Modellkategorie

MC1 ((Ko-)limites)

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist endlich bivollständig.

MC2 („2 aus 3“)

Sind ${\displaystyle f,g,gf}$ Pfeile in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und zwei von ihnen schwache Äquivalenzen, so auch der dritte.

MC3 (Retrakte)

Ist ${\displaystyle f}$ Retrakt eines Pfeils ${\displaystyle g}$, der einer der ausgezeichneten Unterkategorien angehört, so gehört ${\displaystyle f}$ derselben Unterkategorie an.

MC4 (Hebung)

Sind in dem kommutativen Diagramm

${\displaystyle i}$ Cofaserung, ${\displaystyle p}$ Faserung und ${\displaystyle i}$ oder ${\displaystyle p}$ azyklisch, so gibt es einen Pfeil ${\displaystyle h\colon B\to X}$, der mit dem Diagramm kommutiert.

MC5 (Zerlegung)

1. Jeder Pfeil kann als ${\displaystyle p\circ i}$ für eine Faserung ${\displaystyle p}$ und eine azyklische Kofaserung ${\displaystyle i}$ dargestellt werden.

2. Jeder Pfeil kann als ${\displaystyle p\circ i}$ für eine azyklische Faserung ${\displaystyle p}$ und eine Kofaserung ${\displaystyle i}$ dargestellt werden.

Fasernde und kofasernde Objekte

Nach MC1 enthält ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ insbesondere ein Anfangsobjekt ${\displaystyle \emptyset }$ und ein Endobjekt ${\displaystyle *}$. Ein Objekt ${\displaystyle X}$ heißt fasernd, wenn ${\displaystyle X\to *}$ Faserung ist, kofasernd, wenn ${\displaystyle \emptyset \to X}$ Kofaserung ist.

Simpliziale Mengen

Auf der Kategorie der simplizalen Mengen ${\displaystyle \mathbf {sSet} }$ gibt es die Joyal- und Kan-Quillen-Modellstruktur. Für eine simpliziale Menge ${\displaystyle A}$ gibt es auf der Scheibenkategorie ${\displaystyle \mathbf {sSet} /A}$ zudem die ko- und kontravariante Modellstruktur.

Topologische Räume

Auf der Kategorie ${\displaystyle Top}$ der topologischen Räume wird üblicherweise die folgende Modellkategoriestruktur betrachtet: Als schwache Äquivalenzen werden die schwachen Homotopieäquivalenzen, als Faserungen die Serre-Faserungen gewählt.

Die topologischen Räume lassen sich auch mit einer Modellstruktur versehen, bei der die schwachen Äquivalenzen die Homotopieäquivalenzen sind.

Kettenkomplexe

Die Kategorie ${\displaystyle Ch_{R}}$ der Kettenkomplexe von R-Moduln mit nichtnegativen Indizes hat die folgende Modellkategoriestruktur:

• Als schwache Äquivalenzen werden die Pfeile (also graderhaltende Homomorphismen, die den Ableitungsoperator respektieren) gewählt, die Isomorphismen in der Homologie induzieren.
• Faserungen sind die Pfeile ${\displaystyle f}$, deren Komponenten ${\displaystyle f_{d}}$ für jeden Grad ${\displaystyle d\geq 0}$ Monomorphismen mit projektivem Kokern sind.
• Kofaserungen sind die Pfeile ${\displaystyle f}$, für die die ${\displaystyle f_{d}}$ in positiven Graden ${\displaystyle d>0}$ surjektiv sind.