Suite harmonique

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En mathématiques, une suite harmonique est une suite dont chaque terme est la moyenne harmonique des termes précédent et suivant. Une condition équivalente est que la suite des inverses soit une suite arithmétique.

Un triplet de nombres non nuls dont le terme central est la moyenne harmonique des deux autres (autrement dit, trois termes consécutifs d'une suite harmonique) sont dits former une progression harmonique. Par exemple, ${\displaystyle 2,3,6}$ sont en progression harmonique car ${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}}$.

Définition par récurrence simple

Une suite harmonique est une suite réelle ${\displaystyle (u_{n})_{n\geqslant n_{0}}}$ telle qu'il existe un nombre ${\displaystyle \ r}$ appelé sa raison pour lequel :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {1}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+r\,}$

soit :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+1}={\frac {u_{n}}{ru_{n}+1}}\,}$

Il s'agit donc d'une suite homographique.

Par exemple pour ${\displaystyle u_{0}=12,r=1/12}$, la suite prend les valeurs 12, 6, 4, 3, 12/5, 2, 12/7,... , suite visualisée ci-contre.

Définition explicite

En notant ${\displaystyle a={\frac {1}{u_{n_{0}}}}-n_{0}r}$, on obtient :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ \ u_{n}={\frac {1}{a+nr}}\,}$.

Dans l'exemple précédent, ${\displaystyle u_{n}={\frac {12}{n+1}}}$.

Autre exemple : la suite harmonique ${\displaystyle \left({\frac {T}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ est la suite des périodes associées aux harmoniques de la fréquence ${\displaystyle {\frac {1}{T}}}$.

Définition par récurrence double

La relation de la définition introductive s'écrit :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {2}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{u_{n+2}}}\,}$

ce qui donne :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+2}={\frac {u_{n}u_{n+1}}{2u_{n}-u_{n+1}}}\,}$

En géométrie

Par définition, quatre points alignés ${\displaystyle A,B,C,D}$, pris dans cet ordre, forment une division harmonique si les mesures algébrique ${\displaystyle {\overline {AC}},{\overline {AB}},{\overline {AD}}}$ sont en progression harmonique^,,. Et alors, chaque triplet de mesures algébriques ${\displaystyle ({\overline {BC}},{\overline {BA}},{\overline {BD}});({\overline {CA}},{\overline {CD}},{\overline {CB}});({\overline {DA}},{\overline {DC}},{\overline {DB}})}$ forme une progression harmonique (on peut permuter ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, ainsi que ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$).

Dans un triangle, les hauteurs sont en progression arithmétique (resp. harmonique), si et seulement si les longueurs des côtés sont en progression harmonique (resp. arithmétique).

Voir aussi

• Série harmonique

Notes et références

v · m Suites et séries
Suites	Basiques Suite arithmétique Suite géométrique Suite harmonique Nombre carré Nombre cubique Factorielle Puissance de 2 Puissance de 3 Puissance de 10 Avancées (OEIS) Suite génératrice Suite de Fibonacci Nombre figuré Nombre polygonal Nombre de Lucas Nombre de Pell
Propriétés des suites	Suite de Cauchy Suite monotone Suite périodique
Propriétés des séries	Séries Alternée Convergente Divergente Téléscopique
Séries explicites	Convergentes 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ Fonction zêta de Riemann Divergentes 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ Série alternée des factorielles Série harmonique Série des inverses des nombres premiers
Type de séries	Série de Taylor Série entière Série formelle Série de Laurent Série de Puiseux Série de Dirichlet Série trigonométrique Série de Fourier Série génératrice
Fonction hypergéométrique	Série hypergéométrique Fonction hypergéométrique généralisée Fonction hypergéométrique confluente Fonction hypergéometrique d'un argument matriciel Fonction hypergéometrique de Lauricella Fonction hypergéometrique modulaire Équation différentielle de Riemann Fonction hypergéométrique elliptique

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