Superficie conica

In matematica una superficie conica è una superficie generata dal movimento rigido di una retta detta generatrice lungo i punti di una circonferenza detta direttrice per un punto fisso detto vertice, non complanare con alla direttrice. Perciò, il punto di incontro di tutte le direttrici è il vertice, che divide ogni direttrice in due semirette e che divide la superficie in due falde.

La superficie conica è dunque una delle superfici di rotazione.

Si possono avere due tipi di coniche: quando delta^{[cosa sarebbe delta?]} è una conica, non degenere, viene generato il cosiddetto cono quadrico, altrimenti, cioè quando delta^{[cosa sarebbe delta?]} non è una curva conica, il cono viene detto cono generico.

Il cilindro viene considerato come caso particolare di cono avente vertice posto a distanza infinita.

Secondo il tipo di conica che ha un cono quadrico come propria direttrice retta, si ha la seguente classificazione:

Cono circolare: si ottiene dal movimento di una retta $g$ , detta generatrice, intorno a un'altra retta $a$ , detta asse di rotazione, nella condizione in cui tali rette $g$ e $a$ siano tra loro complanari. In questo modo, sezionando tale cono con un piano perpendicolare all'asse $a$ e non passante per il suo vertice, si ha una circonferenza come direttrice retta dello stesso cono.
Cono ellittico.
Cono iperbolico.

Equazioni

Una superficie conica $S$ può essere descritta parametricamente come:

S (t, u) = v + u q (t),

con $v$ il vertice della superficie e $q$ la sua direttrice.

Una superficie conica circolare retta di apertura $2 θ$ , l'asse della quale è l'asse delle $z$ , e con vertice l'origine, è descritta dalla seguente parametrizzazione:

S (t, u) = (u \sin θ \cos t, u \sin θ \sin t, u \cos θ),

dove $t \in [0, 2 π)$ e $u \in (- \infty, \infty)$ . Nella forma implicita, la stessa superficie è descritta dall'equazione $S (x, y, z) = 0$ , dove:

S (x, y, z) = (x^{2} + y^{2}) (\cos θ)^{2} - z^{2} (\sin θ)^{2} .

Più in generale, una superficie conica circolare retta, con vertice nell'origine e l'asse parallelo al vettore $𝐝$ , di apertura $2 θ$ , è data dall'equazione vettoriale implicita $S (𝐱) = 0$ , dove:

S (𝐱) = (𝐱 \cdot 𝐝)^{2} - (𝐝 \cdot 𝐝) (𝐱 \cdot 𝐱) (\cos θ)^{2},

ossia:

S (𝐱) = 𝐱 \cdot 𝐝 - | 𝐝 | | 𝐱 | \cos θ,

dove $𝐱 = (x, y, z)$ , e $𝐱 \cdot 𝐝$ denota il prodotto scalare.

In $ℝ^{3}$ , una superficie conica con direttrice ellittica, è data dalla seguente equazione omogenea di grado 2:

S (x, y, z) = a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + 2 u x y + 2 v y z + 2 w z x = 0.

Note

↑ Un cono quadrico si può definire come proiezione di una conica (da un centro « vertice » fuori dal suo piano). Viceversa la sezione di un cono quadrico con un piano non passante per il vertice è una conica. Enriques F., Lezioni di geometria proiettiva. Italian ed. 1898. p. 208

Voci correlate

Collegamenti esterni

Sezioni circolari di un cono ellittico, su assex.altervista.org.

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[1] Un cono quadrico si può definire come proiezione di una conica (da un centro « vertice » fuori dal suo piano). Viceversa la sezione di un cono quadrico con un piano non passante per il vertice è una conica. Enriques F., Lezioni di geometria proiettiva. Italian ed. 1898. p. 208