Tarkka jono

Tarkka jono on ryhmähomomorfismien jono, jossa jokaisen homomorfismin kuvaryhmä on sama kuin seuraavan homomorfismin ydin. Tarkkoja jonoja käytetään muun muassa homologisessa algebrassa sekä ketjukompleksien ominaisuuksien tarkastelussa.

Määritelmä

Olkoon ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ jono vaihdannaisia ryhmiä ja olkoot niiden väliset homomorfismit ${\displaystyle d_{n}\colon A_{n}\to A_{n-1}}$. Jonoa

${\displaystyle \cdots \longrightarrow A_{n+1}\xrightarrow {d_{n+1}} A_{n}\xrightarrow {d_{n}} A_{n-1}\longrightarrow \cdots }$

kutsutaan tarkaksi jonoksi, jos kaikilla ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ pätee

${\displaystyle \operatorname {im} d_{n+1}=\ker d_{n}.}$

Ehto tarkoittaa, että jokainen ryhmän ${\displaystyle A_{n}}$ alkio, jonka ${\displaystyle d_{n}}$ kuvaa nolla-alkioksi, kuuluu homomorfismin ${\displaystyle d_{n+1}}$ kuvaryhmään. Toisin sanoen jokainen ytimen alkio saadaan edellisen homomorfismin kuvana.

Suhde ketjukomplekseihin

Jono, jossa kahden peräkkäisen homomorfismin yhdistetty kuvaus on nolla, on ketjukompleksi. Ketjukompleksissa pätee siis aina

${\displaystyle \operatorname {im} d_{n+1}\subseteq \ker d_{n}.}$

Ketjukompleksi on tarkka, kun tämä sisältyvyys on kaikissa asteissa yhtäsuuruus. Tarkkuus ilmaisee siten, ettei ytimiin jää alkioita, jotka eivät kuulu edeltävän homomorfismin kuvaryhmään.

Tarkkuus liittyy myös homologiaan. Ketjukompleksin ${\displaystyle n}$:nnen homologiaryhmän määrittelee tekijäryhmä

${\displaystyle H_{n}(A)=\ker d_{n}/\operatorname {im} d_{n+1}.}$

Ketjukompleksi on tarkka täsmälleen silloin, kun kaikki sen homologiaryhmät ovat nollaryhmiä.

Lyhyt tarkka jono

Lyhyt tarkka jono on tarkka jono, jonka molemmissa päissä on nollaryhmä. Se voidaan esittää muodossa

${\displaystyle 0\longrightarrow A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\longrightarrow 0.}$

Jono on tarkka, jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat:

• ${\displaystyle f}$ on injektiivinen.
• ${\displaystyle g}$ on surjektiivinen.
• ${\displaystyle \operatorname {im} f=\ker g.}$

Ensimmäinen ehto ilmaisee, että kuvauksella ${\displaystyle f}$ on vain nolla-alkio ytimessään. Toinen tarkoittaa, että jokainen ryhmän ${\displaystyle C}$ alkio on kuvauksen ${\displaystyle g}$ kuva. Kolmas ehto kertoo, että kuvauksen ${\displaystyle f}$ kuva muodostaa täsmälleen niiden ryhmän ${\displaystyle B}$ alkioiden joukon, jotka kuvautuvat ${\displaystyle g}$:ssä nollaksi.

Ketjukompleksien lyhyet tarkat jonot

Kolme ketjukompleksia ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ muodostavat lyhyen tarkan jonon, jos niiden välillä on ketjukuvaukset ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ja ${\displaystyle g\colon B\to C}$ siten, että

${\displaystyle 0\longrightarrow A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\longrightarrow 0}$

on tarkka jokaisessa asteessa. Tämä tarkoittaa, että jokaisella kokonaisluvulla ${\displaystyle n}$ jono

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{n}\xrightarrow {f_{n}} B_{n}\xrightarrow {g_{n}} C_{n}\longrightarrow 0}$

on lyhyt tarkka jono. Lisäksi kuvauksien on oltava yhteensopivia ketjukompleksien differentiaalien kanssa, jotta ne muodostavat ketjukuvaukset.

Lähteet

• Huhtamäki, Hermanni: Hovanovin homologia. (Diplomityö) Aalto-yliopisto, 2026. Teoksen verkkoversio Aalto-yliopiston julkaisuarkistossa (pdf) Viitattu 11.10.2026.