Homotopie-Faser

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Homotopie-Faser einer Abbildung ein nützlicher Begriff der Homotopietheorie.

Definition

Zu jeder stetigen Abbildung topologischer Räume

f : X \to Y

gibt es eine Homotopie-Äquivalenz $ϕ : X^{'} \to X$ , so dass

f \circ ϕ : X^{'} \to Y

eine Faserung ist. Die Faser dieser Faserung heißt Homotopie-Faser von $f$ . Sie ist nur bis auf Homotopie-Äquivalenz eindeutig bestimmt.

Konstruktion

Inklusionen

Wir betrachten zunächst den einfacheren Fall, dass $ι : X \to Y$ eine injektive Abbildung ist. In diesem Fall kann man $X^{'}$ konstruieren als Menge aller Wege in $Y$ , die in $X$ enden.

X^{'} = {σ \in Y^{I} : σ (1) \in X}

.

$X$ kann in $X^{'}$ als Menge der konstanten Wege eingebettet werden und man hat dann eine Homotopie-Äquivalenz $X^{'} \to X$ . Die Abbildung $σ \to σ (0)$ definiert eine Faserung $X^{'} \to Y$ und für einen festen Punkt $x_{0} \in Y$ ist die Faser $F$ die Menge aller Wege in $Y$ , die im festen Basispunkt $x_{0}$ starten und in $X$ enden.

F = {σ \in Y^{I} : σ (0) = x_{0}, σ (1) \in X}

Beispiel

Als ein Beispiel betrachten wir die Inklusion der Einpunktvereinigung $X \lor Y$ in das Produkt $X \times Y$ . Die Homotopie-Faser ist mit der obigen Beschreibung die Vereinigung $P X \times Ω Y \cup Ω X \times P Y$ entlang des Durchschnitts $Ω X \times Ω Y$ . (Hier bezeichnet $P X$ den Wegeraum und $Ω X$ den Schleifenraum.)

Falls $X$ und $Y$ den Homotopietyp von CW-Komplexen haben, ist diese Homotopie-Faser schwach homotopieäquivalent zum Verbund $Ω X * Ω Y$ der beiden Schleifenräume.

Allgemeine Abbildungen

Für eine nicht notwendig injektive Abbildung $f : X \to Y$ betrachte

X^{'} = {(x, σ) \in X \times Y^{I} : f (x) = σ (1)}

.

$X$ kann in $X^{'}$ mittels $x \to (x, σ_{x})$ für den jeweils konstanten Weg $σ_{x}$ eingebettet werden und man hat dann eine Homotopie-Äquivalenz $X^{'} \to X$ . Die Abbildung $(x, σ) \to σ (0)$ definiert eine Faserung $X^{'} \to Y$ und für einen festen Punkt $x_{0} \in Y$ ist die Faser

F = {(x, σ) \in X \times Y^{I} : σ (0) = x_{0}, f (x) = σ (1)}

Lange exakte Sequenz

Sei $f : X \to Y$ eine stetige Abbildung und $F$ ihre Homotopie-Faser. Dann hat man eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen

\dots \to π_{n + 1} (Y, y) \to π_{n} (F, (x, σ_{x})) \to π_{n} (X, x) \to π_{n} (Y, y) \to π_{n - 1} (F, (x, σ_{x})) \to \dots

.

Hier ist $x \in X, y = f (x)$ und $σ_{x} \in F$ ist der Weg in $Y$ , der konstant $f (x)$ ist.

Aus der Kenntnis der Homotopie-Faser erhält man also Zusammenhänge zwischen den Homotopiegruppen von $X$ und $Y$ .

Literatur

R. Bott, L. Tu: Differential forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1982. (Seite 249–250)

Einzelnachweise

↑ T. Ganea: A generalization of the homology and homotopy suspension, Comm. Math. Helv. 39, 295–322, 1964.

[1] T. Ganea: A generalization of the homology and homotopy suspension, Comm. Math. Helv. 39, 295–322, 1964.