Corrispondenza biunivoca

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi $X$ e $Y$ è una relazione binaria tra $X$ e $Y$ , tale che ad ogni elemento di $X$ corrisponda uno ed un solo elemento di $Y$ , e viceversa ad ogni elemento di $Y$ corrisponda uno ed un solo elemento di $X$ . In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

f : X \to Y

è biiettiva se per ogni elemento $y$ di $Y$ vi è uno e un solo elemento $x$ di $X$ tale che $f (x) = y$ .

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Proprietà

Iniettività e suriettività

Una funzione $f : X \to Y$ è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, cioè se soddisfa le seguenti condizioni:

$a_{1} \neq a_{2}$ implica $f (a_{1}) \neq f (a_{2})$ per ogni $a_{1}$ , $a_{2}$ scelti in $X$ ;
$\forall y \in Y \exists x \in X$ tale che $f (x) = y$ , cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

Invertibilità

Una funzione $f : X \to Y$ è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione $g : Y \to X$ tale che la funzione composta $f g$ venga a coincidere con la funzione identità su $Y$ e che la funzione $g f$ coincida con l'identità su $X$ . La funzione $g$ se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di $f$ e denotata con $f^{- 1}$ .

Composizione

La composizione $g \circ f : X \to Z$ di due funzioni biiettive $f : X \to Y$ e $g : Y \to Z$ è ancora biiettiva.

Corrispondenza biunivoca per insiemi finiti

Se $X$ e $Y$ sono insiemi finiti, si può costruire una biiezione tra $X$ e $Y$ se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione $f : X \to Y$ iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.

Esempi

La funzione identità su un insieme $X$ , ${i d}_{X} (x) = x$ , è biiettiva ed è inversa di sé stessa.
Una permutazione di un insieme finito $X$ è biiettiva per definizione. Ad esempio, se $X = {1, 2, 3}$ e si considera la permutazione $σ = (123)$ , secondo la notazione ciclica, la sua inversa è $σ^{- 1} = (132)$ .
Un'applicazione lineare $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ definita da $f (𝐱) = A 𝐱$ , dove $A$ è una matrice quadrata $n \times n$ , è biiettiva se e solo se la matrice $A$ è invertibile. In tal caso l'applicazione inversa è definita da $f^{- 1} (𝐱) = A^{- 1} 𝐱$ . Come caso particolare, se $n = 1$ , la funzione $f (x) = a x$ è biiettiva se e solo se $a \neq 0$ .
La funzione $f : ℤ \to ℤ$ definita da $f (x) = 2 x$ non è biiettiva, perché non è suriettiva. Infatti ad esempio $3$ non appartiene alla usa immagine. La sua restrizione al codominio $2 ℤ$ è biiettiva, e la sua inversa è $f^{- 1} (x) = x / 2$ .
La funzione $f : ℝ \to [0, + \infty)$ definita da $f (x) = x^{2}$ non è biiettiva perché non è iniettiva. Infatti ad esempio $f (- 1) = f (1) = 1$ . La restrizione al dominio $[0, + \infty)$ è biiettiva e la sua funzione inversa è la radice quadrata, $f^{- 1} (x) = \sqrt{x}$ . La stessa restrizione rende biiettiva ogni funzione potenza con esponente pari. Al contrario, tutte le funzioni potenza con esponente dispari definite su $f : ℝ \to ℝ$ sono biiettive e la loro inversa è la rispettiva radice.
La funzione esponenziale $f : ℝ \to ℝ$ definita da $f (x) = e^{x}$ non è biiettiva, perché non è suriettiva. Infatti, nessuna immagine è negativa o nulla. La restrizione con codominio $(0, + \infty)$ è biiettiva e la sua inversa è il logaritmo naturale.
La funzione seno $f : ℝ \to ℝ$ definita da $f (x) = \sin x$ non è biiettiva, perché non è né iniettiva né suriettiva. Non è iniettiva perché periodica, e non è suriettiva perché $| \sin x | \leq 1$ . La restrizione al dominio $[- π / 2, π / 2]$ è iniettiva e la restrizione al codominio $[- 1, 1]$ è suriettiva. Perciò, la funzione $f : [- π / 2, π / 2] \to [- 1, 1]$ è biiettiva. La sua inversa è la funzione arcoseno. Considerazioni analoghe valgono per le altre funzioni goniometriche.

Note

↑ C. Kosniowski, p. 2.
↑ Conte, Picco Botta, Romagnoli, p. 12.

Bibliografia

Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
Conte, Picco Botta, Romagnoli, Algebra, Levrotto & Bella, 1986, ISBN 8882181464.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

corrispondenza biunivoca, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) one-to-one correspondence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Bijection, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Corrispondenza biunivoca, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] C. Kosniowski, p. 2.

[2] Conte, Picco Botta, Romagnoli, p. 12.