Piramide di Pascal

In matematica, la piramide di Pascal (o tetraedro di Tartaglia) è una disposizione tridimensionale dei coefficienti dello sviluppo trinomiale e della distribuzione trinomiale. La piramide di Pascal è l'analogo tridimensionale del triangolo di Tartaglia bidimensionale, che contiene i coefficienti binomiali che appaiono nello sviluppo binomiale e nella distribuzione binomiale. I coefficienti, gli sviluppi e le distribuzioni binomiali e trinomiali sono sottoinsiemi dei costrutti multinomiali con gli stessi nomi.

Struttura del tetraedro

Poiché il tetraedro è un oggetto tridimensionale, mostrarlo su un foglio di carta, su uno schermo di computer o su un altro mezzo bidimensionale è difficile. Si supponga che il tetraedro sia diviso in un certo numero di livelli, piani, fette o strati. Il livello superiore (il vertice) è etichettato "Livello 0". Gli altri livelli possono essere pensati come viste dall'alto del tetraedro con i livelli precedenti rimossi. I primi sei livelli sono i seguenti:

Livello 0	1

Livello 1	1		1
Livello 1		1

Livello 2	1		2		1
		2		2
			1

Livello 3	1		3		3		1
		3		6		3
			3		3
				1

Livello 4	1		4		6		4		1
		4		12		12		4
			6		12		6
				4		4
					1

Livello 5	1		5		10		10		5		1
		5		20		30		20		5
			10		30		30		10
				10		20		10
					5		5
						1

I livelli del tetraedro sono stati deliberatamente mostrati con la punta rivolta verso il basso in modo da non essere singolarmente confusi con il triangolo di Tartaglia.

Panoramica del tetraedro

Vi è una simmetria a tre vie dei numeri in ogni livello.
Il numero di termini nell' $n$ -esimo livello è l' $(n + 1)$ -esimo numero triangolare: $\frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .
La somma dei valori dei numeri nell' $n$ -esimo livello è $3^{n}$ .
Ogni numero in qualsiasi livello è la somma dei tre numeri adiacenti nel livello sovrastante.
Ogni numero in qualsiasi livello ha un rapporto intero semplice con i numeri adiacenti nello stesso livello.
Ogni numero in qualsiasi livello è un coefficiente della distribuzione trinomiale e dello sviluppo trinomiale. Questa disposizione non lineare rende più semplice:
- mostrare lo sviluppo trinomiale in modo coerente;
- calcolare i coefficienti della distribuzione trinomiale;
- calcolare i numeri di qualsiasi livello del tetraedro.
I numeri lungo i tre spigoli dell' $n$ -esimo livello sono i numeri dell' $n$ -esima riga del triangolo di Tartaglia. E quasi tutte le proprietà elencate sopra hanno dei parallelismi con il triangolo di Tartaglia e i coefficienti multinomiali.

Connessione con lo sviluppo trinomiale

I numeri del tetraedro derivano dallo sviluppo trinomiale. L' $n$ -esimo livello è costituito da tutti i coefficienti che si ottengono quando il trinomio $A + B + C$ viene elevato all' $n$ -esima potenza. L' $n$ -esima potenza del trinomio viene espansa moltiplicando ripetutamente il trinomio per sé stesso:

(A + B + C) (A + B + C)^{n} = (A + B + C)^{n + 1} .

Ogni termine nella prima espressione viene moltiplicato per ogni termine nella seconda espressione; successivamente i coefficienti dei termini simili (stesse variabili ed esponenti) vengono sommati. Ecco lo sviluppo di $(A + B + C)^{4}$ :

1A⁴B⁰C⁰ + 4A³B⁰C¹ + 6A²B⁰C² + 4A¹B⁰C³ + 1A⁰B⁰C⁴ +

4A³B¹C⁰ + 12A²B¹C¹ + 12A¹B¹C² + 4A⁰B¹C³ +
6A²B²C⁰ + 12A¹B²C¹ + 6A⁰B²C² +
4A¹B³C⁰ + 4A⁰B³C¹ +

1A⁰B⁴C⁰

Scrivere lo sviluppo in questo modo non lineare mostra l'espansione in modo più comprensibile. Rende anche ovvia la connessione con il tetraedro: i coefficienti qui corrispondono a quelli del livello 4. Tutti i coefficienti, le variabili e gli esponenti impliciti, che normalmente non vengono scritti, sono mostrati per illustrare un'altra relazione con il tetraedro. (Di solito, "1A" è "A"; "B¹" è "B"; e "C⁰" è "1"; ecc.). La somma degli esponenti di ogni termine è uguale al numero n del livello, ossia 4 in questo caso. Più significativamente, il valore dei coefficienti di ogni termine può essere calcolato direttamente dagli esponenti. La formula è

\frac{(x + y + z)!}{x! y! z!},

dove x, y, z sono rispettivamente gli esponenti di A, B, C, e "!" è il fattoriale. Le formule degli esponenti per il 4º livello sono:

$\frac{(4 + 0 + 0)!}{4! \cdot 0! \cdot 0!} \frac{(3 + 0 + 1)!}{3! \cdot 0! \cdot 1!} \frac{(2 + 0 + 2)!}{2! \cdot 0! \cdot 2!} \frac{(1 + 0 + 3)!}{1! \cdot 0! \cdot 3!} \frac{(0 + 0 + 4)!}{0! \cdot 0! \cdot 4!}$

$\frac{(3 + 1 + 0)!}{3! \cdot 1! \cdot 0!} \frac{(2 + 1 + 1)!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} \frac{(1 + 1 + 2)!}{1! \cdot 1! \cdot 2!} \frac{(0 + 1 + 3)!}{0! \cdot 1! \cdot 3!}$

$\frac{(2 + 2 + 0)!}{2! \cdot 2! \cdot 0!} \frac{(1 + 2 + 1)!}{1! \cdot 2! \cdot 1!} \frac{(0 + 2 + 2)!}{0! \cdot 2! \cdot 2!}$

$\frac{(1 + 3 + 0)!}{1! \cdot 3! \cdot 0!} \frac{(0 + 3 + 1)!}{0! \cdot 3! \cdot 1!}$

$\frac{(0 + 4 + 0)!}{0! \cdot 4! \cdot 0!}$

Gli esponenti di ogni termine dello sviluppo possono essere visti chiaramente e queste formule si semplificano nei coefficienti dello sviluppo e nei coefficienti del livello 4 del tetraedro.

Connessione con la distribuzione trinomiale

I numeri del tetraedro possono essere trovati anche nella distribuzione trinomiale. Questa è una distribuzione di probabilità discreta utilizzata per determinare la possibilità che si verifichi una determinata combinazione di eventi date tre possibili esiti: il numero di modi in cui gli eventi potrebbero verificarsi viene moltiplicato per le probabilità che si verifichino. La formula per la distribuzione trinomiale è:

1 = \frac{n!}{x! y! z!} (P_{A})^{x} (P_{B})^{y} (P_{C})^{z}

dove x, y, z indicano il numero di volte in cui si verifica ciascuno dei tre esiti; n è il numero di prove ed è uguale alla somma di x+y+z; e P_A, P_B, P_C sono le probabilità che ciascuno dei tre eventi si verifichi.

Ad esempio, in un'elezione a tre, i candidati hanno ottenuto questi voti: A, 16%; B, 30%; C, 54%. Qual è la probabilità che un focus group di quattro persone scelto a caso contenga i seguenti elettori: 1 per A, 1 per B, 2 per C? La risposta è:

1 = \frac{4!}{1! 1! 2!} (16 %)^{1} (30 %)^{1} (54 %)^{2} = 12 \times 0, 0139968 \approx 17 % .

Il numero 12 è il coefficiente di questa probabilità ed è il numero di combinazioni che possono formare questo focus group "112". Ci sono 15 diverse composizioni possibili per focus group di quattro persone. Le espressioni per tutti i 15 coefficienti sono:

$\frac{4!}{4! \cdot 0! \cdot 0!} \frac{4!}{3! \cdot 0! \cdot 1!} \frac{4!}{2! \cdot 0! \cdot 2!} \frac{4!}{1! \cdot 0! \cdot 3!} \frac{4!}{0! \cdot 0! \cdot 4!}$

$\frac{4!}{3! \cdot 1! \cdot 0!} \frac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} \frac{4!}{1! \cdot 1! \cdot 2!} \frac{4!}{0! \cdot 1! \cdot 3!}$

$\frac{4!}{2! \cdot 2! \cdot 0!} \frac{4!}{1! \cdot 2! \cdot 1!} \frac{4!}{0! \cdot 2! \cdot 2!}$

$\frac{4!}{1! \cdot 3! \cdot 0!} \frac{4!}{0! \cdot 3! \cdot 1!}$

$\frac{4!}{0! \cdot 4! \cdot 0!}$

Il numeratore di queste frazioni (sopra la linea di frazione) è lo stesso per tutte le espressioni. È la dimensione del campione, un gruppo di quattro persone, e indica che i coefficienti di queste disposizioni si trovano sul livello 4 del tetraedro. I tre numeri del denominatore (sotto la linea) sono il numero dei membri del focus group che hanno votato rispettivamente per A, B e C.

Normalmente viene utilizzata una notazione abbreviata per esprimere le funzioni combinatorie nel seguente formato (che si legge "4 su 4, 0, 0", ecc.).

$(\binom{4}{4, 0, 0}) (\binom{4}{3, 0, 1}) (\binom{4}{2, 0, 2}) (\binom{4}{1, 0, 3}) (\binom{4}{0, 0, 4})$

$(\binom{4}{3, 1, 0}) (\binom{4}{2, 1, 1}) (\binom{4}{1, 1, 2}) (\binom{4}{0, 1, 3})$

$(\binom{4}{2, 2, 0}) (\binom{4}{1, 2, 1}) (\binom{4}{0, 2, 2})$

$(\binom{4}{1, 3, 0}) (\binom{4}{0, 3, 1})$

$(\binom{4}{0, 4, 0})$

Tuttavia, il valore di queste espressioni è ancora uguale ai coefficienti del 4º livello del tetraedro. E possono essere generalizzate a qualsiasi livello modificando $n$ .

Questa notazione fornisce un modo semplice per esprimere la somma di tutti i coefficienti del livello $n$ :

\sum_{x, y, z} (\binom{n}{x, y, z}) = 3^{n}

.

Somma dei coefficienti tra i livelli

I numeri in ogni livello $n$ del tetraedro sono la somma dei tre numeri adiacenti nel livello $n - 1$ "sopra" di esso. Questa relazione è piuttosto difficile da vedere senza mescolare i livelli. Di seguito sono riportati i numeri del livello 3 in corsivo intercalati tra i numeri in grassetto del livello 4:

1		4		6		4		1
	1		3		3		1
	4		12		12		4
		3		6		3
		6		12		6
			3		3
			4		4
				1
				1

La relazione è illustrata dal numero inferiore e centrale 12 del 4º livello. È "circondato" da tre numeri del 3º livello: 6 a "nord", 3 a "sud-ovest", 3 a "sud-est". (I numeri lungo il bordo hanno solo due numeri adiacenti nel livello "superiore" e i tre numeri agli angoli hanno un solo numero adiacente nel livello superiore, motivo per cui sono sempre "1". I numeri mancanti possono essere considerati come "0", quindi non c'è perdita di generalità). Questa relazione tra i livelli adiacenti deriva dal processo di sviluppo trinomiale in due fasi.

Continuando con questo esempio, nel Passaggio 1, ogni termine di (A + B + C)³ viene moltiplicato per ciascun termine di (A + B + C)¹. Solo tre di queste moltiplicazioni sono di interesse in questo esempio:

Termine del livello 3	Moltiplicato per	Prodotto
6A¹B¹C¹	1B¹	6A¹B²C¹
3A¹B²C⁰	1C¹	3A¹B²C¹
3A⁰B²C¹	1A¹	3A¹B²C¹

Poi nel Passaggio 2, la somma dei termini simili (stesse variabili ed esponenti) produce: 12A¹B²C¹, che è il termine di (A + B + C)⁴; mentre 12 è il coefficiente del 4º livello del tetraedro.

Simbolicamente, la relazione additiva può essere espressa come:

C (x, y, z) = C (x - 1, y, z) + C (x, y - 1, z) + C (x, y, z - 1)

dove $C (x, y, z)$ è il coefficiente del termine con esponenti x, y, z e $x + y + z = n$ è il livello del tetraedro.

Questa relazione funzionerà solo se lo sviluppo trinomiale è disposto nel modo non lineare descritto nella sezione sulla "connessione con lo sviluppo trinomiale".

Rapporto tra i coefficienti dello stesso livello

In ogni livello del tetraedro, i numeri sono in rapporti interi semplici rispetto ai numeri adiacenti. Questa relazione è illustrata per coppie orizzontalmente adiacenti sul 4º livello dai seguenti:

1 ⟨ 1:4 ⟩ 4 ⟨ 2:3 ⟩ 6 ⟨ 3:2 ⟩ 4 ⟨ 4:1 ⟩ 1

4 ⟨ 1:3 ⟩ 12 ⟨ 2:2 ⟩ 12 ⟨ 3:1 ⟩ 4
6 ⟨ 1:2 ⟩ 12 ⟨ 2:1 ⟩ 6
4 ⟨ 1:1 ⟩ 4

1

Poiché il tetraedro ha una simmetria a tre vie, la relazione di proporzionalità vale anche per le coppie diagonali in entrambe le direzioni, oltre che per le coppie orizzontali mostrate.

I rapporti sono determinati dagli esponenti dei corrispondenti termini adiacenti nello sviluppo trinomiale. Per esempio, un rapporto nell'illustrazione sopra è:

4 ⟨ 1:3 ⟩ 12

I termini corrispondenti dello sviluppo trinomiale sono:

4 A^{3} B^{1} C^{0}

e

12 A^{2} B^{1} C^{1}

Le seguenti regole si applicano ai coefficienti di tutte le coppie di termini adiacenti nello sviluppo trinomiale:

L'esponente di una delle variabili rimane invariato (B in questo caso) e può essere ignorato.
Per le altre due variabili, un esponente aumenta di 1 e uno diminuisce di 1.
- Gli esponenti di A sono 3 e 2 (il maggiore si trova nel termine di sinistra).
- Gli esponenti di C sono 0 e 1 (il maggiore si trova nel termine di destra).
I coefficienti e gli esponenti maggiori sono correlati:
- 4 × 3 = 12 × 1
- 4 / 12 = 1 / 3
Queste equazioni producono il rapporto: "1:3".

Le regole sono le stesse per tutte le coppie orizzontali e diagonali. Le variabili A, B, C cambieranno.

Questa relazione di proporzionalità fornisce un altro modo (un po' macchinoso) per calcolare i coefficienti del tetraedro:

Il coefficiente del termine adiacente è uguale al coefficiente del termine corrente moltiplicato per l'esponente della variabile decrescente del termine corrente, diviso per l'esponente della variabile crescente del termine adiacente.

Il rapporto dei coefficienti adiacenti potrebbe essere un po' più chiaro se espresso simbolicamente. Ogni termine può avere fino a sei termini adiacenti:

Per x = 0:

C (x, y, z - 1) = C (x, y - 1, z) \cdot \frac{z}{y}, C (x, y - 1, z) = C (x, y, z - 1) \cdot \frac{y}{z}

Per y = 0:

C (x - 1, y, z) = C (x, y, z - 1) \cdot \frac{x}{z}, C (x, y, z - 1) = C (x - 1, y, z) \cdot \frac{z}{x}

Per z = 0:

C (x, y - 1, z) = C (x - 1, y, z) \cdot \frac{y}{x}, C (x - 1, y, z) = C (x, y - 1, z) \cdot \frac{x}{y}

dove $C (x, y, z)$ è il coefficiente e x, y, z sono gli esponenti. Ai tempi precedenti alle calcolatrici tascabili e ai computer, questo approccio veniva utilizzato come scorciatoia scolastica per scrivere gli sviluppi binomiali senza ricorrere a noiose espansioni algebriche o a laboriosi calcoli con i fattoriali.

Questa relazione funzionerà solo se lo sviluppo trinomiale è disposto nel modo non lineare illustrato nella sezione sulla "connessione con lo sviluppo trinomiale".

Relazione con il triangolo di Tartaglia

È ben noto che i numeri lungo i tre bordi esterni dell' $n$ -esimo livello del tetraedro sono gli stessi numeri dell' $n$ -esima riga del triangolo di Tartaglia. Tuttavia, il legame è in realtà molto più profondo di una singola riga di numeri. Questa relazione si illustra al meglio confrontando il triangolo di Tartaglia fino alla riga 4 con il livello 4 del tetraedro.

Triangolo di Tartaglia

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Livello 4 del tetraedro
1 4 6 4 1
4 12 12 4
6 12 6
4 4

1

Moltiplicando i numeri di ogni riga del triangolo di Tartaglia giù fino all' $n$ -esima riga per i numeri dell' $n$ -esima riga si genera l' $n$ -esimo livello del tetraedro. Nel seguente esempio, le righe del triangolo di Tartaglia sono in corsivo e le righe del tetraedro sono in grassetto.

1

× 1 =
1

1 1
× 4 =
4 4

1 2 1
× 6 =
6 12 6

1 3 3 1
× 4 =
4 12 12 4

1 4 6 4 1
× 1 =

1 4 6 4 1

I moltiplicatori (1 4 6 4 1) compongono la riga 4 del triangolo di Tartaglia.

Questa relazione dimostra il modo più rapido e semplice per calcolare i numeri per qualsiasi livello del tetraedro senza calcolare i fattoriali, che diventano rapidamente numeri enormi. Le calcolatrici a precisione arbitraria diventano molto lente oltre il livello 200 del tetraedro.

Se i coefficienti del triangolo di Tartaglia sono indicati con $C (i, j)$ e i coefficienti del tetraedro sono indicati con $C (n, i, j),$ dove $n$ è il livello del tetraedro, $i$ è la riga e $j$ è la colonna, allora la relazione può essere espressa simbolicamente come:

C (i, j) \times C (n, i) = C (n, i, j), 0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq i,

qui i, j, n non sono esponenti, ma solo indici di etichettatura sequenziali.

Altre proprietà

Costruzione esponenziale

Un livello arbitrario $n$ può essere ottenuto in un singolo passaggio usando la seguente formula:

{(b^{d (n + 1)} + b^{d} + 1)}^{n},

dove b è la base e d è il numero di cifre di uno qualsiasi dei coefficienti multinomiali centrali, ossia

d = 1 + ⌊ \log_{b} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, k_{3}}) ⌋, \sum_{i = 1}^{3} k_{i} = n, ⌊ \frac{n}{3} ⌋ \leq k_{i} \leq ⌈ \frac{n}{3} ⌉,

quindi incapsulando le cifre del suo risultato per d(n+1), distanziando per d e rimuovendo gli zeri iniziali.

Questo metodo, generalizzato a una dimensione arbitraria, può essere utilizzato per ottenere le fette di qualsiasi simplesso di Pascal.

Esempi

Per base b = 10, n = 5, d = 2:

{(1 0^{12} + 1 0^{2} + 1)}^{5}

= 1000000000101⁵
= 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501

              1                     1                     1
   000000000505     00 00 00 00 05 05     .. .. .. .. .5 .5
   000000102010     00 00 00 10 20 10     .. .. .. 10 20 10
~  000010303010  ~  00 00 10 30 30 10  ~  .. .. 10 30 30 10
   000520302005     00 05 20 30 20 05     .. .5 20 30 20 .5
   010510100501     01 05 10 10 05 01     .1 .5 10 10 .5 .1

incapsulato per d(n+1)     distanziato per d      zeri iniziali rimossi

Per base b = 10, n = 20, d = 9:

{(1 0^{189} + 1 0^{9} + 1)}^{20} .

Livello #20 della piramide di Pascal.

Somma dei coefficienti di un livello per righe

La somma dei numeri in ogni riga di un livello $n$ della piramide di Pascal dà:

{(b^{d} + 2)}^{n},

dove b è la base e d è il numero di cifre della somma della riga "centrale" (quella con la somma maggiore).

Per base b = 10:

 1 ~ 1    \ 1  ~ 1      \ 1   ~ 1          \ 1    ~  1               \ 1     ~  1
---      1 \ 1 ~ 02  \ 2 \ 2  ~ 04      \ 3 \ 3   ~ 06            \ 4 \ 4    ~ 08
 1       -----      1 \ 2 \ 1 ~ 04   \ 3 \ 6 \ 3  ~ 12         \ 6 \12 \ 6   ~ 24
         1  02      ---------       1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08      \ 4 \12 \12 \ 4  ~ 32
                    1  04  04       -------------          1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16
                                    1  06  12  08         ------------------
                                                           1  08  24  32  16

102⁰      102¹        102²               102³                     102⁴

Somma dei coefficienti di un livello per colonne

La somma dei numeri in ogni colonna di un livello n della piramide di Pascal dà:

{(b^{2 d} + b^{d} + 1)}^{n},

dove b è la base e d è il numero di cifre della somma della colonna "centrale" (quella con la somma maggiore).

Per base b = 10:

 1     |1|       |1|            |1|                     | 1|                              | 1|
---   1| |1    |2| |2|        |3| |3|                | 4|  | 4|                        | 5|  | 5|
 1    -----   1| |2| |1     |3| |6| |3|           | 6|  |12|  | 6|                  |10|  |20|  |10|
      1 1 1   ---------    1| |3| |3| |1       | 4|  |12|  |12|  | 4|            |10|  |30|  |30|  |10|
              1 2 3 2 1    -------------      1|  | 4|  | 6|  | 4|  | 1       | 5|  |20|  |30|  |20|  | 5|
                           1 3 6 7 6 3 1     --------------------------      1|  | 5|  |10|  |10|  | 5|  | 1
                                              1 04 10 16 19 16 10 04 01     --------------------------------
                                                                             1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01

111⁰   111¹      111²           111³                    10101⁴                             10101⁵

Estensioni in dimensioni superiori

Invece di considerare le potenze di un binomio o di un trinomio ( $(x + y)^{n}$ o $(x + y + z)^{n}$ ), che generano il triangolo di Tartaglia e la piramide di Pascal, si possono considerare i coefficienti che si ottengono elevando il multinomio $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m}$ a varie potenze. Se il multinomio ha $m$ termini, i coefficienti risultanti possono essere disposti in modo da formare un simplesso $m$ -dimensionale. Gli elementi del livello $n$ del simplesso sono i coefficienti multinomiali

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \dots k_{m}!}

dove $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ variano su tutte le n-uple di $m$ interi non negativi la cui somma è $n$ . Ogni faccia del simplesso $m$ -dimensionale restituisce una copia del simplesso $(m - 1)$ -dimensionale, e si ottiene considerando quei termini nello sviluppo multinomiale in cui non compare $x_{m}$ (cioè appare con potenza $0$ ). La disposizione dei punti per $m = 1$ fino a $m = 4$ in un simplesso è illustrata di seguito:

Numero di coefficienti

Per l' $n$ -esima componente, l' $(m - 1)$ -simplesso, dell' $m$ -simplesso di Pascal, il numero dei coefficienti dello sviluppo multinomiale di cui è composto è dato da:

(\binom{(n - 1) + (m - 1)}{m - 1}) + (\binom{n + (m - 2)}{m - 2}) = (\binom{n + (m - 1)}{m - 1}) = ((\binom{m}{n})),

dove quest'ultima è la notazione del multinsieme. Possiamo vederlo sia come la somma del numero di coefficienti di una componente $(n - 1)$ -esima ( $(m - 1)$ -simplesso) del $m$ -simplesso di Pascal con il numero di coefficienti di un' $n$ -esima componente ( $(m - 2)$ -simplesso) del $(m - 1)$ -simplesso di Pascal, sia come il numero di tutte le possibili partizioni di un' $n$ -esima potenza tra $m$ esponenti.

Parallelismi con il triangolo di Tartaglia e i coefficienti multinomiali

Questa tabella riassume le proprietà dello sviluppo trinomiale e della distribuzione trinomiale. Le confronta con gli sviluppi e le distribuzioni binomiali e multinomiali:

Tipo di polinomio	binomiale	trinomiale	multinomiale
Ordine del polinomio	2	3	m
Esempio di polinomio	$A + B$	$A + B + C$	$A + B + C + \dots + M$
Struttura geometrica	triangolo	tetraedro	m-simplesso
Struttura dell'elemento	riga	livello	gruppo
Simmetria dell'elemento	a 2 vie	a 3 vie	a m vie
Numero di termini per elemento	n+1	$\frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$	$\frac{(n + 1) (n + 2) ... (n + m - 1)}{(m - 1)!} = \frac{(n + m - 1)!}{n! (m - 1)!}$
Somma dei coefficienti per elemento	2ⁿ	3ⁿ	mⁿ
Esempio di termine	A^xB^y	A^xB^yC^z	A^xB^yC^z...M^m
Somma degli esponenti, tutti i termini	n	n	n
Equazione del coefficiente	$\frac{n!}{x! y!}$	$\frac{n!}{x! y! z!}$	$\frac{n!}{x! y! z! ... x_{m}!}$
Somma dei coefficienti "sovrastanti"	2	3	m
Rapporto tra coefficienti adiacenti	2	6	m(m−1)

Note

↑ J. Staib e L. Staib, The Pascal Pyramid, in The Mathematics Teacher, vol. 71, n. 6, 1978, pp. 505–510, DOI:10.5951/MT.71.6.0505, JSTOR 27961325.
↑ Jean Pedersen, Peter Hilton e Derek Holton, Mathematical vistas : from a room with many windows, =New York, NY [u.a.], Springer, 2002, ISBN 978-0387950648.
↑ (EN) Successione {{{1}}}, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

↑ Un simplesso è la forma geometrica lineare più semplice che esista in qualsiasi dimensione. I tetraedri e i triangoli ne sono esempi rispettivamente in 3 e 2 dimensioni.
↑ La formula per il coefficiente binomiale è solitamente espressa come $\frac{n!}{x! (n - x)!}$ , dove $n - x = y$ .

Collegamenti esterni

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[Staib1978-1] J. Staib e L. Staib, The Pascal Pyramid, in The Mathematics Teacher, vol. 71, n. 6, 1978, pp. 505–510, DOI:10.5951/MT.71.6.0505, JSTOR 27961325.

[2] Jean Pedersen, Peter Hilton e Derek Holton, Mathematical vistas : from a room with many windows, =New York, NY [u.a.], Springer, 2002, ISBN 978-0387950648.

[3] (EN) Successione {{{1}}}, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

[4] Un simplesso è la forma geometrica lineare più semplice che esista in qualsiasi dimensione. I tetraedri e i triangoli ne sono esempi rispettivamente in 3 e 2 dimensioni.

[5] La formula per il coefficiente binomiale è solitamente espressa come $\frac{n!}{x! (n - x)!}$ , dove $n - x = y$ .