Copenaghen
Incomincia a giocare a calcio nel 1993, all'età di 2 anni, nel Kjøbenhavns Boldklub, club in cui viene nominato per quattro volte giocatore dell'anno. Dopo dieci stagioni, nel 2009 viene notato e acquistato dai dirigenti del Copenhagen. Il 16 aprile 2009 debutta ufficialmente con la maglia della prima squadra, nella semifinale di coppa danese vinta poi dal Copenhagen per 4-0 contro il Nordvest giocando 25' minuti di qualità che gli valgono la conferma per la semifinale di ritorno dove partirà titolare. Al termine della stagione, a soli 17 anni, vince il suo primo trofeo da professionista la DBU Landspokal.
Alla sua seconda apparizione da titolare, il 22 luglio 2009, segna il suo primo gol in carriera nella partita vinta contro il Mogren Budva, gara valida per le qualificazioni alla Champions League 2009-10. Durante questa stagione debutterà anche in Campionato ed in Europa League. Nella stagione seguente realizza ben 16 presenze in campionato, segnandovi il suo primo gol il 16 maggio 2011. Debutterà anche nella fase a gironi della Champions League, giocando contro Barcellona e Panathinaikos. Stagione che si conclude con il secondo titolo nazionale consecutivo.
Il 2011 sarà l'anno della consacrazione, ben 27 presenze da titolare tra campionato e coppa che lo porteranno ad essere conteso dalle tre nazionali per le quali sarebbe stato eleggibile: Danimarca, Irlanda e Stati Uniti. Dopo aver rifiutato la chiamata per l'Under-23 statunitense e quella per la nazionale maggiore irlandese opta per continuare tra i ranghi danesi, nazionale per la quale ha ricoperto un ruolo importante fin dall'Under-15. Concluderà l'anno vincendo per la seconda volta la DBU Landspokal.
La stagione 2012-13 sarà quella della conferma. Nelle gare valide alla qualificazione per la Champions League i danesi vengono sorteggiati con il Lilla di Rudi Garcia. Dopo una convincente vittoria per 1-0 all'andata, vengono sconfitti ai tempi supplementari in Francia. Al termine della stagione Delaney avrà collezionato 32 presenze tra Campionato e Coppe e la vittoria del titolo nazionale.
All'inizio della stagione 2013-14 viene nominato vice capitano della squadra, a soli 22 anni. In questa stagione debutta anche in Nazionale maggiore e gioca da protagonista alcune gare di Champions League, come ad esempio quella pareggiata 1-1 con la Juventus e quella vinta per 1-0 contro i turchi del Galatasaray.
Siviglia e prestiti all'Hoffenheim e all'Anderlecht
Il 25 agosto 2021 viene acquistato dal Siviglia.
Tuttavia in terra spagnola in trova poco spazio, ragion per cui il 30 gennaio 2023 viene ceduto in prestito all'Hoffenheim. Il 25 maggio seguente il club tedesco annuncia che non riscatterà il giocatore.
Il 22 agosto 2023 viene ceduto in prestito all'Anderlecht.
A fine prestito fa ritorno al Siviglia, rescindendo il contratto che lo lega al club iberico il 19 luglio 2024.
Danimarca
Copenaghen
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