Homologia

Matematiikassa homologia on tapa rakentaa Abelin ryhmiä tai moduleja, jotka luonnehtivat homomorfisin kuvauksin kytketyn moduulijonon tiettyjä ominaisuuksia. Ko. jono muodostetaan tavallisesti siten että se kuvaa jotain matemaattista objektia, jolloin homologia kertoo jotain kiintoisaa tästä objektista.

Homologia alkoi topologisten avaruuksien luokittelusta ja kehittyi yleiseksi algebralliseksi teoriaksi, jota käytetään algebrallisessa geometriassa, ryhmäteoriassa, topologiassa jne. Topologisessa yhteydessä käytettyjä homologiateorioita yhdistävät Eilenbergin–Steenrodin aksioomat.

Kansantajuinen selitys

Jotta homologia voidaan määrittää, on tarkasteltava jotain ketjukompleksia. Käytännössä ketjukompleksi koostuu peräkkäisistä ryhmien välisistä kuvauksista eli ryhmähomomorfismeista. Kuvausten on oltava sellaisia, että edellisen kuvauksen kuva (merkitään ${\displaystyle B_{n}}$) sisältyy seuraavan kuvauksen ytimeen (merkitään ${\displaystyle Z_{n}}$).

Homologiaryhmä mittaa, kuinka suuren osan kuva ${\displaystyle B_{n}}$ kattaa ytimestä ${\displaystyle Z_{n}}$. Toisin sanoen homologiaryhmä on tekijäryhmä ${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$. Erikoistapausta, jossa kuva ja ydin ovat yhtä suuret kutsutaan tarkaksi jonoksi. Silloin homologiaryhmä on vain yhdestä alkiosta koostuva ryhmä, nollaryhmä.

Homologialla tarkoitetaan kokoelmaa kaikista ketjukompleksin homologiaryhmistä.

Yleinen rakennelma

Olkoon ${\displaystyle X}$ avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi ${\displaystyle A}$, joka sisältää jotain tietoa ${\displaystyle X}$:stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja

${\displaystyle \ldots A_{n+1}\to A_{n}\ldots A_{2}\to A_{1}\to A_{0}}$,

missä ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$ ja ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$, niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuraavalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että ${\displaystyle Im(d_{n+1})\subset Ker(d_{n})}$, ja voidaan rakentaa tekijäryhmä ${\displaystyle Ker(d_{n})/Im(d_{n+1})}$, jonka sanotaan olevan ${\displaystyle n}$. homologiaryhmä ${\displaystyle X}$:stä.

Kolmiohomologia

Pääartikkeli: Kolmiohomologia

Homologiarakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi ${\displaystyle n}$-simpleksi ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ on joukko vektoreita ${\displaystyle n}$-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa

${\displaystyle \Sigma _{n}=\{(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb {R} ^{n}:\sum _{i}\lambda _{i}\leq 1,\lambda _{i}\geq 0\},}$

ja ${\displaystyle n}$-simpleksi ${\displaystyle \sigma }$ topologisessa avaruudessa ${\displaystyle X}$ on jatkuva kuvaus ${\displaystyle \Sigma _{n}}$:stä ${\displaystyle X}$:ään:

${\displaystyle \sigma$ :\Sigma _{n}\to X.}

${\displaystyle \sigma }$:n reuna ${\displaystyle d\sigma }$ on määritelty formaaliksi summaksi ${\displaystyle \sigma }$ rajoitettu ${\displaystyle \Sigma _{n}}$:n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos ${\displaystyle X}$ on viiva ${\displaystyle [0,1]}$, niin silloin ${\displaystyle \Sigma _{1}\subset X}$ ja ${\displaystyle d\Sigma _{1}=(1)-(0)}$. Olkoon ${\displaystyle \Lambda }$ rengas. Tällöin voidaan konstruoida ${\displaystyle \Lambda }$-moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki ${\displaystyle n}$-simpleksejä ${\displaystyle X}$:ssä ${\displaystyle C_{n}}$. Nyt meillä on ${\displaystyle \Lambda }$-moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.

Kuvausta ${\displaystyle Im(d_{n+1})}$ sanotaan ${\displaystyle n}$-reunoiksi ${\displaystyle B_{n}}$ ja kuvausta ${\displaystyle Ker(d_{n})}$ sanotaan ${\displaystyle n}$-sykleiksi ${\displaystyle Z_{n}}$. ${\displaystyle X}$:n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten ${\displaystyle Z_{*}/B_{*}}$ (eli ${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$ jokaiselle ${\displaystyle n}$:lle).

Tarkka jono

Pääartikkeli: Tarkka jono

Tarkka jono on moduleista muodostunut jono

${\displaystyle \ldots (\alpha$ :)A\to (\beta :)B\to C\ldots } ,

missä ${\displaystyle Im(\alpha )=Ker(\beta )}$. Seuraavat jonot ovat tärkeitä:

${\displaystyle 0\to A\to 0,}$

eli ${\displaystyle A=0}$;

${\displaystyle 0\to A\to B\to 0,}$

eli ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat isomorfisia.

Jos ${\displaystyle A_{*}}$, ${\displaystyle B_{*}}$, ja ${\displaystyle C_{*}}$ ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt tarkka jono

${\displaystyle 0\to A_{*}\to B_{*}\to C_{*}\to 0}$

eli

${\displaystyle 0\to A_{n}\to B_{n}\to C_{n}\to 0}$

jokaiselle ${\displaystyle n}$:lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono

${\displaystyle \ldots H_{n+1}(C)\to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\ldots .}$

Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.

Kategorinen näkökulma

Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin moduulien kategoriaan. Näin katsottuna ${\displaystyle H_{*}}$ on kovariantti funktori. Siis jos ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ ovat samassa kategoriassa ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ja ${\displaystyle f:X\to Y}$ on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa ${\displaystyle H_{*}(f)}$ vie ${\displaystyle H_{*}(X)}$:n ${\displaystyle H_{*}(Y)}$:iin. Usein ${\displaystyle H_{*}(f)}$ kirjoitetaan ${\displaystyle f_{*}}$.

Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin moduulien kategoriaan. Jos ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{n}\sigma _{i}}$ on ketju jossain topologisessa avaruudessa ${\displaystyle X}$, ja ${\displaystyle f:X\to Y}$ on jatkuva kuvaus, niin summa ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{n}f\circ \sigma _{i}}$ on ketju ${\displaystyle Y}$:ssä. Näin ${\displaystyle f}$:stä tule homomorfismi ${\displaystyle f_{*}:H_{*}(X)\to H_{*}(Y)}$.

Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori ${\displaystyle H^{*}}$ on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin moduulille on siis duaalimoduuli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa. Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle moduulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".

Kirjallisuutta

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 874–876. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6

Lähteet

• Huhtamäki, Hermanni: Hovanovin homologia. (Diplomityö) Aalto-yliopisto, 2026. Teoksen verkkoversio Aalto-yliopiston julkaisuarkistossa (pdf) Viitattu 11.10.2026.

Aiheesta muualla

• Allen Hatcher: Algebraic Topology