Moore-Raum

In der algebraischen Topologie ist ein Moore-Raum ein CW-Komplex, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Homologiegruppe hat. Er ist daher die homologische Analogie eines Eilenberg-MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition

Für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ und eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ ist ein CW-Komplex ${\displaystyle X}$, der für ${\displaystyle n>1}$ zusätzlich einfach zusammenhängend (das heißt wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) sein soll, ein Moore-Raum, wenn die reduzierten singulären Homologiegruppen

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{k}(X;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cl}0&;k\neq n\\G&;k=n\\\end{array}}\right.}$

erfüllen. Ein solcher Raum ist bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig und wird daher mit ${\displaystyle M(G,n)}$ bezeichnet. Dieses Resultat würde ohne die beiden Eigenschaften, ein einfach zusammenhängender CW-Komplex zu sein, nicht gelten.

Lemmata

• Die Einhängung eines Moore-Raumes ist wieder ein Moore-Raum, da dieser den Grad der Homologie um eins hinauf verschiebt. Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle n\geq 1}$ ist ${\displaystyle \Sigma M(G,n)}$ der Moore-Raum ${\displaystyle M(G,n+1)}$.
• Das unendliche symmetrische Produkt ${\displaystyle \operatorname {SP} }$ eines Moore-Raumes ist ein Eilenberg–MacLane-Raum, da dessen Nachkomposition mit der ${\displaystyle n}$-ten Homotopiegruppe ${\displaystyle \pi _{n}}$ genau die ${\displaystyle n}$-te (integrale) Homologiegruppe ${\displaystyle H_{n}(-;\mathbb {Z} )}$ ist (Satz von Dold-Thom). Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle n\geq 1}$ ist ${\displaystyle \operatorname {SP} M(G,n)}$ der Eilenberg–MacLane-Raum ${\displaystyle K(G,n)}$.
• Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle n\geq 1}$ ist der Moore-Raum ${\displaystyle M(G,n)}$ aufgrund induktiver Anwendung des Satzes von Hurewicz sogar ${\displaystyle n-1}$-zusammenhängend mit ${\displaystyle \pi _{n}M(G,n)\cong G}$.

Beispiele

• Die ${\displaystyle n}$-Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$ ist der Moore-Raum ${\displaystyle M(\mathbb {Z} ,n)}$ für ${\displaystyle n\geq 1}$.
• Die reelle projektive Ebene ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ ist der Moore-Raum ${\displaystyle M(\mathbb {Z} _{2},1)}$. Ihre ${\displaystyle n}$-fache Einhängung ${\displaystyle \Sigma ^{n}\mathbb {R} P^{2}}$ ist daher der Moore-Raum ${\displaystyle M(\mathbb {Z} _{2},n+1)}$.

Siehe auch

• Homologiesphäre, ein spezieller Moore-Raum.
• Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie.
• Peterson-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Kohomologie.

Literatur

• Allen Hatcher. Algebraic topology, Cambridge University Press (2002), Für die Diskussion über Moore-Räume siehe Chapter 2, Example 2.40. Eine kostenlose digitale Version ist verfügbar auf der Webseite des Autors.

Einzelnachweise

1. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology., Chapter 4, Example 4.34
2. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 2.2., Exercise 32
3. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 4.K., Exercise 4K.6