Arrangement

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La notion d'arrangement est un concept de mathématiques, plus précisément de combinatoire, utilisé, entre autres, dans les calculs de probabilité. Il correspond au choix d'objets dans un ensemble de taille donnée, lorsque les objets sont discernables et que l'on se soucie de l'ordre dans lequel les objets sont placés ou énumérés. Un arrangement résulte, par exemple, de tirages 1) successifs et 2) sans remise d'objets discernables dans une urne (pour un tirage simultané, on obtient la notion de combinaison).

Plus formellement, un arrangement de ${\displaystyle k}$ objets pris parmi ${\displaystyle n}$ objets est un k-uplet d'éléments distincts.

Le nombre d'arrangements que l'on peut composer est noté ${\displaystyle A_{n}^{k}}$ (lire « A » « n » « k ») et vaut :

${\displaystyle A_{n}^{k}=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots \left(n-k+1\right)}$.

Cette formule peut se comprendre à l'aide d'un arbre des choix successifs, puisque le premier élément est choisi parmi ${\displaystyle n}$, le second parmi ${\displaystyle (n-1)}$… et le dernier parmi ${\displaystyle (n-k+1)}$.

Avec la notation factorielle, où ${\displaystyle n!=1\times 2\times ...\times n}$, cette formule devient

${\displaystyle A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{(n-k)!}}\quad {\mbox{pour }}k\leqslant n.}$

En particulier, ${\displaystyle A_{n}^{k}=0}$ pour ${\displaystyle k>n}$ (ce qui exprime le principe des tiroirs). Il s’agit en fait de la factorielle décroissante appliquée aux seuls entiers naturels :

${\displaystyle A_{n}^{k}=n^{\underline {k}}}$.

Algébriquement, ${\displaystyle A_{n}^{k}}$ est le nombre d'injections d'un ensemble à ${\displaystyle k}$ éléments vers un ensemble à ${\displaystyle n}$ éléments. Le nombre d'arrangements est lié au coefficient binomial ${\displaystyle {n \choose k}}$ (anciennement ${\displaystyle C_{n}^{k}}$) par :

${\displaystyle {n \choose k}={\dfrac {A_{n}^{k}}{k!}}}$.

Exemples

Définition

Plus explicitement : c'est un ${\displaystyle k}$-uplet ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$ d'éléments de ${\displaystyle E}$ tel que pour tous ${\displaystyle i,j\in [|,1,k|]}$ distincts, on ait ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j}}$.

Remarque

Construire un arrangement revient à placer les uns après les autres, ${\displaystyle k}$ objets discernables pris parmi ${\displaystyle n}$, dans ${\displaystyle k}$ cases numérotées, et donc une permutation de ${\displaystyle n}$ éléments est un ${\displaystyle n}$-arrangement de ${\displaystyle n}$ éléments. La notion d'arrangement généralise ainsi celle de permutation.

Théorème

Pour une démonstration intuitive et une démonstration formelle, voir le lien ci-dessous vers Wikiversité.

Voir aussi