Cono

Volume

Il volume ${\displaystyle V}$ di un cono con altezza ${\displaystyle h}$ e con base di raggio ${\displaystyle r}$ è ${\displaystyle {1 \over 3}}$ del volume del cilindro che ha le stesse dimensioni. Quindi:

${\displaystyle V={\pi r^{2}h \over 3}.}$

Se la base è ellittica di semiassi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle V={\pi abh \over 3}.}$

Si può calcolare il volume del cono per mezzo del calcolo integrale come il volume del solido ottenuto dalla rotazione di una retta ${\displaystyle y=mx}$ con coefficiente angolare positivo (per semplicità passante per l'origine degli assi) attorno all'asse delle ascisse. Si ha:

${\displaystyle V=\int _{0}^{h}\pi (mx)^{2}dx,}$

${\displaystyle V={\pi m^{2}h^{3} \over 3}.}$

Essendo ${\displaystyle \gamma }$ l'angolo acuto formato dalla retta ${\displaystyle y=mx}$ con l'asse delle ascisse, da considerazioni trigonometriche si ha che:

${\displaystyle r=h\tan \gamma ,}$

e poiché il coefficiente angolare ${\displaystyle m}$ è uguale alla tangente goniometrica di ${\displaystyle \gamma }$, elevando al quadrato ambo i membri della precedente equazione si ha:

${\displaystyle r^{2}=m^{2}h^{2},}$

da cui si ottiene:

${\displaystyle V={\pi r^{2}h \over 3}.}$

Area totale della superficie conica

L'area totale ${\displaystyle S_{t}}$ di una superficie conica è data dalla somma dell'area della base ${\displaystyle S_{b}}$ con l'area laterale ${\displaystyle S_{l}}$:

${\displaystyle S_{t}=S_{b}+S_{l}}$

dove:

${\displaystyle S_{b}=\pi r^{2}}$

${\displaystyle S_{l}=\pi ra}$

avendo definito l'apotema ${\displaystyle a}$ del cono come

${\displaystyle a={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}.}$

Sostituendo nella formula, si ottiene infine:

${\displaystyle S_{t}=\pi r(r+a).}$

• In generale, se il cono ha una forma qualunque (cono, piramide, ecc. sono casi particolari) di vertice ${\displaystyle V=(0,0,h)}$ e equazione polare di base ${\displaystyle R=R(\vartheta )}$, la formula per il calcolo della superficie laterale diviene:

${\displaystyle S_{l}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\!\!\!{\sqrt {{[R(\vartheta )]}^{4}+{[R(\vartheta )]}^{2}h^{2}+{[R'(\vartheta )]}^{2}h^{2}}}\,d\vartheta .}$

Centro di massa

Il centro di massa di un cono di densità uniforme è sull'asse, ad altezza ${\displaystyle {h \over 4}}$, partendo dalla base.