Curva quartica

In matematica una curva quartica è una curva algebrica piana di quarto grado. Può essere definita da un polinomio della forma:

Ax4+Bx3y+Cx2y2+Dxy3+Ey4+Fx3+Gx2y+Hxy2+Iy3+Jx2+Kxy+Ly2+Mx+Ny+O=0.

Una curva quartica (n=4) irriducibile può avere al massimo:

12(n−1)(n−2)+1=4 componenti connesse;
12(n−1)(n−2)=3 punti doppi;
n2(n−2)(n2−9)=28 rette bitangenti;
3n(n−2)=24 punti di flesso.

L'equazione ha 15 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla. Quindi i coefficienti essenziali sono 14 e le quartiche sono ∞14. E una di esse è individuata dal suo passaggio per 14 punti generici.

Esempi

y2(a2−x2)−(x2+2ay−a2)2=0
y2(x2+y2)−a2x2=0
x2y2−a2y2+1=0
a2y2−b2x2−x2y2=0
y2(x2+y2)−4a2(x2+y2−1)=0
25(x4+y4+1)−34(x2y2+x2+y2)=0
x4+y4+2x2y2−x3−y3=0
5x4+y4+10x2y2−y=0
(x2+y2)2−ax3=0
[y2(1−2a)−x2+a2b2−1]2+4x2[y2(1−b)2−1]=0
x2y2+(x−a)(x−1)=0
2x4+y4+1−3x2y2−3x2+y2=0
x3y+ay3+a3x=0
x4+y4+x2y2−x(x2+y2)=0
x4/a4+y4/b4−c4=0
x4+y4−c4=0
x4+y3−x2y=0
(x2+y2)2−2x3−6y2x+x2=0
(x2−1)2−y2(2y+3)=0
x4−x2−y2=0
(x2+y2−x)2−x2−y2=0
(y2−x2)(x−1)(2x−3)−4(x2+y2−2x)2=0
(x2+y2)(x−1)2−4(x2+y2−x)2=0
x4−y4−xy=0
(x2−y2)2−a2x2−b2y2=0
(x2+y2+x)2+y2−4=0
(x2−1)(x−1)2+(y2−1)2=0
(x2+y2)2+18a2(x2+y2)−8a(x3−3xy2)−27a4=0
(x2+y2)2−a(x2−y2)=0
x4−a(x2−y2)=0
(x2+y2)2−ax2−by2=0
(x2−y)2+ax2−1=0
a(x4+y4)+by3+cx2y+dx2+ey2+f=0
(x2+y2−ax)2−b2(x2+y2)=0
(x2+y2)2−a(x2−y2)=0
x4+y4+cx2y2+dxy2=0
x4+y4+dx2y2+exy2+fx3=0
x4−y4+a2y2−b2x2=0
x2(x2−100)−y2(y2−96)=0
a2x2(x2+y2)−b(ay−x2−y2)2=0
yL−a(b−x)MxN=0

ove L e M+N sono interi non superiori a 4

(x2−a2)2+(y2−a2)2−b2=0
(x2−y2+a2−ab)2−(a2−y2)(2x+b)2=0
y2−yx−ay−b2)2+(y2−b2)(a−y−x)2=0
x2y2+a2y2−b2=0
(x−a)2(x2+y2)−b2x2=0
x2y2−a2(x2+y2)=0
(x2+y2)2+dx2+ey2+f=0
(x2+y2)2+ax2+by2+cx+dy+e=0
[(1−a2)(x2+y2)+2a2bx+c2−a2b2]2−4c2(x2+y2)=0
(x2+y2+a2)2−4a2x2−b4=0
y2=ax4−2bx2+1
x2+y2=a(1−bx2y2)
ax2y2=bx2+y2−1
144(x4+y4)−225(x2+y2)+350x2y2+81=0
x4+y4−x2y2−x2−y2=0
a2[(u−x)2+(v−y)2]−(x2+y2−ux−vy)2=0

ove il cerchio è x2+y2=a2 e il punto pedale è (u,v)

a2(u−x)2+b2(v−y)2−(x2+y2−ux−vy)2=0

ove l'ellisse è x2/a2+y2/b2=1 e il punto pedale è (u,v)

a2(u−x)2−b2(v−y)2−(x2+y2−ux−vy)2=0

ove l'iperbole è x2/a2−y2/b2=1 e il punto pedale è (u,v)

In Geometria descrittiva

quartica monogrammica risultante dell'intersezione tra cilindro e sfera

Nella generalità dei casi, la quartica è una curve d'intersezione tra superfici quadriche. I punti di questa quartica si ottengono come punti comuni a sezioni complanari di tali superfici eseguite con un fascio di piani.

Le dette quartiche d'intersezione possono classificarsi secondo le seguenti situazioni reciproche:

Le quartiche possono ammettere uno o due piani di simmetria, e questo dipende dalla reciproca posizione degli assi delle due superfici. Per esempio se gli assi sono complanari, la quartica d'intersezione ammette un piano di simmetria, la giacitura dell'altro piano di simmetria si riscontra nei casi in cui gli assi sono perpendicolari tra di loro.

La determinazione dei punti costituenti la quartica avviene con l'ausilio di un fascio di piani ausiliari secanti le due superfici. la scelta della giacitura di detti piani è fatta col fine di avere delle sezioni semplici da rappresentare. Ad esempio le sezioni con piani ortogonali all'asse di rotazione sono circonferenze e vengono rappresentate senza difficoltà se detto asse è perpendicolare ad uno dei piani di proiezione principali, altrimenti, si assumono altri piani di proiezione, ausiliari, di cui almeno uno abbia la giacitura perpendicolare all'asse; le sezioni proiettate su questi piani ausiliari risultano in vera forma

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