Torsion (Algebra)

Definitionen

In der einfachsten Form ist ein Torsionselement ein Element endlicher Ordnung in einer Gruppe oder einem Monoid, also ein Element ${\displaystyle g}$, für das es eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$ gibt, so dass ${\displaystyle g^{n}=1}$ (bzw. ${\displaystyle n\cdot g=0}$ in additiver Schreibweise) gilt.

Für den Torsionsbegriff der kommutativen Algebra sei ${\displaystyle R}$ ein (kommutativer) Ring (mit Einselement) und ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-Modul.

• Die Torsion oder der Torsionsuntermodul von ${\displaystyle M}$ ist der Untermodul derjenigen Elemente ${\displaystyle m}$, für die der Kern der Abbildung ${\displaystyle R\to M}$, ${\displaystyle r\mapsto rm}$, nicht nur Nullteiler enthält. In diesem Fall heißt ${\displaystyle m}$ Torsionselement.
• Äquivalent dazu kann man den Torsionsuntermodul auch als den Kern des Homomorphismus

${\displaystyle M\to M\otimes Q}$

definieren, wenn ${\displaystyle Q}$ den Totalquotientenring von ${\displaystyle R}$ bezeichnet.

• ${\displaystyle M}$ heißt torsionsfrei, wenn der Torsionsuntermodul Null ist.
• ${\displaystyle M}$ ist ein Torsionsmodul, wenn der Torsionsuntermodul gleich ${\displaystyle M}$ ist. Man sagt dann auch manchmal kurz: ${\displaystyle M}$ „ist Torsion“.

Ist ${\displaystyle M}$ eine abelsche Gruppe (also ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul), so stimmen die beiden Definitionen von Torsionselementen überein. Man spricht dann analog von Torsions(unter)gruppen.

Einfache Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle T}$ der Torsionsuntermodul von ${\displaystyle M}$, so ist ${\displaystyle M/T}$ torsionsfrei. Es gibt also einen kanonischen Torsionsuntermodul und einen kanonischen torsionsfreien Quotienten, jedoch nicht umgekehrt.
• Das Bilden des Torsionsuntermoduls ist ein Funktor, d. h. ist ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ein Modulhomomorphismus, so bildet ${\displaystyle f}$ den Torsionsuntermodul von ${\displaystyle M}$ in den Torsionsuntermodul von ${\displaystyle N}$ ab. Auch im Fall von Gruppen bildet ein Homomorphismus Torsionselemente stets auf Torsionselemente ab.
• Aus der alternativen Beschreibung des Torsionsuntermoduls als Kern einer Lokalisierung folgt unmittelbar, dass das Bilden des Torsionsuntermoduls ein linksexakter Funktor ist.

Beispiele

• Torsionselemente der Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ sind unter anderem ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}}$, ihr Produkt ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$ hat dagegen unendliche Ordnung. In nicht abelschen Gruppen bilden die Torsionselemente also nicht notwendigerweise eine Untergruppe.
• Ein anderes Beispiel für diese Tatsache ist die unendliche Diedergruppe

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle }$,

in der die Erzeuger Torsionselemente sind, aber beispielsweise ${\displaystyle xy}$ nicht.

• ${\displaystyle R}$ selbst, oder allgemeiner ein freier ${\displaystyle R}$-Modul, ist torsionsfrei. Ist insbesondere ${\displaystyle R}$ ein Körper, so sind alle ${\displaystyle R}$-Moduln torsionsfrei.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ist ein Torsionsmodul (über ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$. Allgemein ist für einen Ring ${\displaystyle R}$ und ein Ideal ${\displaystyle J}$ von ${\displaystyle R}$, das nicht nur aus Nullteilern besteht, der Modul ${\displaystyle R/J}$ ein Torsionsmodul.
• Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, so ist der Torsionsuntermodul von ${\displaystyle K^{\times }}$, aufgefasst als abelsche Gruppe bzw. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul, gleich der Gruppe der Einheitswurzeln in ${\displaystyle K}$.
• Torsionselemente in elliptischen Kurven und allgemeiner abelschen Varietäten werden als Torsionspunkte bezeichnet.

Abelsche Torsionsgruppen

• Eine abelsche Torsionsgruppe ist genau dann endlich erzeugt, wenn sie endlich ist.
• Eine abelsche Torsionsgruppe ist die direkte Summe ihrer ${\displaystyle p}$-primären Untergruppen für jede Primzahl ${\displaystyle p}$, d. h. der Untergruppen der Elemente, deren Ordnung eine Potenz von ${\displaystyle p}$ ist. Die ${\displaystyle p}$-primäre Untergruppe ist eine ${\displaystyle p}$-Gruppe.
• Wie das Beispiel der Faktorgruppe ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ zeigt, sind die Ordnungen der Elemente im Allgemeinen nicht beschränkt; auch die ${\displaystyle p}$-primäre Untergruppe ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$ hat bereits diese Eigenschaft.
• Ist die Ordnung der Elemente beschränkt, so bedeutet das nicht, dass die Gruppe endlich erzeugt (und damit endlich) ist: In einem unendlichen direkten Produkt zyklischer Gruppen der Ordnung 2 hat jedes Element (außer dem neutralen Element) Ordnung 2.

Torsionsfreie abelsche Gruppen

• Eine abelsche Gruppe ist genau dann torsionsfrei, wenn eine totale Ordnung existiert, die kompatibel mit der Gruppenstruktur ist.

Torsionsfreie Moduln

• Ist ein endlich erzeugter Modul über einem Hauptidealring torsionsfrei, so ist er frei. Dies gilt insbesondere für abelsche Gruppen.
• Ist ein endlich erzeugter Modul über einem Dedekindring torsionsfrei, so ist er projektiv.
• Flache Moduln sind torsionsfrei. Über Dedekindringen (insbesondere also über Hauptidealringen) stimmen die Begriffe „flach“ und „torsionsfrei“ sogar überein.

Das folgende Diagramm fasst diese Implikationen für einen Modul ${\displaystyle M}$ über einem kommutativen Integritätsring ${\displaystyle A}$ zusammen:

Definition der a-Torsion

Es seien ${\displaystyle A}$ ein kommutativer Ring mit Einselement und ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle A}$-Modul. Im einfachsten Fall ist ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$; ${\displaystyle M}$ ist dann lediglich eine abelsche Gruppe.

Für ein Ringelement ${\displaystyle a\in A}$ ist

${\displaystyle M[a]=\{m\in M\mid am=0\}\cong \mathrm {Hom} _{A}(A/Aa,M)}$

ein Untermodul, der als die ${\displaystyle a}$-Torsion von ${\displaystyle M}$ bezeichnet wird. (Die Verwechslungsgefahr mit der Notation ${\displaystyle M[f^{-1}]}$ für Lokalisierungen ist gering.) Auch die Notation ${\displaystyle {}_{a}M}$ ist üblich.

Der Modul

${\displaystyle M[a^{\infty }]=\bigcup _{n\geq 1}M[a^{n}]=\{m\in M\mid \exists n\colon a^{n}m=0\}=\ker(M\to M\otimes A_{a})}$

wird als ${\displaystyle a^{\infty }}$-Torsion bezeichnet.

Eigenschaften

• ${\displaystyle M[a]}$ ist auf natürliche Weise ein ${\displaystyle A/a}$-Modul.
• Der Funktor ${\displaystyle M\mapsto M[a]}$ ist linksexakt (als darstellbarer Funktor vertauscht er sogar mit beliebigen Limites); genauer gilt: ist

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

eine exakte Folge von ${\displaystyle A}$-Moduln, so ist

${\displaystyle 0\to M'[a]\to M[a]\to M''[a]\to M'/aM'\to M/aM\to M''/aM''\to 0}$

exakt, wie unmittelbar aus dem Schlangenlemma folgt.

• Der Torsionsuntermodul von ${\displaystyle M}$ ist die Vereinigung der ${\displaystyle M[a]}$ für alle Nichtnullteiler ${\displaystyle a\in A}$.
• Für Ringelemente ${\displaystyle a,b}$ ist ${\displaystyle b\cdot M[ab]=(bM)[a]\subseteq M[a]}$.
• Für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle M}$ und eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist ${\displaystyle M[p^{\infty }]}$ der ${\displaystyle p}$-primäre Anteil der Torsion von ${\displaystyle M}$.

Tate-Modul

Ist ${\displaystyle M}$ eine abelsche Gruppe und ${\displaystyle \ell }$ eine Primzahl, so ist der projektive Limes

${\displaystyle T_{\ell }(M)=\varprojlim _{n}M[\ell ^{n}]}$

(die Übergangsabbildungen sind durch die Multiplikation mit ${\displaystyle \ell }$ gegeben) ein ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }}$-Modul (ganze ${\displaystyle \ell }$-adische Zahlen), der als ${\displaystyle \ell }$-adischer Tate-Modul von ${\displaystyle M}$ (nach John Tate) bezeichnet wird. Durch den Übergang zu

${\displaystyle V_{\ell }(M)=T_{\ell }(M)\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$

erhält man einen Vektorraum über einem Körper der Charakteristik 0; dies ist insbesondere für darstellungstheoretische Betrachtungen vorteilhaft.

Das wichtigste Beispiel für diese Konstruktion ist der Tate-Modul zu einer elliptischen Kurve ${\displaystyle E}$ über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper, dessen Charakteristik nicht ${\displaystyle \ell }$ ist. Der Tate-Modul ${\displaystyle T_{\ell }(E)}$ ist als ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }}$-Modul isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }^{2}}$ und trägt eine natürliche Operation der Galoisgruppe. Im Fall der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }}$ ist der zugehörige Tate-Modul vom Rang 1. Er wird mit ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }(1)}$ bezeichnet, die Operation der Galoisgruppe erfolgt durch den zyklotomischen Charakter.