Escargot de Pythagore

L'escargot de Pythagore, ou spirale de Théodore est une figure qui permet de construire géométriquement les racines carrées des entiers consécutifs.

Construction

La spirale de Théodore est une spirale discrète construite par une suite de triangles rectangles, autour d'un point O pris pour centre de la spirale.

• Le premier triangle rectangle est isocèle, tel que l'une des extrémités de l'hypoténuse soit le point O ; la longueur des côtés de l'angle droit est prise comme unité ;
• le second a pour côtés de l'angle droit l'hypoténuse du premier et un segment de longueur une unité, construit sur l'extrémité de l'hypoténuse qui n'est pas O, pour qu'il ne se superpose pas au premier ;
• le troisième est construit de la même façon sur le second et ainsi de suite.

La construction procède ainsi par récurrence : supposons construit le n-ième triangle rectangle, son hypoténuse, le (n+1)-ième, a pour côtés de l'angle droit l'hypoténuse du n-ième et un segment de longueur une unité, construit de telle sorte qu'il ne se superpose pas au n-ième.

D'après le théorème de Pythagore la longueur de l'hypoténuse du premier triangle rectangle, de côtés de l'angle droit égaux à 1, est √2, celle du second, de côtés de l'angle droit égaux à √2 et 1, est √3, et ainsi de suite. Par récurrence, le n-ième triangle a des côtés de l'angle droit de longueurs √n et 1 et une hypoténuse de longueur √n + 1.

Histoire

Historiquement, la première mention explicite de l'incommensurabilité apparait dans un dialogue de Platon, le Théétète, où le mathématicien Théodore de Cyrène expose des cas particuliers de « lignes irrationnelles », celles correspondant, en termes modernes, aux racines carrées des nombres entiers qui ne sont pas des carrés parfaits de 3 jusqu'à 17.

Le passage du texte de Platon pose des problèmes de traduction et d'interprétation, en particulier de certains termes mathématiques et il n'y a pas unanimité à ce sujet chez les historiens. La définition du mot « puissance » ((grc) δύναμις) et l’usage qui en est fait dans le passage 147c-148b posent problème; le sens du terme change, désignant parfois une longueur irrationnelle, parfois un carré, voire une racine carrée selon certains interprètes. D'après ce que dit Théétète dans le dialogue, Théodore « montre » ((grc) ἀποφαίνων) quelque chose « à propos des puissances » ((grc) περὶ δυνάμεών) en utilisant des figures ou dessinant ((grc) ἔγραφε). Plusieurs questions se posent alors, auxquelles les historiens des mathématiques anciennes ont apporté des réponses très diverses. L'une de ces questions est la suivante : Théodore a-t-il vraiment exposé des démonstrations d'irrationalité, et alors quelles étaient-elles, ou bien a-t-il simplement montré, mis en évidence, certains faits compréhensibles par eux-mêmes, donc ne nécessitant pas de démonstration ou de preuve mathématique ? Une autre de ces questions est celle-ci : pourquoi Théodore s'est-il arrêté à 17 ? Ces deux questions ne sont pas indépendantes : l'arrêt à 17 peut signifier qu'il n'y à rien à prouver, ou au contraire que la démonstration est plus complexe ou n'est plus possible à partir de 17 ou après 17. Enfin, les interprètes se sont également demandé quelles figures Théodore avait dessiné et sur quelle suite de nombres il avait travaillé.

Une réponse à ces questions est donnée en 1941 dans une publication de Jakob Heinrich Anderhub, où il introduit ce qu'il appelle « Die Quadratwurzelschnecke », « l'escargot de la racine carré », et que nous appelons « spirale de Théodore » : Théodore aurait construit en spirale les triangles rectangles jusqu'à atteindre √17, et se serait arrêté là, car le suivant, d'hypoténuse √18, se superpose au premier^,. La spirale de Théodore avait déjà été décrite en 1877, jusqu'à √9, par Hermann Schmidt dans un commentaire du Théétète. Elle avait aussi été dessinée en 1913 par S. Moraïtes dans une édition du Théétète en grec moderne, à laquelle renvoie Anderhub. Siegfried Heller se sert par la suite de la construction d'Anderhub et pense que Théodore a bien donné une leçon sur l'irrationalité.

Schmidt et Anderhub sont dans la tradition de ceux qui estiment que Théodore n'a que montré certains faits : Théodore n'aurait proposé qu'un simple exercice de construction géométrique à la règle et au compas^,. Pour Maurice Caveing c'est exclu car à l'époque où est censé se tenir le dialogue, vers −400, de telles constructions de lignes irrationnelles sont connues depuis au moins 50 ans, et Platon n'aurait pas mentionné de telles leçons. II juge que « le seul intérêt de la construction d'Anderlub est anecdotique : c'est le hasard heureux d'un arrêt à 17 qu'on donne comme explication d'un fait incompris ». Wilbur Knorr souligne qu'aucune construction récursive telle que celle de Schmidt et d'Anderhub n'apparait dans les sources grecques anciennes, et ne voit pas comment elle pourrait être attribuée à Théodore. David Fowler, dans une section consacrée à la leçon de géométrie du Théétète, estime d'emblée, comme Caveing et Knorr — il reprend la traduction de ce dernier —, que Platon a bien parlé de démonstrations à propos de Théodore, et ne cite pas Schmidt ou Anderhub. Avant Knorr et Caveing, Árpád Szabó avait déjà critiqué, en 1969, la construction d'Anderhub, qui laisse supposer à tort, selon lui, qu'une « puissance » représente le côté d'un carré. Salomon Ofman a repris les travaux de Szabó et Knorr et proposé à son tour une reconstruction de la démonstration de Théodore.

Cependant l'helléniste Holger Thesleff tient quant à lui pour une interprétation et une traduction correctes du texte que Théodore ne démontre pas mais montre; il reprend en 1990 l'hypothèse d'Anderhub et se dit certain qu'il a raison. Alors que, d'après Caveing, Théodore ne se serait pas « livré devant son jeune auditoire à un simple exercice de dessin géométrique », car « un simple dessin ne peut rien montrer en matière d'incommensurabilité », Thesleff affirme au contraire qu'il n’y a aucune raison de penser que « Théodore aurait dû ‟prouver” quoi que ce soit », puisque reconnaître l'incommensurabilité ou l'irrationalité relève de l’évidence, et par conséquent « on ne devrait définitivement pas s'attendre à des ‟preuves” de la part de Théodore ». À sa suite, Jacques Darriulat, dans son commentaire en ligne du Théétète, issu d'un cours donné en 1995, ainsi que Terence Echterling, dans une communication à un colloque international tenu à l'ENS en 2019, soutiennent que ce que Théodore a dessiné correspond bien à la spirale d'Anderhub.

Dans les éditions italiennes du Théétète, notamment celle de Franco Ferrari, il est rappelé au lecteur que rien ne prouve que Théodore ait dessiné une spirale. Il a pu dessiner des figures isolées (des triangles ou des carrés) ou utiliser un système de fractions continues (anthyphérèse) (cette dernière hypothèse est cependant écartée par Szabó et Ofman, qui jugent que le calcul aurait été beaucoup trop long pour tenir en une leçon). Les éditeurs italiens mettent donc en garde contre un possible anachronisme tout en validant la spirale comme outil pédagogique pour comprendre le sens de la démonstration mathématique.

Extension

Théodore a arrêté la construction de la spirale à l'hypoténuse de longueur ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$, mais en continuant l'escargot à l'infini, d'autres propriétés émergent.

Angle total

En notant ${\displaystyle \varphi _{n}}$ l'angle du n^e triangle, alors : $${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}$$ Ainsi à chaque étape est ajouté un angle de : $${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}$$

La somme des angles des k premiers triangles est appelé angle total ${\displaystyle \varphi (k)}$ pour le k^e triangle. Elle croit proportionnellement avec la racine carrée de k, avec un terme correctif borné c₂: $${\displaystyle \varphi (k)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}$$ où $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2,157782996659\ldots }$$ ( A105459).

Spirale d'Archimède

L'escargot de Pythagore approche la spirale d'Archimède. De même que la distance entre deux arcs de la spirale d'Archimède est égale à π, quand le nombre de tours de l'escargot de Pythagore augmente infiniment, la distance entre deux arcs consécutifs approche rapidement de π.

La table suivante montre l'évolution de cette suite de distances :

Tour No.:	Distance moyenne	Écart moyen avec π
2	3,1592037	99,44255%
3	3,1443455	99,91245%
4	3,14428	99,91453%
5	3,142395	99,97447%
${\displaystyle \to \infty }$	${\displaystyle \to \pi }$	${\displaystyle \to 100\%}$

Ainsi, en cinq tours, on a déjà une bonne approximation de π.

Courbe régulière interpolante

La question de l'existence d'une courbe régulière interpolant les sommets de l'escargot a été proposée et résolue par Philip J. Davis en 1993, par analogie avec la formule d'Euler pour la fonction Gamma comme interpolante de la fonction factorielle. Davis propose $${\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+\mathrm {i} /{\sqrt {k}}}{1+\mathrm {i} /{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}$$ qui a plus longuement été étudiée par son élève Leader et Iserles. Cette fonction est caractérisée comme l'unique solution de l'équation fonctionnelle $${\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),}$$ avec pour condition initiale ${\displaystyle f(0)=1,}$ et monotone en argument et module.

Un prolongement analytique de la forme continue de Davis de l'escargot de Pythagore s'étend dans la direction opposée depuis l'origine.

Voir aussi

• Spirale de Fermat
• Spirale

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Spiral of Theodorus » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) P. J. Davis, Spirals from Theodorus to Chaos, Wellesley, MA, A K Peters/CRC Press, 2001.
• (en) Detlef Gronau, « The Spiral of Theodorus », The American Mathematical Monthly, vol. 111, n^o 3,‎ mars 2004, p. 230–237 (DOI 10.2307/4145130, JSTOR 4145130)
• (en) J. Heuvers, D. S. Moak et B. Boursaw, Functional Equations and Inequalities, T. M. Rassias, 2000, 111–117 p., « The functional equation of the square root spiral »
• (en) Jörg Waldvogel, « Analytic Continuation of the Theodorus Spiral », 2009

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