Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedano tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su $ℝ^{n}$ .

Definizione

Si definisce operatore unitario un isomorfismo $U : ℋ_{1} \to ℋ_{2}$ tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:

(ϕ, ψ) = (U ϕ, U ψ) \forall ϕ, ψ \in ℋ_{1}

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

U^{†} U = U U^{†} = I

dove si indica con $U^{†}$ l'aggiunto dell'operatore $U$ .

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

‖ U ‖ = 1

In spazi vettoriali a dimensione finita la suriettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

Spettro

Lo spettro di un operatore unitario $U$ giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero $λ \in ℂ$ nello spettro si ha $| λ | = 1$ . Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che $U$ è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione $f \in L^{2} (μ)$ misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito $(X, μ)$ con misura di Borel $μ$ . Allora, dal momento che $U U^{†} = I$ implica $| f (x) |^{2} = 1$ quasi ovunque rispetto a $μ$ , lo spettro essenziale di $f$ , e dunque lo spettro di $U$ , è contenuto nella circonferenza unitaria.

Linearità

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

⟨ λ \cdot U x - U (λ \cdot x), λ \cdot U x - U (λ \cdot x) ⟩

= ‖ λ \cdot U x ‖^{2} + ‖ U (λ \cdot x) ‖^{2} - ⟨ U (λ \cdot x), λ \cdot U x ⟩ - ⟨ λ \cdot U x, U (λ \cdot x) ⟩

= | λ |^{2} \cdot ‖ U x ‖^{2} + ‖ U (λ \cdot x) ‖^{2} - \overline{λ} \cdot ⟨ U (λ \cdot x), U x ⟩ - λ \cdot ⟨ U x, U (λ \cdot x) ⟩

= | λ |^{2} \cdot ‖ x ‖^{2} + ‖ λ \cdot x ‖^{2} - \overline{λ} \cdot ⟨ λ \cdot x, x ⟩ - λ \cdot ⟨ x, λ \cdot x ⟩

= 0

In modo analogo si ottiene:

⟨ U (x + y) - (U x + U y), U (x + y) - (U x + U y) ⟩ = 0

Note

↑ Reed, Simon, Pag. 39.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
(EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
(EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
(EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Unitary, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) V.I. Sobolev, Unitary operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) V.I. Sobolev, Unitarily-equivalent operators, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[1] Reed, Simon, Pag. 39.