Orthogonale Polynome

Unter orthogonalen Polynomen versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von Polynomen

${\displaystyle P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x),\dotsc }$,

die orthogonal bezüglich eines ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarproduktes sind.

Definition

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein Borel-Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und betrachte man den Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )}$ der bezüglich ${\displaystyle \mu }$ quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\mathbb {R} }{\overline {f(x)}}g(x)d\mu (x)}$.

Weiter sei ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} }|x|^{n}d\mu (x)<\infty }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß einen kompakten Träger besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit ${\displaystyle \mu (\mathbb {R} )=1}$ fordern. Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion ${\displaystyle w(x)}$ gegeben: ${\displaystyle d\mu (x)=w(x)dx}$.

Eine Folge von Polynomen ${\displaystyle P_{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, heißt Folge orthogonaler Polynome, falls ${\displaystyle P_{n}(x)}$ Grad ${\displaystyle n}$ hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

${\displaystyle \langle P_{m},P_{n}\rangle =0,\qquad m\neq n.}$

Konstruktion

Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe des Gram-Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahrens aus den Monomen ${\displaystyle x^{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich, die Momente

${\displaystyle m_{n}=\int _{\mathbb {R} }x^{n}d\mu (x)}$

zu kennen. Die Umkehrung ist als Stieltjes’sches Momentenproblem bekannt.

Normierung

Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben, führen wir folgende Konstanten ein:

${\displaystyle h_{n}=\langle P_{n},P_{n}\rangle =\int _{\mathbb {R} }P_{n}(x)^{2}d\mu (x),\qquad {\tilde {h}}_{n}=\langle P_{n}(x),x\,P_{n}(x)\rangle =\int _{\mathbb {R} }x\,P_{n}(x)^{2}d\mu (x)}$

und

${\displaystyle P_{n}(x)=k_{n}x^{n}+{\tilde {k}}_{n}x^{n-1}+{\tilde {\tilde {k}}}_{n}x^{n-2}+\dotsb }$.

Dann bezeichnet man die Polynome als orthonormal, falls ${\displaystyle h_{n}=1}$, und als monisch, falls ${\displaystyle k_{n}=1}$.

Rekursionsrelation

Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n}(x)-C_{n}P_{n-1}(x)}$

(wobei ${\displaystyle P_{-1}(x)=0}$ im Fall ${\displaystyle n=0}$ zu setzen ist) mit

${\displaystyle A_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\quad B_{n}=\left({\frac {{\tilde {k}}_{n+1}}{k_{n+1}}}-{\frac {{\tilde {k}}_{n}}{k_{n}}}\right)A_{n}=-{\frac {{\tilde {h}}_{n}}{h_{n}}}A_{n},\quad C_{n}={\frac {A_{n}{\tilde {\tilde {k}}}_{n}+B_{n}{\tilde {k}}_{n}-{\tilde {\tilde {k}}}_{n+1}}{k_{n-1}}}={\frac {A_{n}}{A_{n-1}}}{\frac {h_{n}}{h_{n-1}}},}$

und den Konstanten ${\displaystyle h_{n},k_{n},{\tilde {k}}_{n},{\tilde {\tilde {k}}}_{n}}$ aus dem vorherigen Abschnitt.

Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form

${\displaystyle a_{n}P_{n+1}(x)+b_{n}P_{n}(x)+c_{n}P_{n-1}(x)=x\,P_{n}(x)}$

mit

${\displaystyle a_{n}={\frac {k_{n}}{k_{n+1}}},\quad b_{n}={\frac {{\tilde {k}}_{n}}{k_{n}}}-{\frac {{\tilde {k}}_{n+1}}{k_{n+1}}}={\frac {{\tilde {h}}_{n}}{h_{n}}},\quad c_{n}={\frac {{\tilde {\tilde {k}}}_{n}-a_{n}{\tilde {\tilde {k}}}_{n+1}-b_{n}{\tilde {k}}_{n}}{k_{n-1}}}=a_{n-1}{\frac {h_{n}}{h_{n-1}}},}$

geschrieben werden.

Speziell im Fall von orthonormalen Polynomen, ${\displaystyle h_{n}=1}$, erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation ${\displaystyle c_{n}=a_{n-1}}$ und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte Eigenvektorgleichung des zugehörigen Jacobi-Operators. Das Maß ${\displaystyle d\mu }$ ist das Spektralmaß des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor ${\displaystyle \delta _{1,n}}$.

Christoffel–Darboux-Formel

Es gilt

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{\frac {P_{m}(x)P_{m}(y)}{h_{m}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{n}(x)P_{n+1}(y)}{x-y}}}$

und im Fall ${\displaystyle x=y}$ erhält man durch Grenzwertbildung

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{\frac {P_{m}(x)^{2}}{h_{m}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\left(P_{n+1}'(x)P_{n}(x)-P_{n}'(x)P_{n+1}(x)\right)}.}$

Nullstellen

Das Polynom ${\displaystyle P_{n}}$ hat genau ${\displaystyle n}$ Nullstellen, die alle einfach sind und im Träger des Maßes liegen. Die Nullstellen von ${\displaystyle P_{n}}$ liegen strikt zwischen den Nullstellen von ${\displaystyle P_{n+1}}$.

Normierte orthogonale Polynome lassen sich wie bereits dargestellt mit der dreistufigen Rekursionsformel

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(x-\alpha _{n})P_{n}(x)-\beta _{n}P_{n-1}(x)}$

beschreiben. Daraus lässt sich die symmetrische Tridiagonalmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{0}&{\sqrt {\beta _{1}}}&0&\dots &0\\{\sqrt {\beta _{1}}}&\alpha _{1}&{\sqrt {\beta _{2}}}&\ddots &\vdots \\0&{\sqrt {\beta _{2}}}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &{\sqrt {\beta _{n-1}}}\\0&\dots &0&{\sqrt {\beta _{n-1}}}&\alpha _{n-1}\end{pmatrix}}}$

herleiten, dessen Eigenwerte mit den Nullstellen von ${\displaystyle P_{n}}$ übereinstimmen. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen.

Liste von Folgen orthogonaler Polynome

• Gegenbauer-Polynom
• Hahn-Polynom
• Hermitesches Polynom
• Jacobi-Polynom
• Legendre-Polynom
• Laguerre-Polynome
• Macdonald-Polynome
• Tschebyschow-Polynom
• Zernike-Polynom

Weiterführende Polynom-Begriffe

Literatur

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun (Hrsg.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover (1965), ISBN 978-0486612720 (Kapitel 22)
• Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. ISBN 0-8218-1023-5.
• Theodore S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 1978. ISBN 978-0677041506.

Weblinks

• Orthogonale Polynome in der NIST Digital Library of Mathematical Functions

Einzelnachweise

1. ↑ Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. Hrsg.: Edition am Gutenbergplatz Leipzig. 2009, ISBN 3-937219-28-5 (Kapitel 2.2).