Anticlessidra

In geometria, l'anticlessidra è un solido di rotazione che si ottiene sottraendo ad un cilindro equilatero due coni simmetrici rispetto al punto medio del segmento che congiunge i centri delle basi del cilindro ed aventi per base le basi del cilindro. In altre parole, l'anticlessidra è un cilindro scavato da due coni.

La sua superficie interna e esterna in entrambi i casi è una superficie di rotazione.

Teorema

Una sfera inscritta nel cilindro ha lo stesso volume dell'anticlessidra.

Dimostrazione

Data un'anticlessidra, prendere una sfera di centro $O$ , coincidente con i vertici dei coni dell'anticlessidra, e di raggio pari al raggio di base dell'anticlessidra. Vogliamo dimostrare che la sfera è equivalente all'anticlessidra.

A tal fine sezioniamo i nostri solidi con un piano qualunque parallelo alle basi dell'anticlessidra. Se il piano passa per il centro della sfera, interseca la sfera e l'anticlessidra secondo lo stesso cerchio massimo della sfera. Se il piano $α$ è posto alla distanza $O H$ dal centro della sfera, esso taglia la sfera secondo un cerchio di raggio $H A$ e l'anticlessidra secondo la corona circolare compresa tra le circonferenze di centro $H$ e raggi $H B$ e $H C$ .

Si osservi che la misura dell'area del cerchio di raggio $H A$ è $π \overline{H A}^{2}$ e quella della corona circolare è $π ({\overline{H C}}^{2} - {\overline{H B}}^{2})$ .

Ma $H C$ è congruente al raggio della sfera e pertanto è $H C ≅ O A$ .

D'altra parte, siccome il raggio della base del cono è congruente alla sua altezza, si ha pure $H B ≅ O H$ .

Perciò la misura dell'area della corona circolare è $π ({\overline{H C}}^{2} - {\overline{H B}}^{2}) = π ({\overline{O A}}^{2} - {\overline{O H}}^{2})$ .

Nel triangolo $O H A$ , rettangolo in $H$ , si ha, per il teorema di Pitagora, ${\overline{O A}}^{2} - {\overline{O H}}^{2} = {\overline{H A}}^{2}$ .

Sostituendo in $π ({\overline{H C}}^{2} - {\overline{H B}}^{2}) = π ({\overline{O A}}^{2} - {\overline{O H}}^{2})$ si ha che la misura dell'area della corona circolare è $π {\overline{H A}}^{2}$ e risulta così uguale alla misura dell'area del cerchio della sezione della sfera.

Cerchio e corona sono pertanto equivalenti e il principio di Cavalieri ci assicura allora che sfera e anticlessidra sono equivalenti.

c.v.d.

Osservazione

Per il modo in cui è stata costruita la sfera rispetto l'anticlessidra, risulta volume sfera = volume cilindro - volume del doppio cono.

Ora, se $r$ è la misura del raggio della sfera, si ha

m i s u r a d e l v o l u m e d e l c i l i n d r o = π r^{2} 2 r = 2 π r^{3}

m i s u r a d e l v o l u m e d e l d o p p i o c o n o = 2 \cdot \frac{1}{3} π r^{2} \cdot r = \frac{2}{3} π r^{3}

quindi, indicando con $V$ la misura del volume della sfera, risulta

V = 2 π r^{3} - \frac{2}{3} π r^{3} ⟶ V = \frac{4}{3} π r^{3}

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Collegamenti esterni

anticlepsidra, su sapere.it, De Agostini.

anticlessidra, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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