Faserung

Der Begriff der Faserung verallgemeinert den Begriff eines Faserbündels und spielt in der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Rolle. Anwendung finden Faserungen zum Beispiel in Postnikow-Systemen oder der Obstruktionstheorie.

In diesem Artikel sind alle Abbildungen stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen.

Definitionen

Homotopie-Hochhebungseigenschaft

Eine Abbildung $p : E \to B$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für einen Raum $X$ , falls:

für jede Homotopie $h : X \times [0, 1] \to B$ und
für jede Abbildung (auch Lift genannt) ${\tilde{h}}_{0} : X \to E,$ die $h_{0} = h |_{X \times 0}$ hochhebt (bzw. liftet) (d. h. $h_{0} = p \circ {\tilde{h}}_{0}$ ),

existiert eine Homotopie $\tilde{h} : X \times [0, 1] \to E,$ die $h$ hochhebt (d. h. $h = p \circ \tilde{h}$ ) mit ${\tilde{h}}_{0} = \tilde{h} |_{X \times 0} .$

Das folgende kommutative Diagramm zeigt die Situation:

Faserung

Eine Faserung (oder auch Hurewicz-Faserung) ist eine Abbildung $p : E \to B,$ welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume $X$ erfüllt. Der Raum $B$ wird Basisraum und der Raum $E$ wird Totalraum genannt. Als Faser über $b \in B$ bezeichnet man den Unterraum $p^{- 1} (b) = F_{b} \subseteq E .$

Serre-Faserung

Eine Serre-Faserung (auch schwache Faserung genannt) ist eine Abbildung $p : E \to B,$ welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe erfüllt. $^{[1] S .375 - 376}$

Jede Hurewicz-Faserung ist eine Serre-Faserung.

Quasifaserung

Eine Abbildung $p : E \to B$ wird Quasifaserung genannt, falls für jedes $b \in B,$ $e \in p^{- 1} (b)$ and $i \geq 0$ gilt, dass die induzierte Abbildung $p_{*} : π_{i} (E, p^{- 1} (b), e) \to π_{i} (B, b)$ ein Isomorphismus ist.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung. $^{[5] S .241 - 242}$

Beispiele

Die Projektion auf den ersten Faktor $p : B \times F \to B$ ist eine Faserung.
Jede Überlagerung $p : E \to B$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für jeden Raum $X .$ Speziell gibt es für jede Homotopie $h : X \times [0, 1] \to B$ und jeden Lift ${\tilde{h}}_{0} : X \to E$ einen eindeutig definierten Lift $\tilde{h} : X \to B$ mit $p \circ \tilde{h} = h .$ $^{[2] S .159}$ $^{[3] S .50}$
Faserbündel $p : E \to B$ erfüllen die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe. $^{[1] S .379}$
Ein Faserbündel mit parakompaktem Hausdorff Basisraum erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume. $^{[1] S .379}$
Eine Faserung, welche kein Faserbündel ist, ist die von der Inklusion $i : \partial I^{k} \to I^{k}$ induzierte Abbildung $i^{*} : X^{I^{k}} \to X^{\partial I^{k}},$ wobei $k \in ℕ,$ $X$ ein topologischer Raum und $X^{A} = {f : A \to X}$ der Raum aller stetigen Abbildungen mit der Kompakt-Offen-Topologie ist. $^{[2] S .198}$
Die Hopf-Faserung $S^{1} \to S^{3} \to S^{2}$ ist ein nicht triviales Faserbündel und speziell eine Serre-Faserung.

Grundlegende Konzepte

Faser-Homotopieäquivalenz

Eine Abbildung $f : E_{1} \to E_{2}$ zwischen Totalräumen von zwei Faserungen $p_{1} : E_{1} \to B$ und $p_{2} : E_{2} \to B$ mit gleichem Basisraum ist ein Faserungs-Homomorphismus, falls das Diagramm

kommutiert. Die Abbildung $f$ ist eine Faser-Homotopieäquivalenz, falls zusätzlich ein Faserungs-Homomorphismus $g : E_{2} \to E_{1}$ existiert, sodass die Verknüpfungen $f \circ g$ bzw. $g \circ f$ homotop, durch Faserungs-Homomorphismen, zu den Identitäten $I d_{E_{2}}$ bzw. $I d_{E_{1}}$ sind.

Pullback-Faserung

Gegeben seien eine Faserung $p : E \to B$ und eine Abbildung $f : A \to B$ . Die Abbildung $p_{f} : f^{*} (E) \to A$ ist eine Faserung, wobei $f^{*} (E) = {(a, e) \in A \times E | f (a) = p (e)}$ der Pullback ist und die Projektionen von $f^{*} (E)$ auf $A$ und $E$ das kommutative Diagramm liefern:

Die Faserung $p_{f}$ wird Pullback-Faserung oder auch induzierte Faserung genannt.

Wegeraum-Faserung

Mit der Wegeraumkonstruktion kann jede stetige Abbildung zu einer Faserung erweitert werden, indem man den Definitionsbereich der Abbildung zu einem homotopieäquivalenten Raum vergrößert. Diese Faserung wird dann Wegeraum-Faserung genannt.

Der Totalraum $E_{f}$ der Wegeraum-Faserung für eine stetige Abbildung $f : A \to B$ zwischen topologischen Räumen besteht aus Paaren $(a, γ)$ mit $a \in A$ und Wegen $γ : I \to B$ mit Startpunkt $γ (0) = f (a)$ , wobei $I = [0, 1]$ das Einheitsintervall ist. Der Raum $E_{f} = {(a, γ) \in A \times B^{I} | γ (0) = f (a)}$ trägt die Teilraumtopologie von $A \times B^{I},$ wobei $B^{I}$ den Raum aller Abbildungen $I \to B$ beschreibt und die Kompakt-Offen-Topologie trägt.

Die Wegeraum-Faserung ist durch die Abbildung $p : E_{f} \to B$ mit der Abbildungsvorschrift $p (a, γ) = γ (1)$ gegeben. Die Faser $F_{f}$ wird auch Homotopie-Faser von $f$ genannt und besteht aus den Paaren $(a, γ)$ mit $a \in A$ und Wegen $γ : [0, 1] \to B,$ wobei $γ (0) = f (a)$ und $γ (1) = b_{0} \in B$ gilt.

Für den Spezialfall der Inklusion des Basispunktes $i : b_{0} \to B,$ ergibt sich ein wichtiges Beispiel der Wegeraum-Faserung. Der Totalraum $E_{i}$ besteht aus allen Wegen in $B,$ die am Punkt $b_{0}$ starten. Dieser Raum wird mit $P B$ gekennzeichnet und Wegeraum genannt. Die Wege-Faserung $p : P B \to B$ ordnet jedem Weg seinen Endpunkt zu, weshalb die Faser $p^{- 1} (b_{0})$ aus allen geschlossenen Wegen besteht. Die Faser wird mit $Ω B$ gekennzeichnet und Schleifenraum genannt. $^{[1] S .407 - 408}$

Eigenschaften

Die Fasern $p^{- 1} (b)$ über $b \in B$ sind für die einzelnen Wegzusammenhangskomponenten von $B$ homotopieäquivalent. $^{[1] S .405}$
Für eine Homotopie $f : [0, 1] \times A \to B$ sind die Pullback Faserungen $f_{0}^{*} (E) \to A$ und $f_{1}^{*} (E) \to A$ Faser homotopieäquivalent. $^{[1] S .406}$
Ist der Basisraum $B$ zusammenziehbar, dann ist $p : E \to B$ Faser homotopieäquivalent zu einer Produkt Faserung $B \times F \to B .$ $^{[1] S .406}$
Die Wegeraum-Faserung von $p$ ist sich selbst sehr ähnlich. Genauer gilt: Die Inklusion $E ↪ E_{p}$ ist eine Faser-Homotopieäquivalenz. $^{[1] S .408}$
Ist der Totalraum $E$ zusammenziehbar, dann gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz $F \to Ω B .$ $^{[1] S .408}$

Puppe-Sequenz

Für eine Faserung $p : E \to B$ mit Faser $F$ und Basispunkt $b_{0} \in B$ ist die Inklusion $F ↪ F_{p}$ der Faser in die Homotopie-Faser eine Homotopieäquivalenz. Die Abbildung $i : F_{p} \to E$ mit $i (e, γ) = e,$ wobei $e \in E$ und $γ : I \to B$ ein Weg von $p (e)$ nach $b_{0}$ im Basisraum sind, ist eine Faserung. Sie ist die Pullback-Faserung der Wege-Faserung $P B \to B .$ Dieses Vorgehen kann nun wieder auf die Faserung $i$ angewandt und iteriert werden. Dies führt zu einer langen Sequenz:

\dots \to F_{j} \to F_{i} \overset{j}{\to} F_{p} \overset{i}{\to} E \overset{p}{\to} B .

Die Faser von $i$ über einem Punkt $e_{0} \in p^{- 1} (b_{0})$ besteht aus genau den Paaren $(e_{0}, γ)$ mit geschlossenen Wegen $γ$ und Startpunkt $b_{0}$ , also dem Schleifenraum $Ω B .$ Die Inklusion $Ω B \to F$ ist eine Homotopieäquivalenz und durch Iteration ergibt sich die Sequenz:

\dots Ω^{2} B \to Ω F \to Ω E \to Ω B \to F \to E \to B .

Durch die Dualität von Faserung und Kofaserung existiert auch eine Sequenz von Kofaserungen. Diese beiden Sequenzen sind unter dem Namen Puppe-Sequenzen oder auch Sequenz von Faserungen bzw. Kofaserungen bekannt. $^{[1] S .407 - 409}$

Hauptfaserung

Eine Faserung $p : E \to B$ mit Faser $F$ wird Hauptfaserung genannt, falls ein kommutatives Diagramm existiert:

Die untere Zeile ist eine Sequenz von Faserungen und die vertikalen Abbildungen sind schwache Homotopieäquivalenzen. Hauptfaserungen spielen eine wichtige Rolle bei Postnikow-Türmen. $^{[1] p .412}$

Lange exakte Homotopiesequenz

Für eine Serre-Faserung $p : E \to B$ existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen. Für Basispunkte $b_{0} \in B$ und $x_{0} \in F = p^{- 1} (b_{0})$ ist diese gegeben durch:

\dots \to π_{n} (F, x_{0}) \to π_{n} (E, x_{0}) \to π_{n} (B, b_{0}) \to π_{n - 1} (F, x_{0}) \to \dots \to π_{0} (F, x_{0}) \to π_{0} (E, x_{0}) .

Die Homomorphismen $π_{n} (F, x_{0}) \to π_{n} (E, x_{0})$ und $π_{n} (E, x_{0}) \to π_{n} (B, b_{0})$ sind die induzierten Homomorphismen der Inklusion $i : F ↪ E$ und der Projektion $p : E \to B .$ $^{[1] S .376}$

Hopf-Faserungen

Unter den Hopf-Faserungen versteht man eine Familie von Faserbündeln, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind:

S^{0} ↪ S^{1} \to S^{1},

S^{1} ↪ S^{3} \to S^{2},

S^{3} ↪ S^{7} \to S^{4},

S^{7} ↪ S^{15} \to S^{8} .

Die lange exakte Homotopiesequenz der Hopf-Faserung $S^{1} ↪ S^{3} \to S^{2}$ liefert:

\dots \to π_{n} (S^{1}, x_{0}) \to π_{n} (S^{3}, x_{0}) \to π_{n} (S^{2}, b_{0}) \to π_{n - 1} (S^{1}, x_{0}) \to \dots \to π_{1} (S^{1}, x_{0}) \to π_{1} (S^{3}, x_{0}) \to π_{1} (S^{2}, b_{0}) .

Die Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen, da die Faser $S^{1}$ in $S^{3}$ zu einem Punkt zusammengezogen werden kann:

0 \to π_{i} (S^{3}) \to π_{i} (S^{2}) \to π_{i - 1} (S^{1}) \to 0.

Diese kurze exakte Sequenz zerfällt wegen des Einhängungshomomorphismus $ϕ : π_{i - 1} (S^{1}) \to π_{i} (S^{2})$ und es gibt Isomorphismen:

π_{i} (S^{2}) ≅ π_{i} (S^{3}) \oplus π_{i - 1} (S^{1}) .

Die Homotopiegruppen $π_{i - 1} (S^{1})$ sind für $i \geq 3$ trivial, weshalb es Isomorphismen zwischen $π_{i} (S^{2})$ und $π_{i} (S^{3})$ ab $i = 3$ gibt. Analog kann die Faser $S^{3}$ in $S^{7}$ und die Faser $S^{7}$ in $S^{15}$ zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die kurzen exakten Sequenzen zerfallen weiter, wodurch es Familien von Isomorphismen gibt:

π_{i} (S^{4}) ≅ π_{i} (S^{7}) \oplus π_{i - 1} (S^{3})

und

π_{i} (S^{8}) ≅ π_{i} (S^{15}) \oplus π_{i - 1} (S^{7}) .

^{[6] S .111}

Spektralsequenz

Spektralsequenzen sind wichtige Hilfsmittel in der algebraischen Topologie zur Berechnung von (Ko-)Homologiegruppen.

Die Leray-Serre-Spektralsequenz stellt einen Zusammenhang zwischen der (Ko-)Homologie von Totalraum und Faser mit der (Ko-)Homologie des Basisraums einer Faserung her. Für eine Faserung $p : E \to B$ mit Faser $F$ , wobei der Basisraum ein wegzusammenhängender CW-Komplex ist, und einer additiven Homologietheorie $G_{*}$ existiert eine Spektralsequenz:

H_{k} (B; G_{q} (F)) ≅ E_{k, q}^{2} ⟹ G_{k + q} (E) .

^{[7] S .242}

Faserungen liefern in der Homologie keine langen exakten Sequenzen, wie in der Homotopie. Aber unter bestimmten Bedingungen, liefern Faserungen exakte Sequenzen in der Homologie. Für eine Faserung $p : E \to B$ mit Faser $F$ , wobei Basisraum und Faser wegzusammenhängend sind, die Fundamentalgruppe $π_{1} (B)$ auf $H_{*} (F)$ trivial operiert und zusätzlich die Bedingungen $H_{p} (B) = 0$ für $0 < p < m$ und $H_{q} (F) = 0$ für $0 < q < n$ gelten, existiert eine exakte Sequenz:

H_{m + n - 1} (F) \overset{i_{*}}{\to} H_{m + n - 1} (E) \overset{f_{*}}{\to} H_{m + n - 1} (B) \overset{τ}{\to} H_{m + n - 2} (F) \overset{i^{*}}{\to} \dots \overset{f_{*}}{\to} H_{1} (B) \to 0.

^{[7] S .250}

Diese Sequenz kann z. B. benutzt werden, um den Satz von Hurewicz zu beweisen oder um die Homologiegruppen von Schleifenräumen der Form $Ω S^{n}$ zu berechnen:

H_{k} (Ω S^{n}) = {\begin{matrix} ℤ & \exists q \in ℤ : k = q (n - 1) \\ 0 & s o n s t \end{matrix} .

^{[8] S .162}

Für den Spezialfall einer Faserung $p : E \to S^{n},$ bei welcher der Basisraum eine $n$ -Sphäre mit Faser $F$ ist, existieren exakte Sequenzen (auch Wang Sequenzen genannt) für Homologie und Kohomologie:

\dots \to H_{q} (F) \overset{i_{*}}{\to} H_{q} (E) \to H_{q - n} (F) \to H_{q - 1} (F) \to \dots

\dots \to H^{q} (E) \overset{i^{*}}{\to} H^{q} (F) \to H^{q - n + 1} (F) \to H^{q + 1} (E) \to \dots

^{[4] S .456}

Orientierbarkeit

Für eine Faserung $p : E \to B$ mit Faser $F$ und einem festen kommutativen Ring $R$ mit Eins existiert ein kontravarianter Funktor von dem Fundamentalgruppoid von $B$ zur Kategorie von graduierten $R$ -Moduln, welcher jedem $b \in B$ den Modul $H_{*} (F_{b}, R)$ und der Wegeklasse $[ω]$ den Homomorphismus $h [ω]_{*} : H_{*} (F_{ω (0)}, R) \to H_{*} (F_{ω (1)}, R)$ zuordnet, wobei $h [ω]$ eine Homotopieklasse in $[F_{ω (0)}, F_{ω (1)}]$ ist.

Eine Faserung wird orientierbar über $R$ genannt, falls für jeden geschlossenen Weg $ω$ in $B$ gilt: $h [ω]_{*} = 1.$ $^{[4] S .476}$

Euler-Charakteristik

Für eine über einem Körper $𝕂$ orientierbare Faserung $p : E \to B$ mit Faser $F$ und wegzusammenhängendem Basisraum ist die Euler-Charakteristik des Totalraums definiert durch:

χ (E) = χ (B) χ (F) .

Die Euler-Charakteristiken des Basisraums und der Faser sind dabei über dem Körper $𝕂$ definiert. $^{[4] S .481}$

Literatur

[1] Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X.
[2] Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-45952-2, doi:10.1007/978-3-662-45953-9.
[3] J.P. May: A Concise Course in Algebraic Topology.
[4] Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-94426-5, doi:10.1007/978-1-4684-9322-1.
[5] Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und Unendlich Symmetrische Produkte. Annals of Mathematics, 1958, doi:10.2307/1970005.
[6] Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0.
[7] James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology. 1991.
[8] Ralph L. Cohen: The Topology of Fiber Bundles Lecture Notes. August 1998.

Einzelnachweise

1 2 Edwin Henry Spanier: Algebraic topology. 1. corr. Springer ed Auflage. Springer, New York Berlin Barcelona Budapest 1995, ISBN 978-0-387-94426-5, S. 66.
1 2 Allen Hatcher: Algebraic topology. 14th printing 2015 Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2015, ISBN 978-0-521-79160-1, S. 405–406.

[:1-1] 1 2 Edwin Henry Spanier: Algebraic topology. 1. corr. Springer ed Auflage. Springer, New York Berlin Barcelona Budapest 1995, ISBN 978-0-387-94426-5, S. 66.

[:0-2] 1 2 Allen Hatcher: Algebraic topology. 14th printing 2015 Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2015, ISBN 978-0-521-79160-1, S. 405–406.