Massa di chirp

In astrofisica, la massa di chirp di un sistema binario compatto determina l'evoluzione orbitale di ordine principale del sistema a seguito della perdita di energia dovuta all'emissione di onde gravitazionali. Poiché la frequenza di queste ultime è determinata dalla frequenza orbitale, la massa di chirp determina anche l'evoluzione in frequenza del segnale di emesso durante la fase di spiraleggiamento di un sistema binario. Di fatto, nell'analisi dei dati delle onde gravitazionali, è più semplice misurare la massa di chirp piuttosto che le masse dei due componenti prese singolarmente.

Derivazione dalle due masse componenti

La massa di chirp del sistema compatto di una stella binaria con massa delle componenti $m_{1}$ e $m_{2}$ è data da:

ℳ = \frac{(m_{1} m_{2})^{3 / 5}}{(m_{1} + m_{2})^{1 / 5}}

.

Inoltre, essa può essere espressa anche in termini della massa totale del sistema:

$M = m_{1} + m_{2}$ o di altri parametri di massa:

la massa ridotta $μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ :
$ℳ = μ^{3 / 5} M^{2 / 5},$
il rapporto tra le masse $q = m_{1} / m_{2}$ :
$ℳ = {[\frac{q}{(1 + q)^{2}}]}^{3 / 5} M,$ o
il rapporto di massa simmetrico η=m1m2(m1+m2)2=μM=q(1+q)2=(mgeoM)2:
ℳ=η3/5M.
- Quest'ultimo raggiunge il suo valore massimo $η = \frac{1}{4}$ quando $m_{1} = m_{2}$ , e quindi $ℳ = (1 / 4)^{3 / 5} M \approx 0, 435 M .$
la media geometrica delle masse delle componenti mgeo=m1m2:
ℳ=mgeo(mgeoM)1/5,
- Se le due masse componenti sono simili, allora l'ultimo fattore si avvicina $(1 / 2)^{1 / 5} = 0, 871,$ così $ℳ \approx 0, 871 m_{g e o}$ . Questo moltiplicatore decresce lentamente quanto più diverse sono le due masse. Ad esempio per un rapporto di massa di 3 a 1, diventa $ℳ = 0, 846 m_{g e o}$ , mentre per un rapporto 10 a 1 diventa $ℳ = 0, 779 m_{g e o} .$

Evoluzione orbitale

Nella teoria della relatività generale, la massa di chirp è il parametro di massa che, all'ordine principale, determina l'evoluzione dell'ampiezza e della frequenza del segnale di un'onda gravitazionale emessa dal sistema binario nella fase di spiraleggiamento. All'ordine più basso di una espansione post-newtoniana, l'evoluzione della fase della forma d'onda dipende solamente dalla massa di chirp:

ℳ = \frac{c^{3}}{G} {(\frac{5}{96} π^{- 8 / 3} f^{- 11 / 3} \dot{f})}^{3 / 5}

dove $c$ , $G$ , $f$ and $\dot{f}$ sono rispettivamente la velocità della luce nel vuoto, la costante di gravitazione universale, la frequenza dell'onda gravitazionale osservata e la derivata prima di $f$ rispetto al tempo. Di conseguenza, nell'astronomia delle onde gravitazionali, la massa di chirp può essere accuratamente misurata dai rilevatori a partire dalla frequenza e dalla distorsione gravitazionale di un'onda gravitazionale.

Riscrivendo la soprastante equazione in modo da ottenere l'evoluzione della frequenza delle onde gravitazionali provenienti dalla coalescenza di una stella binaria si ottiene:

\dot{f} = \frac{96}{5} π^{8 / 3} {(\frac{G ℳ}{c^{3}})}^{5 / 3} f^{11 / 3}

Integrando tale equazione rispetto al tempo si ha quindi:

\frac{96}{5} π^{8 / 3} {(\frac{G ℳ}{c^{3}})}^{5 / 3} t + \frac{3}{8} f^{- 8 / 3} + C = 0

dove C è la costante di integrazione. Inoltre, ponendo $x \equiv t$ e $y \equiv \frac{3}{8} f^{- 8 / 3}$ , la massa di chirp può essere calcolata dall'inclinazione della retta ottenuta dalla rappresentazione su un piano cartesiano dei punti di coordinate (x, y).

Degenerazione del redshift di massa

Una limitazione della massa del chirp è che questa è influenzata dall'effetto batocromo; ciò che viene effettivamente derivato dalla forma d'onda gravitazionale osservata è infatti il prodotto

$ℳ_{o} = ℳ (1 + z)$

dove z è il valore del redshift. Come si vede, il valore così ottenuto è maggiore di quello della massa chirp della sorgente e può essere convertito nel valore di quest'ultima sono trovando il valore del redshift z.

Questo problema viene solitamente risolto dividendo l'ampiezza osservata per trovare la massa di chirp per la distanza e risolvendo entrambe le equazioni utilizzando la legge di Hubble per calcolare la relazione tra distanza e redshift, tuttavia ciò presuppone che i redshift non cosmologici siano trascurabili.