Immersione (matematica)

In matematica, un'immersione (o embedding) di una struttura $A$ in una struttura $B$ dello stesso tipo è una funzione iniettiva $ϕ : A \to B$ che preserva la struttura, in modo che $ϕ$ sia un isomorfismo tra $A$ e la sua immagine $ϕ (A)$ , considerata come sottostruttura di $B$ . In questo senso $B$ contiene una "copia" di $A$ , e si identifica spesso $A$ con $ϕ (A)$ .

Il significato preciso di "preservare la struttura" dipende tuttavia dal contesto.

L'immersione può essere vista come una generalizzazione dell'inclusione insiemistica: se $A \subseteq B$ e la struttura di $A$ è quella indotta da $B$ , l'inclusione $A ↪ B$ è un'immersione.

La notazione usuale è la freccia a uncino $A ↪ B$ . Due strutture possono ammettere più immersioni l'una nell'altra. Poiché $ϕ$ è un isomorfismo tra $A$ e $ϕ (A)$ , è comune identificare $A$ con la sua immagine e scrivere semplicemente $A \subseteq B$ .

Nota terminologica. In geometria differenziale "immersione" traduce spesso l'inglese immersion, cioè una funzione differenziabile il cui differenziale è iniettivo in ogni punto. È una nozione più debole di embedding: un'immersione in questo senso può non essere iniettiva.

Esempi

Di seguito vengono riportati alcuni esempi significativi di immersione, con diverse strutture conservate.

Inclusione

L'inclusione insiemistica $A \subseteq B$ è la forma più semplice di immersione e la funzione che la realizza è l'identità (considerata sul dominio $A$ ):

\begin{matrix} i : A & \to B \\ a & \mapsto a \end{matrix}

In questo caso non esistono strutture matematiche da conservare, per cui le notazioni $A ↪ B$ e $A \subseteq B$ risultano effettivamente equivalenti; la funzione in questo caso prende anche il nome di inclusione canonica.

Numeri naturali e interi

L'insieme dei numeri interi (naturali con segno) $ℤ$ contiene una copia dei numeri naturali $ℕ$ , costituita dagli interi con segno positivo; l'immersione canonica è:

\begin{matrix} j : ℕ & \to ℤ \\ n & \mapsto + n \end{matrix}

Si dimostra facilmente che l'immersione canonica conserva anche le strutture algebriche costituite dall'addizione e dal prodotto di numeri interi, nonché le usuali strutture d'ordine:

$j (z_{1} + z_{2}) = j (z_{1}) + j (z_{2});$
$j (z_{1} z_{2}) = j (z_{1}) j (z_{2});$
$z_{1} \leq z_{2} \Leftrightarrow j (z_{1}) \leq j (z_{2}) .$

Queste proprietà giustificano la notazione semplificata $ℕ \subseteq ℤ$ , e l'identificazione del numero naturale $n$ con il numero intero $+ n$ . Con analogo ragionamento vengono realizzate le altre estensioni delle comuni strutture algebriche:

ℕ \subseteq ℤ \subseteq ℚ \subseteq ℝ \subseteq ℂ .

Inclusione topologica

Un'applicazione continua e iniettiva $f : X \to Y$ tra due spazi topologici $X$ e $Y$ si dice inclusione topologica (ossia inclusione continua) se è un omeomorfismo sull'immagine $f (X)$ , ossia $f : X \to f (X)$ è un omeomorfismo, con $N = f (X)$ considerato come sottospazio topologico di $Y$ , quindi dotato della topologia indotta dallo spazio ambiente $Y$ . L'applicazione $f : X \to f (X)$ indotta da $f : X \to Y$ è continua. In particolare se $f : X \to Y$ è un omeomorfismo, allora $f$ è una inclusione continua. Una funzione continua e iniettiva non è in generale un'immersione in questo ambito.

L'esistenza di un'inclusione topologica è un invariante topologico per $X$ , per cui è possibile distinguere due spazi se uno dei due ammette una data inclusione topologica e l'altro no.

Immersione tra spazi metrici

Una mappa $ϕ$ tra due spazi metrici $(A, d_{A})$ e $(B, d_{B})$ , $A$ è immerso in $B$ con la distorsione $C > 0$ se esiste una costante $L > 0$ tale che:

L d_{A} (a_{1}, a_{2}) \leq d_{B} (ϕ (a_{1}), ϕ (a_{2})) \leq C L d_{A} (a_{1}, a_{2}), \forall a_{1}, a_{2} \in A .

La copia di $A$ possiede la sua stessa distanza, a meno del fattore di distorsione.

Immersione tra strutture algebriche

Nelle strutture algebriche (gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali) un'immersione $ϕ$ è un omomorfismo iniettivo. Per esempio, per gli anelli valgono $ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b)$ , $ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)$ e $ϕ (1) = 1$ . Nel caso dei campi l'iniettività è automatica.

Immersione in teoria dei modelli

Nella teoria dei modelli un'immersione $ϕ$ è iniettiva, preserva le funzioni e le costanti del linguaggio e, per ogni relazione $R$ del linguaggio, $R (a_{1}, \dots, a_{n})$ vale in $A$ se e solo se $R (ϕ (a_{1}), \dots, ϕ (a_{n}))$ vale in $B$ .

Immersione in teoria delle categorie

Nella teoria delle categorie ogni immersione è un monomorfismo, ma in generale non vale il viceversa: per esempio, tra spazi topologici ogni funzione continua iniettiva è un monomorfismo, ma non necessariamente un'immersione. In molti contesti le immersioni corrispondono a classi più ristrette di monomorfismi, come i monomorfismi regolari.

Note

↑ E. Sernesi, p. 44.

Bibliografia

Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
(EN) R.W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
(EN) F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Jiří Adámek, Horst Herrlich, George Strecker, Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats), 2006.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] E. Sernesi, p. 44.