Modello SABR

In matematica finanziaria, il modello SABR è un modello a volatilità stocastica, che tenta di quantificare lo smile di volatilità del mercato dei derivati finanziari. Il nome sta per “stochastic alfa, beta, rho” e si riferisce ai parametri del modello. Questo modello è largamente utilizzato nel settore finanziario, specialmente in relazione al mercato dei derivati sui tassi di interesse. È stato sviluppato da Patrick Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski e Diana Woodward.

Dinamica

Il modello SABR descrive un singolo contratto a termine (forward) ${\displaystyle F}$, come può essere un tasso forward LIBOR, un tasso swap forward o un prezzo azionario forward. Si tratta di uno degli standard utilizzati dagli operatori di mercato per quotare le volatilità. La volatilità del forward ${\displaystyle F}$ è indicata con ${\displaystyle \sigma }$. SABR è un modello dinamico in cui sia ${\displaystyle F}$ che ${\displaystyle \sigma }$ sono rappresentati da variabili di stato stocastiche la cui evoluzione nel tempo è data dal seguente sistema di equazioni differenziali stocastiche:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}^{}\,dZ_{t},}$

con valori previsti al tempo zero (attualmente osservati) ${\displaystyle F_{0}}$ e ${\displaystyle \sigma _{0}}$ e dove ${\displaystyle W_{t}}$ e ${\displaystyle Z_{t}}$ sono due processi di Wiener correlati con coefficiente di correlazione: ${\displaystyle -1<\rho <1}$

${\displaystyle dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt}$

I parametri costanti ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$ rispettano le condizioni ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$. ${\displaystyle \alpha }$ è un parametro simile alla volatilità per la volatilità. ${\displaystyle \rho }$ è la correlazione istantanea tra il sottostante e la sua volatilità. La volatilità iniziale ${\displaystyle \sigma _{0}}$ controlla l'altezza del livello di volatilità implicita ATM. Sia la correlazione ${\displaystyle \rho }$ che ${\displaystyle \beta }$ controllano la pendenza dell'asimmetria implicita. La volatilità della volatilità ${\displaystyle \alpha }$ controlla la sua curvatura.

La dinamica sopra descritta è una versione stocastica del modello CEV con il parametro di asimmetria ${\displaystyle \beta }$: infatti, si può ridurre al modello CEV se ${\displaystyle \alpha =0}$. Il parametro ${\displaystyle \alpha }$ è spesso indicato come il volvol e il suo significato è quello della volatilità lognormale del parametro di volatilità ${\displaystyle \sigma }$.

Soluzione asintotica

Consideriamo un'opzione europea (ad esempio, un'opzione call) sul forward ${\displaystyle F}$ con prezzo di esercizio ${\displaystyle K}$, che scade tra ${\displaystyle T}$ anni. Il valore di questa opzione è pari al valore atteso opportunamente scontato del payoff ${\displaystyle \max(F_{T}-K,\;0)}$ secondo la distribuzione di probabilità del processo ${\displaystyle F_{t}}$.

Ad eccezione dei casi speciali ${\displaystyle \beta =0}$ e ${\displaystyle \beta =1}$, non è nota alcuna espressione chiusa per questa distribuzione di probabilità. Il caso generale può essere risolto approssimativamente mediante un'espansione asintotica nel parametro ${\displaystyle \varepsilon =T\alpha ^{2}}$. In condizioni di mercato tipiche, questo parametro è piccolo e la soluzione approssimativa è piuttosto accurata. Inoltre, è significativo che questa soluzione abbia una forma di funzione piuttosto semplice e dunque è molto facile da implementare nel codice informatico e si presta bene alla gestione del rischio di grandi portafogli di opzioni in tempo reale.

È conveniente esprimere la soluzione in termini di volatilità implicita ${\displaystyle \sigma _{\textrm {impl}}}$ dell'opzione. Vale a dire, forziamo il prezzo dell'opzione del modello SABR nella forma della formula di Black. Quindi la volatilità implicita, che è il valore del parametro di volatilità lognormale nel modello di Black che lo forza a corrispondere al prezzo SABR, è approssimativamente data da:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\},}$

dove, per chiarezza, abbiamo stabilito che ${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$. La formula è indefinita quando ${\displaystyle K=F_{0}}$, quindi la sostituiamo con il suo limite come ${\displaystyle K\to F_{0}}$, che è dato sostituendo il fattore ${\displaystyle {\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}}$ con 1. Il valore ${\displaystyle F_{\text{mid}}}$ indica un punto medio scelto in modo conveniente tra ${\displaystyle F_{0}}$ e ${\displaystyle K}$ (come può essere la media geometrica ${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$ o la media aritmetica ${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$). Abbiamo anche impostato

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha }{\sigma _{0}(1-\beta )}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta }-K^{1-\beta }\right),}$

e

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,}$

La funzione ${\displaystyle D\left(\zeta \right)}$ inserita nella formula sopra riportata è data da:

${\displaystyle D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).}$

In alternativa, è possibile esprimere il prezzo SABR nei termini del modello di Bachelier. Quindi la volatilità normale implicita può essere calcolata asintoticamente mediante la seguente espressione:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}$

Vale la pena notare che la volatilità implicita SABR normale è generalmente più accurata rispetto alla volatilità implicita lognormale.

L'accuratezza dell'approssimazione e il grado di arbitraggio possono essere ulteriormente migliorati se per il prezzo delle opzioni viene utilizzata la volatilità equivalente secondo il modello CEV con lo stesso ${\displaystyle \beta }$.

Il modello SABR per i tassi negativi

Un'estensione del modello SABR per i tassi di interesse negativi che ha guadagnato popolarità negli ultimi anni è il modello shifted SABR, in cui si ipotizza che il tasso forward shifted segua un processo SABR.

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

per uno spostamento positivo ${\displaystyle s}$.

Poiché gli spostamenti sono inclusi nelle quotazioni di mercato ed esiste un limite intuitivo alla negatività dei tassi, il modello shifted SABR è diventato la best practice di mercato per tenere conto dei tassi negativi.

Il modello SABR può anche essere modificato per coprire i tassi di interesse negativi:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

per ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1/2}$ e una condizione al contorno libera per ${\displaystyle F=0}$. Sono disponibili la soluzione esatta per la correlazione zero e un'approssimazione efficiente per un caso generale. Uno svantaggio evidente di questo approccio è l'ipotesi a priori di tassi di interesse potenzialmente molto negativi tramite il contorno libero.

Problema di arbitraggio nella formula della volatilità implicita

Sebbene la soluzione asintotica sia molto facile da implementare, la densità implicita dall'approssimazione non è sempre priva di arbitraggio, specialmente per prezzi di esercizio molto bassi (diventa negativa o la densità non si integra a uno).

Una possibilità per “correggere” la formula è utilizzare il metodo di collocazione stocastica e proiettare il modello implicito corrispondente, mal posto, su un polinomio di variabili prive di arbitraggio, ad esempio normale. Ciò garantirà l'uguaglianza nella probabilità nei punti di collocazione, mentre la densità generata sarà priva di arbitraggio. Utilizzando il metodo di proiezione, sono disponibili i prezzi analitici delle opzioni europee e le volatilità implicite rimangono molto vicine a quelle inizialmente ottenute dalla formula asintotica.

Un'altra possibilità è quella di affidarsi a un risolutore PDE veloce e robusto su un'espansione equivalente della PDE forward, che preserva numericamente il momento zero e il primo momento, garantendo così l'assenza di arbitraggio.

Estensioni

Il modello SABR può essere esteso ipotizzando che i suoi parametri siano dipendenti dal tempo. Ciò complica tuttavia la procedura di calibrazione. Un metodo avanzato di calibrazione del modello SABR dipendente dal tempo si basa sui cosiddetti “parametri effettivi”.

In alternativa, Guerrero e Orlando hanno dimostrato che un modello di volatilità stocastica locale dipendente dal tempo (SLV) può essere ridotto a un sistema di PDE autonome risolvibili utilizzando l'heat kernel, mediante il metodo di fattorizzazione di Wei-Norman e tecniche algebriche di Lie. Le soluzioni esplicite ottenute con tali tecniche sono paragonabili alle tradizionali simulazioni Monte Carlo e consentono di ridurre i tempi di calcolo numerico.

Simulazione

Poiché il processo di volatilità stocastica segue un moto browniano geometrico, la sua simulazione esatta è semplice. Tuttavia, la simulazione del processo forward dell'asset non è un compito banale. In genere si prendono in considerazione schemi di simulazione basati su Taylor, come Euler-Maruyama o Milstein. Recentemente sono stati proposti nuovi metodi per una simulazione Monte Carlo quasi esatta del modello SABR. Recentemente sono stati presi in considerazione studi approfonditi sul modello SABR. Per il modello SABR normale (${\displaystyle \beta =0}$ senza condizioni al contorno a ${\displaystyle F=0}$), è noto un metodo di simulazione in forma chiusa.

Note

Collegamenti esterni

• A SUMMARY OF THE APPROACHES TO THE SABR MODEL FOR EQUITY DERIVATIVE SMILES, su riskworx.com. URL consultato il 4 gennaio 2015 (archiviato dall'url originale il 22 gennaio 2015).
• UNIFYING THE BGM AND SABR MODELS: A SHORT RIDE IN HYPERBOLIC GEOMETRY, PIERRE HENRY-LABORD`ERE, su arxiv.org.
• Asymptotic Approximations to CEV and SABR Models, su papers.ssrn.com.
• SABR calibration, su serdarsen.somee.com. URL consultato il 4 gennaio 2015 (archiviato dall'url originale il 20 settembre 2015).
• Advanced Analytics for the SABR Model

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