Matematica finanziaria

La matematica finanziaria è la parte della matematica applicata che studia i problemi della finanza e, in generale, le operazioni economiche legate all'investimento e all'impiego di capitali. In origine si occupava soprattutto delle operazioni di credito bancario e privato, ed era perciò chiamata anche teoria del credito; i suoi strumenti classici sono l'interesse, i regimi di capitalizzazione, le rendite e gli ammortamenti.

In senso moderno il termine coincide in larga parte con la finanza quantitativa (in inglese quantitative finance), il campo che costruisce modelli matematici, statistici e computazionali dei mercati finanziari. I suoi due grandi ambiti sono la valutazione (pricing) degli strumenti derivati e la gestione del rischio e del portafoglio. La disciplina si sovrappone in larga parte all'ingegneria finanziaria e alla finanza computazionale, ed è strettamente legata all'economia finanziaria, che ne fornisce gran parte della teoria. I professionisti del settore sono chiamati comunemente quant (analisti quantitativi) e operano su azioni, titoli a reddito fisso, prodotti strutturati, materie prime, valute e derivati di ogni tipo.

La tesi di dottorato di Louis Bachelier, discussa a Parigi il 29 marzo 1900, è considerata il primo lavoro accademico della finanza quantitativa, che si è però affermata come campo autonomo solo negli anni settanta, con la teoria di valutazione delle opzioni di Fischer Black, Myron Scholes e Robert C. Merton.

Definizione e ambito

Secondo una definizione diffusa nella manualistica italiana, la matematica finanziaria è la branca della matematica applicata che si occupa di operazioni economico-finanziarie, cioè di tutte le operazioni economiche che hanno per oggetto l'impiego di uno o più capitali monetari o riconducibili a una valutazione monetaria.

Nel tempo il suo ambito si è esteso a problemi di determinazione e valutazione di fatti economici non necessariamente legati al credito, come la scelta degli investimenti o la valutazione del risultato economico ottenuto dall'impiego di capitali nella produzione, fino alla modellizzazione dei mercati finanziari propria della finanza quantitativa.

Storia

Il calcolo dell'interesse ha una lunga tradizione: già il Liber abbaci di Leonardo Fibonacci (1202) tratta problemi di interesse e di cambio, e nel 1582 Simon Stevin pubblicò delle tavole per il calcolo dell'interesse composto (vedi Manuale di Stevin). La matematica finanziaria nel senso moderno di modellizzazione dei mercati nasce invece all'inizio del Novecento.

Le origini (1900–1960)

Nella Théorie de la spéculation (1900) Louis Bachelier introdusse il moto browniano per descrivere le variazioni dei prezzi e lo applicò alla valutazione delle opzioni, anticipando di cinque anni il lavoro di Albert Einstein sullo stesso processo. Il lavoro rimase a lungo ignorato e fu riscoperto negli anni cinquanta e sessanta, quando Paul Samuelson ne superò alcuni limiti, come la possibilità di prezzi negativi, adottando il moto browniano geometrico.

Nel 1952 Harry Markowitz pubblicò Portfolio Selection sul Journal of Finance, fondando la teoria moderna del portafoglio basata sul compromesso tra rendimento atteso e varianza. Nel 1964 William F. Sharpe ne derivò il Capital Asset Pricing Model (CAPM), sviluppato in modo indipendente anche da John Lintner, Jan Mossin e Jack Treynor. Markowitz, Sharpe e Merton Miller ricevettero nel 1990 il Premio Nobel per l'economia, il primo assegnato per contributi alla teoria della finanza.

La rivoluzione dei derivati (1960–1990)

Negli anni sessanta il matematico Edward O. Thorp, noto per il metodo di conteggio delle carte nel blackjack, applicò metodi statistici all'arbitraggio su warrant e opzioni, aprendo la strada all'investimento sistematico. Nel 1973 Fischer Black e Myron Scholes pubblicarono la formula di valutazione delle opzioni europee; nello stesso anno Robert C. Merton ne diede una derivazione rigorosa basata sul calcolo stocastico di Itō. Scholes e Merton ricevettero il Premio Nobel per l'economia nel 1997; Black, morto nel 1995, non poté essere premiato.

Il 1973 fu anche l'anno di apertura del Chicago Board Options Exchange, il primo mercato organizzato per le opzioni quotate. Seguirono il modello binomiale di Cox, Ross e Rubinstein (1979) e, tra il 1979 e il 1981, la teoria dell'arbitraggio di Harrison, Kreps e Pliska, che fonda il prezzo dei derivati sull'esistenza di una misura di probabilità neutrale al rischio.

L'era del rischio e dei quant (1990–oggi)

Nell'ottobre 1994 J.P. Morgan rese pubblica la metodologia RiskMetrics, che diffuse il Value at Risk (VaR) come misura standard del rischio di mercato per banche e regolatori. Negli stessi anni si affermarono gli hedge fund quantitativi, come Renaissance Technologies e D. E. Shaw, e i desk di derivati delle banche d'investimento assunsero fisici e matematici in gran numero.

Dagli anni duemila il trading algoritmico e ad alta frequenza ha trasformato la microstruttura dei mercati. Il crollo di LTCM (1998), la crisi del 2007–2008 e il flash crash del 2010 hanno però messo in luce i limiti dei modelli (vedi la sezione Critiche e crisi). Negli anni più recenti la disciplina ha integrato l'apprendimento automatico, i dati alternativi e, dopo il 2008, gli aggiustamenti di valutazione XVA.

Matematica finanziaria classica

Soggetti e operazioni finanziarie

In un'operazione finanziaria intervengono chi dispone del capitale e intende impiegarlo, chi lo richiede e lo accetta per l'uso ed eventualmente degli intermediari. Ciascuno dei soggetti può essere rappresentato fisicamente da una o più persone; agli effetti pratici, chi dispone dei capitali costituisce una parte e chi li accetta per l'impiego la controparte.

Ogni operazione finanziaria comprende almeno due impegni, la prestazione e la controprestazione:

la prestazione è a carico di chi cede il capitale di sua proprietà, e si attua all'inizio o durante l'operazione;
la controprestazione è a carico di chi, ottenuto il capitale per l'uso, si impegna a restituirlo in uno o più momenti successivi, generalmente alla fine o nel corso dell'operazione.

L'operazione è detta semplice o elementare se prevede una sola prestazione iniziale e una sola controprestazione finale; è detta complessa se prevede più prestazioni, di cui almeno una iniziale, e più controprestazioni, di cui almeno una finale.

Se prestazioni e controprestazioni si verificano con certezza le operazioni si dicono certe; se invece il loro verificarsi dipende da eventi aleatori si dicono aleatorie. Lo studio delle operazioni aleatorie, che richiede strumenti di calcolo delle probabilità, costituisce il punto di contatto con la matematica attuariale e con la finanza quantitativa moderna.

Equilibrio finanziario

Qualunque sia l'operazione, semplice o complessa, certa o aleatoria, essa deve rispettare l'equilibrio finanziario tra le parti. Secondo il principio di equivalenza finanziaria, un'operazione finanziaria è in equilibrio se il valore delle prestazioni e quello delle controprestazioni, riferiti allo stesso istante, sono uguali.

La valutazione di un'operazione dipende quindi dall'entità dei capitali investiti, dall'intervallo di tempo in cui si svolge e dal suo grado di certezza.

Interesse e montante

L'interesse è il compenso che spetta a chi concede in prestito un capitale, rinunciando per un certo periodo di tempo al suo utilizzo. Il capitale prestato è detto capitale iniziale, e il tasso di interesse è l'interesse maturato dall'unità di capitale nell'unità di tempo. La somma del capitale e dell'interesse dà luogo al montante, cioè l'importo che spetta al prestatore alla fine dell'operazione.

Nel corso della storia l'interesse è stato interpretato in diversi modi:

come prezzo per la rinuncia a disporre di una somma di denaro e quindi a sfruttare altre occasioni di investimento (costo opportunità del capitale);
come compenso per la perdita di potere d'acquisto causata dall'inflazione;
come remunerazione del rischio che il prestatore corre nel caso in cui il debitore sia insolvente.

Nel Medioevo il cristianesimo e l'islam vietarono ai propri fedeli il prestito a interesse. I teologi cristiani lo consideravano un abuso nei confronti del povero e lo ammettevano solo in tre casi:

lucrum cessans, quando il prestito comprometteva il profitto delle attività economiche del creditore;
damnum emergens, quando il prestito procurava un danno al creditore;
periculum sortis, quando il creditore rischiava di perdere il suo denaro.

Con l'espansione dei commerci e dei mercati in età moderna l'eccezione divenne la regola. Per l'ebraismo il prestito a interesse non era considerato peccato, ma era proibito nei confronti di altri ebrei. Gli Stati moderni, compreso quello italiano, ammettono il prestito a interesse purché il tasso non superi una soglia fissata dalla legge, oltre la quale si configura l'usura.

Regimi di capitalizzazione

Capitalizzazione semplice

Nella capitalizzazione semplice l'interesse è calcolato sempre sul capitale iniziale. Indicati con C il capitale, con i il tasso di interesse e con t il tempo, l'interesse è:

I = C i t

e il montante è:

M = C + I = C + C i t = C (1 + i t)

L'interesse è quindi direttamente proporzionale al capitale, al tasso e al tempo.

Capitalizzazione composta

Nella capitalizzazione composta gli interessi maturati in ciascun periodo si aggiungono al capitale e producono a loro volta interessi: il capitale all'inizio del periodo t+1 è pari al montante al tempo t. Il montante è quindi definito dalla relazione di ricorrenza:

M (0) = C, M (t + 1) = M (t) + i M (t) = M (t) (1 + i)

da cui si ricava la formula chiusa:

M (t) = C (1 + i)^{t}

Fondamenti della finanza quantitativa

La finanza quantitativa poggia sulla teoria della probabilità, sul calcolo stocastico, sulle equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP), sulla statistica multivariata e sull'ottimizzazione numerica.

Il mondo P e il mondo Q

Una distinzione centrale separa due modi di usare la probabilità:

Aspetto	Mondo Q (valutazione dei derivati)	Mondo P (rischio e portafoglio)
Obiettivo	Estrapolare il presente: prezzo equo oggi	Modellare il futuro: distribuzione dei rendimenti
Probabilità	Misura neutrale al rischio Q	Misura reale (statistica) P
Processi	Martingale a tempo continuo	Serie storiche a tempo discreto
Dimensione	Bassa (un titolo alla volta)	Alta (interi portafogli)
Strumenti	Calcolo di Itō, EDP, Monte Carlo	Statistica multivariata, econometria
Problema chiave	Calibrazione	Stima
Settore tipico	Sell side (banche)	Buy side (gestori, fondi)

Calcolo stocastico

Il modello di riferimento per il prezzo $S_{t}$ di un'azione è il moto browniano geometrico, in cui il rendimento istantaneo ha deriva $μ$ e volatilità $σ$ costanti e $W_{t}$ è un moto browniano standard:

d S_{t} = μ S_{t} d t + σ S_{t} d W_{t}

Il lemma di Itō consente di calcolare il differenziale di una funzione di un processo stocastico. Il teorema di Girsanov permette di passare dalla misura P alla misura Q cambiando la deriva del processo, mentre la formula di Feynman-Kac collega le attese condizionate alle soluzioni di EDP paraboliche.

Valutazione neutrale al rischio

Secondo il teorema fondamentale dell'asset pricing, nella sua forma per mercati a tempo discreto, un mercato è privo di arbitraggio se e solo se esiste una misura Q, equivalente a P, sotto cui i prezzi scontati sono martingale; in tempo continuo la condizione di assenza di arbitraggio va rafforzata, come mostrato da Freddy Delbaen e Walter Schachermayer nel 1994. Il prezzo di un derivato con payoff $H$ a scadenza $T$ , con tasso privo di rischio $r$ , è quindi:

V_{0} = 𝔼^{ℚ} [e^{- r T} H]

Applicato al moto browniano geometrico, questo principio porta all'equazione di Black-Scholes per il valore $V (S, t)$ di un'opzione:

\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} \frac{\partial^{2} V}{\partial S^{2}} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0

Metodi numerici

Quando non esiste una soluzione in forma chiusa si ricorre a tre famiglie di metodi:

il metodo Monte Carlo, adatto a payoff dipendenti dal percorso e a problemi con molti fattori di rischio;
il metodo delle differenze finite, per risolvere numericamente le EDP di valutazione;
gli alberi binomiali e trinomiali, utili in particolare per le opzioni americane con esercizio anticipato.

A questi si aggiungono i metodi basati sulla trasformata di Fourier, usati con i modelli di cui è nota la funzione caratteristica, come quello di Heston.

Aree di applicazione

Valutazione dei derivati

È l'ambito storico della finanza quantitativa: determinare il prezzo equo di opzioni, swap, obbligazioni convertibili e prodotti strutturati a partire da strumenti più liquidi. Il lavoro tipico comprende la scelta del modello, la sua calibrazione sui prezzi di mercato (ad esempio sulla superficie di volatilità implicita) e il calcolo delle sensibilità, dette greche (delta, gamma, vega, theta, rho), usate per la copertura. Dopo la crisi del 2008 il prezzo di un derivato over-the-counter include anche gli aggiustamenti XVA, che tengono conto del rischio di controparte (CVA), del rischio di credito proprio (DVA) e del costo di finanziamento (FVA).

Gestione del portafoglio

Nel solco di Markowitz e Sharpe, la gestione quantitativa costruisce portafogli ottimizzando il rapporto tra rendimento atteso e rischio. Le tecniche moderne includono i modelli multifattoriali, sulla scia del modello a tre fattori di Fama e French (1993), il modello di Black-Litterman (1992), che combina l'equilibrio di mercato con le opinioni del gestore, la risk parity e lo smart beta. Un tema centrale è il rischio di stima: i parametri stimati dai dati storici sono rumorosi, e un'ottimizzazione ingenua tende ad amplificarne gli errori.

Gestione del rischio

Le banche misurano il rischio di mercato, di credito, di liquidità e operativo con modelli quantitativi. Per anni la misura regolamentare di riferimento è stata il VaR al 99% su un orizzonte di 10 giorni. Con la Fundamental Review of the Trading Book (FRTB) del Comitato di Basilea per la vigilanza bancaria, nei modelli interni il VaR è sostituito dall'expected shortfall al 97,5% calibrato su un periodo di stress, che misura la perdita media oltre la soglia e coglie meglio le code pesanti delle distribuzioni. A differenza del VaR, l'expected shortfall è una misura di rischio coerente, perché rispetta la subadditività.

Trading algoritmico e ad alta frequenza

Il trading algoritmico usa programmi informatici per generare ed eseguire ordini: dall'esecuzione di grandi ordini istituzionali con algoritmi come VWAP e POV, al market making, all'arbitraggio statistico. Il trading ad alta frequenza (HFT) ne è il segmento basato su latenze dell'ordine dei microsecondi. Secondo una stima riportata dalla Federal Reserve di Chicago, nel 2009 un ristretto numero di società HFT generava circa il 70% del volume scambiato sui mercati azionari statunitensi. Lo studio della microstruttura dei mercati, cioè di come ordini, liquidità e formazione dei prezzi interagiscono nel limit order book, è diventato un ramo autonomo della disciplina.

Modelli principali

I modelli si raggruppano per classe di attività e per il fenomeno che cercano di catturare. La tabella riporta i più citati nella letteratura e nella pratica.

Famiglia	Modello	Anno	Idea chiave
Azioni e opzioni	Black-Scholes-Merton	1973	Volatilità costante, prezzo log-normale
Azioni e opzioni	Merton con salti	1976	Aggiunge salti di Poisson al moto browniano
Azioni e opzioni	Heston	1993	Varianza stocastica con ritorno alla media
Azioni e opzioni	Volatilità locale (Dupire)	1994	Volatilità funzione di prezzo e tempo, calibrata sullo smile
Volatilità stocastica	SABR	2002	Volatilità stocastica usata soprattutto per lo smile sui tassi
Azioni e opzioni	Volatilità rough	2018	Volatilità guidata da un moto browniano frazionario
Tassi d'interesse	Vašíček	1977	Tasso a breve gaussiano con ritorno alla media
Tassi d'interesse	Cox-Ingersoll-Ross	1985	Tasso a breve sempre positivo (processo a radice quadrata)
Tassi d'interesse	Hull-White	1990	Vašíček calibrato sulla curva dei tassi iniziale
Tassi d'interesse	Heath-Jarrow-Morton	1992	Modella l'intera curva dei tassi forward
Tassi d'interesse	LIBOR Market Model (BGM)	1997	Tassi forward discreti log-normali, coerenti con il modello di Black
Credito	Merton strutturale	1974	Il default avviene se il valore dell'attivo scende sotto il debito
Credito	Copula gaussiana (Li)	2000	Correlazione tra i tempi di default di più emittenti
Serie storiche	ARCH (Engle)	1982	Varianza condizionata dipendente dagli shock passati
Serie storiche	GARCH (Bollerslev)	1986	Generalizza ARCH: volatilità persistente e a grappoli
Portafoglio	Black-Litterman	1992	Combina equilibrio di mercato e opinioni dell'investitore
Portafoglio	Fama-French a tre fattori	1993	Mercato, dimensione e valore spiegano i rendimenti

Nel 2003 Robert Engle ricevette il Premio Nobel per l'economia, insieme a Clive Granger, anche per i modelli ARCH, a conferma del peso dell'econometria finanziaria nella disciplina.

Professioni e formazione

Il mestiere del quant

I quant lavorano in banche d'investimento, hedge fund, società di gestione del risparmio, società di trading proprietario, assicurazioni, società di consulenza e autorità di vigilanza. Una classificazione diffusa, resa popolare dal matematico Mark Joshi, distingue sei figure principali:

Ruolo	Dove opera	Attività principale
Desk quant (front office)	Desk di trading delle banche	Implementa i modelli di prezzo usati dai trader
Model validation quant	Middle office, risk management	Reimplementa e verifica in modo indipendente i modelli del front office, come richiesto dai regolatori
Research quant	Gruppi di ricerca	Sviluppa nuovi modelli di prezzo e algoritmi
Quant developer	Front office o area tecnologica	Costruisce librerie e sistemi di calcolo ad alte prestazioni
Statistical arbitrage quant	Hedge fund, trading proprietario	Cerca regolarità nei dati da trasformare in strategie di trading
Capital quant	Risk management, tesoreria	Modella esposizioni creditizie e requisiti di capitale

I linguaggi più usati sono C++ per i sistemi di calcolo e a bassa latenza e Python per ricerca, analisi dei dati e prototipazione; R, MATLAB e q/kdb+ restano diffusi in nicchie specifiche.

Formazione

I quant provengono tipicamente da matematica, fisica, statistica, ingegneria e informatica, spesso con un dottorato di ricerca. Molte università offrono master dedicati, come il Master of Financial Engineering (MFE) o il Master in Mathematical Finance. Tra le certificazioni professionali figurano il Certificate in Quantitative Finance (CQF) e, per il rischio, il Financial Risk Manager (FRM).

In Italia l'offerta è concentrata soprattutto a Milano: il Politecnico di Milano prevede un indirizzo di finanza quantitativa nella laurea magistrale in Ingegneria matematica e un master universitario di primo livello in finanza quantitativa presso la POLIMI Graduate School of Management, mentre l'Università Bocconi offre il Master in Quantitative Finance and Risk Management (MAFINRISK)^{[senza fonte]}. Percorsi quantitativi in finanza sono presenti anche in altri atenei, tra cui Milano-Bicocca, la Cattolica, Torino, Padova, Bologna e Roma.

Apprendimento automatico e tendenze recenti

Dagli anni dieci l'apprendimento automatico è entrato in quasi tutti i rami della disciplina, affiancandosi ai modelli stocastici classici più che sostituendoli.

Deep hedging. Nel 2019 Hans Buehler e coautori hanno proposto di rappresentare la strategia di copertura di un portafoglio di derivati come una rete neurale, addestrata a minimizzare una misura di rischio in presenza di costi di transazione e vincoli di liquidità, condizioni in cui la teoria classica perde trattabilità. J.P. Morgan, dove Buehler guidava la ricerca quantitativa sull'azionario, ha portato l'approccio in produzione per la copertura di parte dei propri libri di opzioni.
Calibrazione e pricing accelerati. Reti neurali addestrate su prezzi generati dai modelli approssimano funzioni di prezzo costose da calcolare, riducendo i tempi di calibrazione di modelli come quello di Heston o quelli a volatilità rough.
Dati alternativi ed elaborazione del linguaggio naturale. I gestori sistematici usano testi (notizie, verbali, bilanci), immagini satellitari e dati transazionali come fonti di segnali, con l'aiuto di tecniche di elaborazione del linguaggio naturale e, più di recente, di modelli linguistici di grandi dimensioni.
Apprendimento per rinforzo. L'apprendimento per rinforzo è applicato all'esecuzione ottimale degli ordini, al market making e alla gestione dinamica del portafoglio.

I principali rischi segnalati sono il sovradattamento ai dati storici, la scarsa interpretabilità dei modelli e la loro fragilità nei cambi di regime. Diversi gestori quantitativi descrivono l'intelligenza artificiale come un acceleratore della ricerca più che come un sostituto del giudizio umano nella costruzione dei modelli^{[senza fonte]}.

Altre tendenze riguardano la transizione dai tassi IBOR ai tassi risk-free overnight (come SOFR ed €STR), la crescita delle opzioni a scadenza giornaliera (0DTE), l'integrazione dei criteri ESG nei modelli di portafoglio e lo studio delle attività digitali.

Critiche e crisi

Le crisi finanziarie degli ultimi decenni hanno mostrato che i modelli quantitativi, usati con leva elevata o al di fuori delle ipotesi per cui sono stati costruiti, possono amplificare le perdite invece di contenerle.

Anno	Evento	Ruolo dei modelli
1987	Lunedì nero	La portfolio insurance, una strategia di copertura dinamica basata sulla replica delle opzioni, fu accusata di aver accentuato le vendite durante il crollo.
1998	Crollo di LTCM	Il fondo, che aveva Scholes e Merton nel consiglio di amministrazione, perse 4,6 miliardi di dollari in meno di quattro mesi a causa della leva elevata e dell'esposizione alle crisi asiatica e russa; un consorzio di 14 istituzioni lo ricapitalizzò con circa 3,6 miliardi di dollari sotto la regia della Federal Reserve Bank of New York.
2007	Quant quake di agosto	Fondi azionari market neutral con posizioni simili subirono perdite improvvise a causa di vendite forzate concentrate.
2007–2008	Crisi finanziaria globale	La copula gaussiana di Li, usata per valutare i CDO e alla base di molti rating, sottostimava la probabilità di default simultanei, che si materializzarono quando i prezzi delle case scesero a livello nazionale.
2010	Flash crash del 6 maggio	Un algoritmo che vendeva 75.000 contratti future E-mini sull'S&P 500 (circa 4,1 miliardi di dollari) senza tenere conto di prezzo e tempi, in un mercato già sotto stress, contribuì a far perdere ai principali indici azionari statunitensi un ulteriore 5-6% in pochi minuti; le perdite furono in gran parte recuperate entro la chiusura.

Critiche teoriche

Già negli anni sessanta Benoît Mandelbrot osservò che le variazioni dei prezzi non seguono una distribuzione normale ma presentano code molto più pesanti, per cui i movimenti estremi sono più frequenti di quanto prevedano i modelli standard. Nassim Nicholas Taleb, ne Il cigno nero (2007), sostiene che i prezzi delle attività finanziarie non possano essere descritti dai modelli semplici in uso e che affidarvisi sia pericolosamente fuorviante. Altre critiche richiamano la critica di Lucas: le relazioni osservate nei dati possono cambiare proprio quando molti operatori cercano di sfruttarle.

Nel gennaio 2009 Emanuel Derman e Paul Wilmott pubblicarono il Financial Modelers' Manifesto, un codice deontologico che invita i modellisti a ricordare che i modelli sono approssimazioni e a non sacrificare la realtà all'eleganza matematica. Sul piano regolamentare la risposta è passata per il rafforzamento della convalida indipendente dei modelli, gli stress test e l'adozione dell'expected shortfall.

Note

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↑ (EN) Paul A. Samuelson, Rational Theory of Warrant Pricing, in Industrial Management Review, vol. 6, n. 2, 1965, p. 13.
↑ (EN) Harry Markowitz, Portfolio Selection, in The Journal of Finance, vol. 7, n. 1, 1952, pp. 77-91.
↑ (EN) William F. Sharpe, Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, in The Journal of Finance, vol. 19, n. 3, 1964, pp. 425-442.
↑ (EN) Edward O. Thorp, Sheen T. Kassouf, Beat the Market: A Scientific Stock Market System, New York, Random House, 1967.
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↑ (EN) Robert C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, in The Bell Journal of Economics and Management Science, vol. 4, n. 1, 1973, pp. 141-183.
↑ (EN) John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein, Option Pricing: A Simplified Approach, in Journal of Financial Economics, vol. 7, n. 3, 1979, pp. 229-263, DOI:10.1016/0304-405X(79)90015-1.
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Bibliografia

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