Immersione (matematica)

Inclusione

L'inclusione insiemistica ${\displaystyle A\subseteq B}$ è la forma più semplice di immersione e la funzione che la realizza è l'identità (considerata sul dominio ${\displaystyle A}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}i\colon A&\rightarrow B\\a&\mapsto a\end{aligned}}}$

In questo caso non esistono strutture matematiche da conservare, per cui le notazioni ${\displaystyle A\hookrightarrow B}$ e ${\displaystyle A\subseteq B}$ risultano effettivamente equivalenti; la funzione in questo caso prende anche il nome di inclusione canonica.

Numeri naturali e interi

L'insieme dei numeri interi (naturali con segno) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ contiene una copia dei numeri naturali ${\displaystyle \mathbb {N} }$, costituita dagli interi con segno positivo; l'immersione canonica è:

${\displaystyle {\begin{aligned}j\colon \mathbb {N} &\rightarrow \mathbb {Z} \\n&\mapsto +n\end{aligned}}}$

Si dimostra facilmente che l'immersione canonica conserva anche le strutture algebriche costituite dall'addizione e dal prodotto di numeri interi, nonché le usuali strutture d'ordine:

• ${\displaystyle j(z_{1}+z_{2})=j(z_{1})+j(z_{2});}$
• ${\displaystyle j(z_{1}z_{2})=j(z_{1})j(z_{2});}$
• ${\displaystyle z_{1}\leq z_{2}\Leftrightarrow j(z_{1})\leq j(z_{2}).}$

Queste proprietà giustificano la notazione semplificata ${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} }$, e l'identificazione del numero naturale ${\displaystyle n}$ con il numero intero ${\displaystyle +n}$. Con analogo ragionamento vengono realizzate le altre estensioni delle comuni strutture algebriche:

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} .}$

Inclusione topologica

Un'applicazione continua e iniettiva ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ tra due spazi topologici ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ si dice inclusione topologica (ossia inclusione continua) se è un omeomorfismo sull'immagine ${\displaystyle f(X)}$, ossia ${\displaystyle f\colon X\to f(X)}$ è un omeomorfismo, con ${\displaystyle N=f(X)}$ considerato come sottospazio topologico di ${\displaystyle Y}$, quindi dotato della topologia indotta dallo spazio ambiente ${\displaystyle Y}$. L'applicazione ${\displaystyle f\colon X\to f(X)}$ indotta da ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è continua. In particolare se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è un omeomorfismo, allora ${\displaystyle f}$ è una inclusione continua. Una funzione continua e iniettiva non è in generale un'immersione in questo ambito.

L'esistenza di un'inclusione topologica è un invariante topologico per ${\displaystyle X}$, per cui è possibile distinguere due spazi se uno dei due ammette una data inclusione topologica e l'altro no.

Immersione tra spazi metrici

Una mappa ${\displaystyle \phi }$ tra due spazi metrici ${\displaystyle (A,d_{A})}$ e ${\displaystyle (B,d_{B})}$, ${\displaystyle A}$ è immerso in ${\displaystyle B}$ con la distorsione ${\displaystyle C>0}$ se esiste una costante ${\displaystyle L>0}$ tale che:

${\displaystyle Ld_{A}(a_{1},a_{2})\leq d_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}))\leq CLd_{A}(a_{1},a_{2}),\quad \forall a_{1},a_{2}\in A.}$

La copia di ${\displaystyle A}$ possiede la sua stessa distanza, a meno del fattore di distorsione.

Immersione tra strutture algebriche

Nelle strutture algebriche (gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali) un'immersione ${\displaystyle \phi }$ è un omomorfismo iniettivo. Per esempio, per gli anelli valgono ${\displaystyle \phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)}$, ${\displaystyle \phi (ab)=\phi (a)\phi (b)}$ e ${\displaystyle \phi (1)=1}$. Nel caso dei campi l'iniettività è automatica.

Immersione in teoria dei modelli

Nella teoria dei modelli un'immersione ${\displaystyle \phi }$ è iniettiva, preserva le funzioni e le costanti del linguaggio e, per ogni relazione ${\displaystyle R}$ del linguaggio, ${\displaystyle R(a_{1},\dots ,a_{n})}$ vale in ${\displaystyle A}$ se e solo se ${\displaystyle R(\phi (a_{1}),\dots ,\phi (a_{n}))}$ vale in ${\displaystyle B}$.

Immersione in teoria delle categorie

Nella teoria delle categorie ogni immersione è un monomorfismo, ma in generale non vale il viceversa: per esempio, tra spazi topologici ogni funzione continua iniettiva è un monomorfismo, ma non necessariamente un'immersione. In molti contesti le immersioni corrispondono a classi più ristrette di monomorfismi, come i monomorfismi regolari.