Arcoseno

In trigonometria l'arcoseno è definito come funzione inversa del seno di un angolo. La funzione seno non è biettiva quindi non è possibile avere la sua inversa, tuttavia è possibile restringere il suo dominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva e quindi invertibile. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione seno nell'intervallo $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

Notazione

In matematica l'arcoseno può essere indicato con una delle notazioni arcsin, arcsen, asin, asen, sin^-1, sen^-1. Queste ultime due notazioni, coerenti con la notazione per una funzione inversa (f^-1) e diffuse sulle tastiere di diverse calcolatrici, possono creare confusione con la notazione sen²(x), che oltre ad indicare la composizione sen(sen(x)) viene utilizzata per indicare il quadrato (sen x)²; per questo motivo il reciproco del seno di un angolo (la sua cosecante) viene sempre indicato con (sin x)^-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ASIN e ASN.

Proprietà

L'arcoseno è una funzione continua e strettamente crescente, definita per tutti i valori nell'intervallo $[- 1, 1]$ :

\arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

.

Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani, essendo $\arcsin x = - \arcsin (- x)$ .

La derivata della funzione arcoseno è:

\frac{d}{d x} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

.

La serie di Maclaurin corrispondente è:

\arcsin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{4^{n} (n!)^{2} (2 n + 1)} x^{2 n + 1} = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \dots

.

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi, ossia per definizione di funzione dispari:

\arcsin (- x) = - \arcsin x

.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcoseni in un'espressione dove l'arcoseno figura una volta sola:

\arcsin x_{1} \pm \arcsin x_{2} = {\begin{matrix} X & \pm x_{1} x_{2} \leq 0 \lor x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 1 \\ π - X & x_{1} > 0 \land \pm x_{2} > 0 \land x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 1 \\ - π - X & x_{1} < 0 \land \pm x_{2} < 0 \land x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 1 \end{matrix}

con

X = \arcsin (x_{1} \sqrt{1 - x_{2}^{2}} \pm x_{2} \sqrt{1 - x_{1}^{2}})

.

Arcoseno di una somma nell'intervallo in cui è definito l'arcoseno:

\arcsin (x \pm y) = \arcsin (\sqrt{\frac{1 + x^{2} - y^{2} - \sqrt{1 + x^{4} + y^{4} - 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} - 2 y^{2}}}{2}}) \pm \arcsin (\sqrt{\frac{1 - x^{2} + y^{2} - \sqrt{1 + x^{4} + y^{4} - 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} - 2 y^{2}}}{2}})

da cui discendono:

\arcsin (2 x) = 2 \arcsin (\sqrt{\frac{1 - \sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}})

\arcsin (\frac{x}{2}) = 2 \arcsin (\sqrt{\frac{1 - \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}{2}})

che sono casi particolari di:

\arcsin (k x) = 2 \arcsin (\sqrt{\frac{1 - \sqrt{1 - k^{2} x^{2}}}{2}})

per

0 \leq k x \leq 1

Note

↑ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 186
↑ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 460
↑ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 219
↑ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p. 295
↑ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239

Bibliografia

Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'arcoseno

Collegamenti esterni

arcoseno, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

arcoséno, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

arcoséno, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

arcoséno, su sapere.it, De Agostini.

arcoseno, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) arc sine, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Inverse Sine, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 186

[2] Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 460

[3] Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 219

[4] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p. 295

[5] Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239

V · D · M Trigonometria
Funzione trigonometrica · Funzione trigonometrica inversa
Funzioni	Seno · Senoverso · Coseno · Cosenoverso · Tangente · Cotangente · Secante · Secante esterna · Cosecante · Cosecante esterna · Funzioni trigonometriche complesse
Funzioni inverse	Arcoseno · Arcocoseno · Arcotangente · Arcocotangente · Arcosecante · Arcocosecante
Teoremi e formule	Teorema della corda · Teorema dei seni · Teorema del coseno · Teorema di Nepero · Teorema delle cotangenti · Teorema di Pitagora · Formule di prostaferesi · Formule di Werner · Formula di Eulero · Formule di duplicazione
Altro	Tavola trigonometrica · Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche · Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'arco · Funzioni iperboliche · Identità trigonometrica · Costanti trigonometriche esatte · Storia delle funzioni trigonometriche · Equazione trigonometrica · Disequazione trigonometrica