Minitopologia

Minitopologia on topologia, jossa ainoat avoimet joukot ovat tyhjä joukko ja koko avaruus. Jokaista minitopologialla varustettua /avaruutta voidaan pitää pseudometrisenä avaruutena, jossa kahden pisteen välinen etäisyys on nolla.

Minitopologian vastakohta on diskreetti topologia, jossa kaikki avaruuden osajoukot ovat avoimia.

Tiedot

Minitopologia on topologia, jossa on vähiten avoimia joukkoja, nimittäin tyhjä joukko ja koko avaruus, koska topologian määritelmä edellyttää, että nämä kaksi joukkoa ovat avoimia. Toisin sanoen se on jokaisen avaruuden karkein topologia.

Muita avaruuden X minitopologian ominaisuuksia ovat:

• Ainoat suljetut joukot ovat tyhjä joukko ja X.
• X:n ainoa mahdollinen kanta on { X }.
• Jos X:llä on useampi kuin yksi piste, se ei ole T₀ eikä siksi täytä myöskään ylempiä erotteluaksioomeja T₁ ja T₂. Erityisesti se ei ole Hausdorff-avaruus eikä myöskään säännöllinen eikä normaali.
• X on kuitenkin T₃ ja T₄, tosin melko tyhjänpäiväisellä tavalla, koska ainoat suljetut joukot ovat ∅ ja X.
• X on kompakti ja siksi parakompakti, Lindelöf ja lokaalisti kompakti.
• Jokainen funktio, jonka määrittelyjoukko on topologinen avaruus ja maalijoukko X, on jatkuva.
• X on polkuyhtenäinen ja siten yhtenäinen.
• X on N2-avaruus, ja siksi se on N1-avaruus, separoituva ja Lindelöf.
• Kaikilla X:n aliavaruuksilla on minitopologia.
• Kaikilla X:n tekijäavaruuksilla on minitopologia
• Minitopologialla varustettujen topologisten avaruuksien mielivaltaisilla tuloilla, joilla on joko tulotopologia tai laatikkotopologia, on minitopologia.
• Kaikki X:n jonot suppenevat jokaiseen X:n pisteeseen. Erityisesti jokaisella jonolla on suppeneva alijono (koko jonon arvo tai minkä tahansa muun alijonon arvo), joten X on jonokompakti.
• Jokaisen joukon X sisäjoukko on tyhjä.
• Jokaisen X:n epätyhjän osajoukon sulkeuma on X. Toisin sanoen: jokainen X:n epätyhjä osajoukko on tiheä, mikä on ominaisuus, joka luonnehtii triviaalisia topologisia avaruuksia.
  • Tämän seurauksena jokainen X:n avoimen osajoukon U sulkeuma on joko ∅ (jos U = ∅) tai X (muuten). Erityisesti jokaisen X:n avoimen osajoukon sulkeuma on avoin joukko.
• Jos S on mikä tahansa X:n osajoukko, jossa on useampi kuin yksi alkio, niin kaikki X:n alkiot ovat S:n kasautumispisteitä. Jos S on yksialkioinen, niin jokainen X \ S:n piste on edelleen S:n kasautumispistepiste.
• X on Baire-avaruus.
• Kaksi minitopologiaa kantavaa topologista avaruutta ovat homeomorfisia, jos niillä on sama kardinaliteetti.

Lähteet

• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr.: Counterexamples in Topology. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1978. ISBN 978-0-486-68735-3 Teoksen verkkoversio.

Viitteet