Temps local

En théorie mathématique des processus stochastiques, le temps local ou temps de séjour est un processus stochastique associé aux semi-martingales — telles que le mouvement brownien — qui caractérise la durée passée par une particule à un niveau donné. Le temps local intervient dans diverses formules d'intégration stochastique, comme la formule de Tanaka, lorsque l'intégrand n'est pas suffisamment régulier. Il est également utilisé en physique statistique, dans le cadre des champs aléatoires.

Définition formelle

Pour une semi-martingale réelle continue $(B_{s})_{s\geq 0}$ , le temps local de $B$ au point $x$ est le processus stochastique défini par

L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,d[B]_{s}

où $\delta$ désigne la distribution de Dirac et $[B]$ la variation quadratique. Ce concept a été introduit par Paul Lévy. L'idée fondamentale est que $L^{x}(t)$ constitue une mesure (convenablement normalisée et paramétrée par le temps) du temps que $B_{s}$ a passé au point $x$ jusqu'à l'instant $t$ . Plus rigoureusement, on peut l'exprimer comme la limite presque sûre suivante :

L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,d[B]_{s}

dont l'existence est toujours assurée. Notons que, dans le cas particulier du mouvement brownien (ou, plus généralement, d'une diffusion réelle de la forme $dB=b(t,B)\,dt+dW$ , où $W$ est un mouvement brownien), le terme $d[B]_{s}$ se réduit simplement à $ds$ ; c'est ce qui justifie l'appellation de « temps local » de $B$ au point $x$ . Pour un processus à espace d'états discret $(X_{s})_{s\geq 0}$ , le temps local peut s'exprimer plus simplement

L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds

Formule de Tanaka

La formule de Tanaka fournit également une définition du temps local pour une semi-martingale continue arbitraire $(X_{s})_{s\geq 0}$ sur $\mathbb {R}$

L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.

Une forme plus générale a été démontrée indépendamment par Meyer et Wang ; cette formule étend le lemme d'Itô, initialement établi pour des fonctions deux fois dérivables, à une classe de fonctions plus générale. Si $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ est absolument continue et possède une dérivée $F'$ à variation bornée, alors

F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF'_{-}(x)

où $F'_{-}$ est la dérivée à gauche.

Si $X$ est un mouvement brownien, alors pour tout $\alpha \in (0,1/2)$ , le champ des temps locaux $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ admet une modification qui est, presque sûrement, höldérienne en $x$ d'exposant $\alpha$ , uniformément pour des valeurs bornées de $x$ et $t$ . En général, $L$ admet une modification qui est, presque sûrement, continue en $t$ et càdlàg en $x$ .

Théorèmes de Ray–Knight

Le champ des temps locaux $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ associé à un processus stochastique sur un espace $E$ est un sujet largement étudié dans le domaine des champs aléatoires. Les théorèmes de type Ray–Knight établissent un lien entre le champ L_t et un processus gaussien associé.

En général, les théorèmes de type Ray–Knight de première espèce considèrent le champ L_t à un instant d'atteinte du processus sous-jacent, tandis que les théorèmes de seconde espèce portent sur un temps d'arrêt auquel le champ des temps locaux dépasse pour la première fois une valeur donnée.

Premier théorème de Ray–Knight

Soit (B_t)_{t ≥ 0} un mouvement brownien unidimensionnel partant de B₀ = a > 0, et soit (W_t)_t≥0 un mouvement brownien bidimensionnel standard partant de W₀ = 0 ∈ R². Définissons le temps d'arrêt auquel B atteint l'origine pour la première fois : $T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}$ . Ray et Knight ont démontré indépendamment que $\left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,$ où (L_t)_{t ≥ 0} est le champ des temps locaux associé à (B_t)_{t ≥ 0}, et où l'égalité s'entend en loi dans l'espace C[0, a]. Le processus |W_x|² est appelé processus de Bessel au carré.

Second théorème de Ray–Knight

Soit (B_t)_{t ≥ 0} un mouvement brownien unidimensionnel standard tel que B₀ = 0 ∈ R, et soit (L_t)_{t ≥ 0} le champ des temps locaux associé. Soit T_a le premier instant où le temps local en zéro dépasse une valeur a > 0 :

T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}

Soit W_t)_{t ≥ 0} un mouvement brownien unidimensionnel, issu de W₀ = 0. Alors

\left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}

De manière équivalente, le processus $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ (considéré comme un processus indexé par la variable spatiale x) a même loi que le carré d'un processus de Bessel de dimension 0 issu de a ; il s'agit donc d'un processus markovien.

Théorèmes de Ray–Knight généralisés

Les résultats de type Ray–Knight pour des processus stochastiques plus généraux ont fait l'objet d'études approfondies ; des énoncés analogues à ceux des relationsci-dessus sont connus pour les processus de Markov fortement symétriques.

Références

↑ (en) Karatzas Ioannis et Shreve Steven, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991
↑ (en) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, Springer, 1997 (ISBN 0387949577, lire en ligne)
↑ Paul-Andre Meyer, « Séminaire de probabilités 1967–1980 - Un cours sur les intégrales stochastiques », Lecture Notes in Mathematics, vol. 1771,‎ 2002, p. 174–329 (ISBN 978-3-540-42813-8, DOI 10.1007/978-3-540-45530-1_11)
↑ Wang, « Generalized Itô's formula and additive functionals of Brownian motion », Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, vol. 41, n^o 2,‎ 1977, p. 153–159 (DOI 10.1007/bf00538419 , S2CID 123101077)
↑ Kallenberg, Foundations of Modern Probability, New York, Springer, 1997, 370 (ISBN 0387949577, lire en ligne )
↑ (en) D. Ray, « Sojourn times of a diffusion process », Illinois Journal of Mathematics, vol. 7, n^o 4,‎ 1963, p. 615–630 (DOI 10.1215/ijm/1255645099)
↑ (en) F. B. Knight, « Random walks and a sojourn density process of Brownian motion », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 109, n^o 1,‎ 1963, p. 56–86 (DOI 10.2307/1993647)
↑ (en) Marcus Rosen, Markov Processes, Gaussian Processes and Local Times, Cambridge University Press, 2006, 53–56 (ISBN 0521863007, lire en ligne)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Local time (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

Portail de l'analyse

Portail des probabilités et de la statistique

Portail de la physique

[1] (en) Karatzas Ioannis et Shreve Steven, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991

[Kallenberg-2] (en) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, Springer, 1997 (ISBN 0387949577, lire en ligne)

[3] Paul-Andre Meyer, « Séminaire de probabilités 1967–1980 - Un cours sur les intégrales stochastiques », Lecture Notes in Mathematics, vol. 1771,‎ 2002, p. 174–329 (ISBN 978-3-540-42813-8, DOI 10.1007/978-3-540-45530-1_11)

[4] Wang, « Generalized Itô's formula and additive functionals of Brownian motion », Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, vol. 41, n^o 2,‎ 1977, p. 153–159 (DOI 10.1007/bf00538419 , S2CID 123101077)

[Kallenberg2-5] Kallenberg, Foundations of Modern Probability, New York, Springer, 1997, 370 (ISBN 0387949577, lire en ligne )

[6] (en) D. Ray, « Sojourn times of a diffusion process », Illinois Journal of Mathematics, vol. 7, n^o 4,‎ 1963, p. 615–630 (DOI 10.1215/ijm/1255645099)

[7] (en) F. B. Knight, « Random walks and a sojourn density process of Brownian motion », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 109, n^o 1,‎ 1963, p. 56–86 (DOI 10.2307/1993647)

[8] (en) Marcus Rosen, Markov Processes, Gaussian Processes and Local Times, Cambridge University Press, 2006, 53–56 (ISBN 0521863007, lire en ligne)