Dirac-egyenlet

A kvantummechanikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. Természetes módon magába foglalja a spint; nem egy egyszerűbb, nulla spinű részecskéket leíró egyenlet bővítésével áll elő, mint például a Schrödinger–Pauli-egyenlet. A Dirac-egyenletbeli hullámfüggvény értékei négy komplex komponensű spinorok, szemben a Schrödinger-egyenletben szereplő hullámfüggvénnyel, ami komplex szám értékű. Az egyenlet jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Az elektron antirészecske-párját, a pozitront 1932-ben mutatták ki kísérletileg, Dirac ezt követően, 1933-ban kapott Nobel-díjat.

A Dirac-egyenletnek nemcsak pozitív energiájú, az elektronoknak megfeleltethető megoldásai vannak, hanem ezekhez hasonló, de negatív energiájú megoldásai is. Noha az utóbbiak létezése vezetett arra a következtetésre, hogy pozitronoknak is létezniük kell, fizikailag problematikus az, hogy negatív ezeknek a megoldásoknak az energiája. Emiatt a Dirac-egyenlet mint kvantummechanikai hullámegyenlet nem teljesen kielégítő. A kvantumtérelmélet keretei között el lehet kerülni a negatív energiáknak ezt a problémáját; ez a cikk mindazonáltal a Dirac-egyenletet csak a relativisztikus kvantummechanika keretei között tárgyalja.

A Dirac-egyenletbe beírható az elektromágneses (négyes)vektorpotenciál; az így általánosított egyenlet adott elektromágneses térben mozgó ½ spinű töltött részecskéket ír le. Az egyenletbe a pontszerű töltés potenciálját írva kiszámítható a hidrogénatom energiaspektruma. Az eredmény nagy pontossággal (de természetesen nem teljesen pontosan) egyezik a megfigyelhető spektrummal és számot ad a spektrum finomszerkezetéről.

A Dirac-egyenletben szereplő differenciáloperátor (a Dirac-operátor) a matematikában (különösen a differenciálgeometriában) is jelentőséggel bír.

Matematikai forma

Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:

(β m c^{2} + c \sum_{k = 1}^{3} α_{k} \hat{p}_{k}) ψ (𝐱, t) = i ℏ \frac{\partial ψ (𝐱, t)}{\partial t},

ahol

m a részecske nyugalmi tömege,

c a fénysebesség,

\hat{p}

az impulzus operátora (

{\hat{p}}_{k} = - i ℏ \partial_{k}

),

ℏ

a redukált Planck-állandó,

x és t a tér- és időkoordináták.

Az egyenletben megjelenő további tagok a 4×4-es $α_{k}$ és $β$ mátrixok, és $ψ$ a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, mint hogy önadjungáltak), továbbá antikommutálnak egymással és négyzetük a 4×4-es egységmátrix ( $I_{4}$ ):

α_{k}^{2} = β^{2} = I_{4},

α_{j} α_{k} = - α_{k} α_{j},

α_{k} β = - β α_{k},

ahol $j$ és $k$ különböző indexek 1-től 3-ig. $β$ és $α_{k}$ nem egyértelműen meghatározott, sokféleképpen meg lehet választani őket. Az egyes választásokat ábrázolásoknak vagy reprezentációknak nevezik.

Összevetve a Dirac-egyenletet a Schrödinger-egyenlet általános alakjával (amely $i ℏ d ψ / d t = \hat{H} ψ$ ) látható, hogy a Dirac-féle elméletben a Hamilton-operátor

\hat{H} = β m c^{2} + c \sum_{k = 1}^{3} α_{k} \hat{p}_{k} .

Kovariáns alak

A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja

(i ℏ γ^{μ} \partial_{μ} - m c) ψ = 0,

ahol a kétszer szereplő indexekre ( $μ = 0, 1, 2, 3$ ) összegzünk, $\partial_{μ} = (\frac{1}{c} \partial_{t}, \partial_{k})$ a négyesgradiens és $γ^{μ}$ 4×4-es mátrixok, melyeket gamma mátrixoknak vagy Dirac-mátrixoknak nevezünk. A gamma mátrixok és a $β$ , $α_{k}$ mátrixok közötti összefüggés a következő:

γ^{0} = β, γ^{k} = β α_{k}, α_{k} = γ^{0} γ^{k} .

A gamma mátrixok teljesítik a

{γ^{μ}, γ^{ν}} = γ^{μ} γ^{ν} + γ^{ν} γ^{μ} = 2 η^{μ ν} I_{4}

antikommutációs relációt, ahol $η^{μ ν}$ a Minkowski-metrika inverze $(+, -, -, -)$ szignatúrával. $γ^{0}$ hermitikus, $γ^{k}$ antihermitikus ( $(γ^{k})^{†} = - γ^{k}$ ). A $γ^{μ} \partial_{μ}$ differenciáloperátort Dirac-operátornak nevezzük.

A gamma mátrixok explicit alakja a standard ábrázolásban (Dirac-ábrázolás)

\begin{matrix} γ^{0} & = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) & γ^{1} & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ γ^{2} & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ - i & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) & γ^{3} & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}), \end{matrix}

melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2-es egységmátrix $I_{2}$ segítségével a következő kompaktabb alakban írhatók:

γ^{0} = (\begin{matrix} I_{2} & 0 \\ 0 & - I_{2} \end{matrix}), γ^{k} = (\begin{matrix} 0 & σ_{k} \\ - σ_{k} & 0 \end{matrix}) .

További két gyakran használt ábrázolása a gamma mátrixoknak a Weyl- (királis) és a Majorana-ábrázolás.

A Dirac-egyenlet kovariáns alakja úgy áll elő a fenti alakból, hogy a jobb oldali tagot átvisszük a bal oldalra, megszorozzuk az egyenletet $- 1 / c$ -vel, alkalmazzuk rá a $β$ mátrixot, felhasználjuk, hogy $β^{2} = I_{4}$ , $β$ -t és $β α_{k}$ -t helyettesítjük $γ^{0}$ -lal és $γ^{k}$ -val, ${\hat{p}}_{k}$ helyére beírjuk a $- i ℏ \partial_{k}$ kifejezést, és végül a $\partial_{μ}$ négyesgradienst használva a deriváltakat tartalmazó tagokat az $i ℏ γ^{μ} \partial_{μ} ψ$ alakban írjuk.

Klein–Gordon-egyenlet

A Dirac-egyenlet megoldásai kielégítik a Klein–Gordon-egyenletet is:

\partial_{μ} \partial^{μ} ψ + \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}} ψ = 0.

Ez látható az $(i ℏ γ^{ν} \partial_{ν} + m c) (i ℏ γ^{μ} \partial_{μ} - m c) ψ = - ℏ^{2} \partial_{μ} \partial^{μ} ψ - m^{2} c^{2} ψ$ azonosságból, amelyet a gamma mátrixok antikommutációs relációjának felhasználásával kaphatunk meg.

A Dirac-egyenlet megoldásainak ezen tulajdonságából következik, hogy a határozott energiájú és impulzusú megoldások (amelyek $ψ = w \exp (- i p_{μ} x^{μ} / ℏ)$ alakú síkhullám megoldások, ahol $p_{μ} = (E / c, p_{k})$ , $x^{0} = c t$ és $w$ négykomponensű komplex vektor) energiája és impulzusa kielégíti a relativisztikus szabad részecskéket jellemző

E^{2} = 𝐩^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}

energia-impulzus relációt (amelyben $𝐩^{2} = \sum_{k = 1}^{3} p_{k}^{2}$ ).

Dirac-konjugálás

Legyen $ψ$ négykomponensű komplex (oszlop)vektor. $ψ$ Dirac-konjugáltja, amelyre a $\bar{ψ}$ jelölést használjuk,

\bar{ψ} = ψ^{†} γ^{0},

ahol $^{†}$ a szokásos adjungálást jelöli. $ψ^{†}$ négykomponensű sorvektor, mivel az adjungálás transzponálásból és a mátrixelemek komplex konjugálásából áll. $ψ^{†}$ -et $γ^{0}$ -lal jobbról megszorozva ismét sorvektort kapunk, ezért $\bar{ψ}$ is négykomponensű komplex sorvektor.

A Dirac-konjugálás mellett szokásos a Dirac-adjungálás elnevezés is.

A Dirac-egyenletre alkalmazva a Dirac-konjugálást és felhasználva, hogy

(γ^{μ})^{†} γ^{0} = γ^{0} γ^{μ},

előáll a konjugált Dirac-egyenlet

- i ℏ \partial_{μ} \bar{ψ} γ^{μ} - m c \bar{ψ} = 0.

A Dirac-konjugálás jól használható Lorentz-skalár, -vektor és -tenzor mennyiségek képzésére (például $\bar{ψ} ψ$ , $\bar{ψ} γ^{μ} ψ$ , $\bar{ψ} \partial_{μ} ψ$ , $\bar{ψ} γ^{μ} \partial_{μ} ψ$ , $\bar{ψ} \partial_{μ ν} ψ$ stb.).

Valószínűségi áram

A $ψ$ hullámfüggvényből konstruálható egy olyan $j^{μ}$ négyesáramsűrűség, amely divergenciamentes (megmaradó), ha $ψ$ megoldása a Dirac-egyenletnek, és amelynek a nulladik komponense ( $j^{0}$ ) pozitív definit. $j^{μ}$ explicit alakja

j^{μ} = \bar{ψ} γ^{μ} ψ .

$j^{0}$ -t valószínűségi sűrűségként értelmezzük, $c j^{k}$ -t pedig valószínűségi áramsűrűségként. $j^{μ}$ elnevezése valószínűségi négyesáramsűrűség, amit gyakran rövidítenek (szokásos például a valószínűségi áram név).

Ha $ψ$ elegendően gyorsan nullához tart a térbeli végtelenben, akkor a teljes valószínűség $\int_{ℝ^{3}} j^{0} d^{3} 𝐱$ véges, és $j^{μ}$ divergenciamentessége ( $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ ) miatt időben állandó.

A Dirac-egyenlet megkonstruálásakor az egyik fő szempont volt az, hogy létezzen egy olyan áram, amit valószínűségi áramként lehet értelmezni. Eleinte a Klein–Gordon-egyenletet ( $\partial_{μ} \partial^{μ} ϕ + (m^{2} c^{2} / ℏ^{2}) ϕ = 0$ ) mint komplex skalár hullámfüggvényre vonatkozó egyenletet próbálták relativisztikus kvantummechanikai mozgásegyenletként értelmezni, de ehhez nem sikerült megfelelő valószínűségi áramot találni.

$j^{0}$ pozitív definitsége a következőképp látható: figyelembe véve a Dirac-konjugált definícióját és azt, hogy $(γ^{0})^{2} = I_{4}$ ,

j^{0} = \bar{ψ} γ^{0} ψ = ψ^{†} ψ = | ψ_{1} |^{2} + | ψ_{2} |^{2} + | ψ_{3} |^{2} + | ψ_{4} |^{2},

ahol $ψ_{1}, ψ_{2}, ψ_{3}, ψ_{4}$ a $ψ$ négy komponensét jelöli. A jobb oldalon álló kifejezés nyilvánvalóan nemnegatív és csak akkor nulla, ha $ψ = 0$ .

$\partial_{μ} j^{μ} = 0$ bizonyításához szorozzuk be a Dirac-egyenletet balról $\bar{ψ}$ -sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról $ψ$ -vel, és vonjuk ki a kapott egyenleteket egymásból:

\begin{matrix} 0 & = \bar{ψ} (i ℏ γ^{μ} \partial_{μ} ψ - m c ψ) - (- i ℏ \partial_{μ} \bar{ψ} γ^{μ} - m c \bar{ψ}) ψ \\ = i ℏ (\bar{ψ} γ^{μ} \partial_{μ} ψ + \partial_{μ} \bar{ψ} γ^{μ} ψ) = i ℏ \partial_{μ} (\bar{ψ} γ^{μ} ψ) . \end{matrix}

$j^{μ}$ megkapható a Noether-tétel alkalmazásával, és ebből is következik az, hogy $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ , ha $ψ$ megoldása a Dirac-egyenletnek.

Lagrange-függvény

A Dirac-egyenlet előáll Euler–Lagrange-egyenletként; az

ℒ = \bar{ψ} (i ℏ γ^{μ} \partial_{μ} - m c) ψ

Lagrange-sűrűségfüggvényből származó Euler–Lagrange-egyenletek a konjugált Dirac-egyenlet és a Dirac-egyenlet:

\frac{\partial ℒ}{\partial ψ} - \partial_{μ} \frac{\partial ℒ}{\partial (\partial_{μ} ψ)} = - i ℏ \partial_{μ} \bar{ψ} γ^{μ} - m c \bar{ψ} = 0

\frac{\partial ℒ}{\partial \bar{ψ}} - \partial_{μ} \frac{\partial ℒ}{\partial (\partial_{μ} \bar{ψ})} = i ℏ γ^{μ} \partial_{μ} ψ - m c ψ = 0.

A fenti Lagrange-sűrűségfüggvény invariáns a

ψ \to e^{i α} ψ, α \in ℝ

globális $U (1)$ transzformációkra (amelyek hatására $\bar{ψ} \to e^{- i α} \bar{ψ}$ ). Az ehhez a szimmetriához tartozó Noether-áram a $j^{μ} = \bar{ψ} γ^{μ} ψ$ valószínűségi áram.

Források

J. D. Bjorken, S. D. Drell: Relativistic quantum mechanics. New York, NY : McGraw-Hill (1964)
Geszti Tamás: Kvantummechanika. Typotex Kiadó, Budapest (2007)
M. E. Peskin, D. V. Schroeder: An introduction to quantum field theory. Reading, MA : Addison-Wesley (1995)

Kapcsolódó szócikkek

További információk

P. A. M. Dirac: Theory of electrons and positrons. www.nobelprize.org (1933. december 12.) (Hozzáférés: 2025. szeptember 5.)

Fizikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

Sablon:Kvantummechanika m v sz Kvantummechanika
Alapfogalmak	kvantumállapot szuperpozíció interferencia összefonódás mérés határozatlanság (Heisenberg-féle határozatlansági reláció) Pauli-elv hullám-részecske kettősség dekoherencia	$\hat{H} \| ψ ⟩ = i ℏ \frac{d}{d t} \| ψ ⟩$
Fontos kísérletek	kétrés-kísérlet Davisson–Germer-kísérlet Stern–Gerlach-kísérlet Bell-egyenlőtlenség Popper-kísérlet Schrödinger macskája Compton-szórás
Alapegyenletek	Schrödinger-egyenlet Pauli-egyenlet Klein–Gordon-egyenlet Dirac-egyenlet
Kifejlett elméletek	Kvantumtérelmélet Wightman axiómái Kvantum-elektrodinamika Kvantum-színdinamika Kvantumgravitáció Feynman-gráf
Interpretációk	Koppenhágai Ensemble Rejtett változók Transactional Sok-világ Consistent histories Kvantumlogika Az (ön)tudatosság eredménye összeesés
Tudósok	Planck Schrödinger Heisenberg Bohr Pauli Dirac Bohm Born de Broglie Neumann Einstein Feynman Everett Penrose Stephen Hawking Továbbiak