Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder $R$ -Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition

Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

C_{n}, n \in ℤ

von $R$ -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

d_{n} : C_{n} \to C_{n - 1}

von $R$ -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

d_{n} \circ d_{n + 1} = 0

für alle n gilt. Der Operator $d_{n}$ heißt Randoperator. Elemente von $C_{n}$ heißen n-Ketten. Elemente von

Z_{n} (C, d) := \ker d_{n} \subseteq C_{n}

bzw.

B_{n} (C, d) := im d_{n + 1} \subseteq C_{n}

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung $d_{n} d_{n + 1} = 0$ ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

H_{n} (C, d) := Z_{n} (C, d) / B_{n} (C, d)

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von $(C, d)$ , ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

C^{n}, n \in ℤ

von $R$ -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

d^{n} : C^{n} \to C^{n + 1}

von $R$ -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

d^{n} \circ d^{n - 1} = 0

für alle n gilt. Elemente von $C^{n}$ heißen n-Koketten. Elemente von

Z^{n} := \ker d^{n} \subseteq C^{n}

bzw.

B^{n} := im d^{n - 1} \subseteq C^{n}

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung $d^{n} d^{n - 1} = 0$ ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

H^{n} (C, d) := Z^{n} (C, d) / B^{n} (C, d)

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von $(C, d)$ , ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex $D_{* *}$ in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht $D_{* *}$ aus Objekten

D_{p, q} \in ob A, p, q \in ℤ

zusammen mit Morphismen

D_{p, q} \overset{d}{\to} D_{p - 1, q}

und

D_{p, q} \overset{d^{'}}{\to} D_{p, q - 1} \forall p, q \in ℤ

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

d \circ d = 0 d^{'} \circ d^{'} = 0 d \circ d^{'} + d^{'} \circ d = 0 .

Der Totalkomplex $Tot (D)_{*}$ des Doppelkomplex $D_{* *}$ ist der Kettenkomplex gegeben durch

Tot (D)_{n} = ⨁_{p + q = n} D_{p, q}

mit der folgenden Randabbildung: für $x \in D_{p, q}$ mit $p + q = n$ ist

d_{n} (x) = d (x) + d^{'} (x) \in D_{p - 1, q} \oplus D_{p, q - 1} \subseteq Tot (D)_{n - 1} .

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von ${Tor}_{*}^{R} (M, N)$ nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.

Eigenschaften

Ein Kettenkomplex $(C_{∙}, d_{∙})$ ist genau dann exakt an der Stelle $i$ , wenn $H_{i} (C_{∙}, d_{∙}) = 0$ ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Kettenhomomorphismus

Eine Funktion

f : (A_{∙}, d_{A, ∙}) \to (B_{∙}, d_{B, ∙})

heißt (Ko-)Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen $f_{n} : A_{n} \to B_{n}$ besteht, welche mit dem Randoperator $d$ vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

d_{B, n} \circ f_{n} = f_{n - 1} \circ d_{A, n}

.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

d_{B}^{n} \circ f_{n} = f_{n + 1} \circ d_{A}^{n}

.

Diese Bedingung stellt sicher, dass $f$ Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik

Es sei $(C, d)$ ein Kokettenkomplex aus $R$ -Moduln über einem Ring $R$ . Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

χ (C, d) = \sum_{i} (- 1)^{i} \dim_{K} H^{i} (C, d) \in ℤ .

Sind auch die einzelnen Komponenten $C^{i}$ endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

χ (C, d) = \sum_{i} (- 1)^{i} \dim_{K} C^{i} \in ℤ .

Im Spezialfall eines Komplexes $C^{0} \to C^{1}$ mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten $C^{i}$ nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K₀-Gruppe von $R$ zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

χ (C, d) = \sum_{i} (- 1)^{i} [C^{i}] \in K_{0} (R) .

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn $R$ ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält $K_{0} (R) ≅ ℤ$ mit $[R^{n}] \hat{=} n$ . Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

Beispiele

Simplizialkomplex
Der singuläre Kettenkomplex zur Definition der singulären Homologie und der singulären Kohomologie topologischer Räume.
Gruppen(ko)homologie.
Jeder Homomorphismus $f : A \to B$ definiert einen Kokettenkomplex

(C, d) = (\dots \to 0 \to 0 \to A \to B \to 0 \to 0 \to \dots) .

Legt man die Indizes so fest, dass sich

A

in Grad 0 und

B

in Grad 1 befindet, so ist

H^{0} (C, d) = \ker f

und

H^{1} (C, d) = coker f .

Die Euler-Charakteristik

\dim \ker f - \dim coker f

von

(C, d)

wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von

f

genannt. Dabei bezeichnet

coker f

den Kokern von

f

.

Ein elliptischer Komplex oder ein Dirac-Komplex ist ein Kokettenkomplex, der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz auf.

Literatur

Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.

Einzelnachweise

↑ S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
↑ Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
↑ J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31

[1] S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.

[2] Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.

[3] J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31