈ℙ ist eine Primzahl.
Man kann die Berechnung unterbrechen, weil man eine Primzahl q=89 und ein b=2≠0 gefunden hat, sodass 97−2⋅b2=q∈ℙ eine Primzahl ist. Somit ist p=97 keine Stern-Primzahl. Diese so errechnete Primzahl q=89 ist in diesem Fall nicht die einzige Primzahl, die man auf diese Art erhalten kann. Ebenso ergibt auch 97−2⋅32=79∈ℙ und 97−2⋅52=47∈ℙ eine Primzahl. Es gibt für p=97 also drei Möglichkeiten, dass man mit p−2⋅b2 eine Primzahl erhalten kann. Diese Darstellungen nennt man Goldbach-Darstellungen von p=97.
2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (Folge A042978 in OEIS)
Es gibt bis 2⋅1013 keine weiteren Stern-Primzahlen. Es ist unbekannt, ob es größere gibt.
1, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493, 5777, 5993 (Folge A060003 in OEIS)
Diese Zahlen nennt man Stern-Zahlen. Nur zwei dieser Zahlen sind keine Primzahlen, nämlich 5777 und 5993.
1, 3, 13, 19, 55, 61, 139, 139, 181, 181, 391, 439, 559, 619, 619, 829, 859, 1069, 1081, 1459, 1489, 1609, 1741, 1951, 2029, 2341, 2341, 3331, 3331, 3331, 3961, 4189, 4189, 4261, 4801, 4801, 5911, 5911, 5911, 6319, 6319, 6319, 8251, 8251, 8251, 8251, 8251 (Folge A007697 in OEIS)
Beispiel:
An der siebenten und achten Stelle der obigen Liste steht die Zahl n=139. Tatsächlich gibt es für diese Zahl (in diesem Fall eine Primzahl) acht verschiedene (und somit auch sieben verschiedene) Goldbach-Darstellungen, so viel, wie keine andere kleinere Zahl vorher (bis zu dieser Zahl hatte n=61 den Rekord mit sechs Goldbach-Darstellungen):
139=139+2⋅02 mit 139∈ℙ, ist aber genau genommen laut der Definition von Stern-Primzahlen nicht erlaubt, weil b=0
139=137+2⋅12 mit 137∈ℙ
139=131+2⋅22 mit 131∈ℙ
139=121+2⋅32 mit 121=112∉ℙ, also keine Goldbach-Darstellung
139=107+2⋅42 mit 107∈ℙ
139=89+2⋅52 mit 89∈ℙ
139=67+2⋅62 mit 67∈ℙ
139=41+2⋅72 mit 41∈ℙ
139=11+2⋅82 mit 11∈ℙ

Wissenswertes

Einzelnachweise

  1. 1 2 Comments und Links zu OEIS A042978
  2. 1 2 3 4 Laurent Hodges: A lesser-known Goldbach conjecture
  3. ↑ Toying with a lesser known Goldbach Conjecture…
  4. ↑ Chris K. Caldwell, Angela Reddick, Yeng Xiong: The History of the Primality of One: A Selection of Sources. Journal of Integer Sequences 15, Article 12.9.8, 2012, S. 1–40, abgerufen am 10. Februar 2020.