Forma kwadratowa

Zmiana bazy i równoważność

Jeżeli stare i nowe współrzędne są związane zależnością ${\displaystyle x=Cy}$, gdzie ${\displaystyle C}$ jest odwracalna, to

${\displaystyle Q(Cy)=y^{\mathsf {T}}(C^{\mathsf {T}}AC)y.}$

Macierz formy w nowej bazie jest zatem równa

${\displaystyle A'=C^{\mathsf {T}}AC.}$

Takie macierze nazywa się przystającymi lub kongruentnymi. Dwie formy są równoważne nad ciałem ${\displaystyle K}$, gdy jedna przechodzi w drugą przez odwracalną liniową zmianę zmiennych o współczynnikach w ${\displaystyle K}$.

Kongruencja nie jest tym samym co podobieństwo macierzy, wyrażane wzorem ${\displaystyle A'=C^{-1}AC}$. Pierwsza opisuje zmianę bazy formy dwuliniowej, druga – operatora liniowego. W szczególności dowolna zmiana bazy formy nie musi zachowywać jej wartości własnych.

Rząd, radykał i nieosobliwość

Rzędem formy jest rząd jej macierzy; nie zależy on od wyboru bazy. Radykałem nazywa się podprzestrzeń

${\displaystyle \operatorname {rad} Q=\{v\in V:\ \forall w\in V\quad B_{Q}(v,w)=0\}.}$

W przedstawieniu macierzowym radykał odpowiada jądru ${\displaystyle A}$. Forma jest nieosobliwa lub niezdegenerowana, gdy jej radykał jest zerowy, czyli gdy ${\displaystyle \det A\neq 0}$.

Wyznacznik macierzy zależy od bazy, ale przekształca się według wzoru

${\displaystyle \det(C^{\mathsf {T}}AC)=(\det C)^{2}\det A.}$

Dlatego dla formy nieosobliwej niezmiennikiem jest klasa ${\displaystyle \det A}$ w grupie ${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$. Nazywa się ją wyznacznikiem formy; w części literatury także jej wyróżnikiem. Inna konwencja definiuje wyróżnik z dodatkowym czynnikiem ${\displaystyle (-1)^{n(n-1)/2}}$.

Prawo bezwładności Sylvestera

 Osobny artykuł: Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych.

Każda forma kwadratowa na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest równoważna formie

${\displaystyle y_{1}^{2}+\cdots +y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots -y_{p+q}^{2},}$

niezależnej od pozostałych ${\displaystyle r=n-p-q}$ współrzędnych. Liczby ${\displaystyle p,q,r}$ są jednoznacznie wyznaczone przez formę. Jest to prawo bezwładności Sylvestera.

Liczby ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ to dodatni i ujemny indeks bezwładności, a ${\displaystyle r}$ jest wymiarem radykału. Można je obliczyć jako liczby dodatnich, ujemnych i zerowych wartości własnych dowolnej macierzy symetrycznej przedstawiającej formę. Rząd formy wynosi ${\displaystyle p+q}$. Termin sygnatura bywa używany dla pary ${\displaystyle (p,q)}$ albo dla różnicy ${\displaystyle p-q}$; konwencję należy określić. Przy ustalonym wymiarze para ${\displaystyle (p,q)}$ rozstrzyga o równoważności form rzeczywistych.

Określoność

 Osobny artykuł: Określoność formy.

Dla rzeczywistej formy kwadratowej wyróżnia się następujące własności:

Własność	Warunek	Wartości własne macierzy symetrycznej
Dodatnia określoność	${\displaystyle Q(x)>0}$ dla każdego ${\displaystyle x\neq 0}$	Wszystkie dodatnie
Ujemna określoność	${\displaystyle Q(x)<0}$ dla każdego ${\displaystyle x\neq 0}$	Wszystkie ujemne
Dodatnia półokreśloność	${\displaystyle Q(x)\geq 0}$ dla każdego ${\displaystyle x}$	Wszystkie nieujemne
Ujemna półokreśloność	${\displaystyle Q(x)\leq 0}$ dla każdego ${\displaystyle x}$	Wszystkie niedodatnie
Nieokreśloność	Forma przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne	Co najmniej jedna dodatnia i co najmniej jedna ujemna

W tej konwencji dodatnia określoność pociąga dodatnią półokreśloność; analogicznie dla znaków ujemnych. Forma zerowa jest jednocześnie dodatnio i ujemnie półokreślona.

Kryteria macierzowe

 Osobny artykuł: Kryterium Sylvestera.

Niech ${\displaystyle \Delta _{k}}$ oznacza wyznacznik lewego górnego bloku ${\displaystyle k\times k}$ macierzy symetrycznej ${\displaystyle A}$. Kryterium Sylvestera stwierdza, że forma jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \Delta _{1}>0,\ldots ,\Delta _{n}>0.}$

Ujemna określoność jest równoważna warunkom ${\displaystyle (-1)^{k}\Delta _{k}>0}$ dla wszystkich ${\displaystyle k}$.

Dodatnia półokreśloność jest natomiast równoważna nieujemności wszystkich minorów głównych, czyli wyznaczników podmacierzy otrzymanych przez wybranie tego samego zbioru indeksów wierszy i kolumn. Sama nieujemność minorów ${\displaystyle \Delta _{k}}$ nie wystarcza: macierz ${\displaystyle \operatorname {diag} (0,-1)}$ ma oba takie minory równe zeru, lecz określa formę ${\displaystyle -x_{2}^{2}}$.

Dodatnio określona macierz symetryczna ma również rozkład Choleskiego ${\displaystyle A=LL^{\mathsf {T}}}$, gdzie ${\displaystyle L}$ jest odwracalna i dolnotrójkątna. Wówczas

${\displaystyle Q(x)=\|L^{\mathsf {T}}x\|_{2}^{2}.}$

Rozkład ten jest wykorzystywany w obliczeniach numerycznych.

Liczby zespolone

Nad ${\displaystyle \mathbb {C} }$ każda forma kwadratowa rzędu ${\displaystyle r}$ jest równoważna

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2}.}$

Wynika to z diagonalizacji i istnienia pierwiastka kwadratowego z każdej niezerowej liczby zespolonej. Przy ustalonym wymiarze formy zespolone są więc klasyfikowane przez rząd, bez analogicznego do rzeczywistego podziału na dodatnie i ujemne składniki.

Nie należy mylić zespolonej formy kwadratowej ${\displaystyle Q(z)=z^{\mathsf {T}}Az}$ z wyrażeniem ${\displaystyle h(z)=z^{*}Hz}$ pochodzącym od formy hermitowskiej, gdzie ${\displaystyle H^{*}=H}$. Zachodzi bowiem ${\displaystyle Q(az)=a^{2}Q(z)}$, ale ${\displaystyle h(az)=|a|^{2}h(z)}$. Funkcja ${\displaystyle h}$ przyjmuje wartości rzeczywiste i może być dodatnio określona. Na przykład ${\displaystyle \sum _{i}|z_{i}|^{2}}$ jest kwadratem normy pochodzącej od standardowego hermitowskiego iloczynu skalarnego. Nie jest zespoloną formą kwadratową w opisanym tu znaczeniu, lecz jest formą kwadratową na odpowiedniej rzeczywistej przestrzeni liniowej.

Ciała skończone

Nad ciałem skończonym ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ o nieparzystej liczbie elementów dwie nieosobliwe formy są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar i tę samą klasę wyznacznika modulo kwadraty. W każdym dodatnim wymiarze są dokładnie dwie klasy takich form. Jeśli ${\displaystyle d\in \mathbb {F} _{q}^{\times }}$ nie jest kwadratem, można je reprezentować przez

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$

oraz

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}+dx_{n}^{2}.}$

Każda nieosobliwa forma w co najmniej dwóch zmiennych jest uniwersalna, czyli przyjmuje wszystkie wartości z ciała. Każda forma w co najmniej trzech zmiennych jest izotropowa.

Geometria analityczna

Równania postaci

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c=0}$

opisują krzywe i powierzchnie drugiego stopnia, w tym stożkowe i kwadryki. Diagonalizacja części kwadratowej usuwa wyrazy mieszane i umożliwia wyznaczenie kierunków osi głównych. Jeżeli rzeczywista macierz symetryczna ${\displaystyle A}$ jest dodatnio określona, zbiór

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ax=1}$

jest elipsoidą o półosiach długości ${\displaystyle 1/{\sqrt {\lambda _{i}}}}$, gdzie ${\displaystyle \lambda _{i}}$ są wartościami własnymi ${\displaystyle A}$. Równanie ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$ opisuje natomiast stożek i ilustruje geometryczne znaczenie wektorów izotropowych.

Analiza matematyczna i ekstrema

Drugiej różniczce funkcji rzeczywistej klasy ${\displaystyle C^{2}}$ w ustalonym punkcie odpowiada forma kwadratowa:

${\displaystyle Q_{x_{0}}(h)=h^{\mathsf {T}}H_{f}(x_{0})h,}$

gdzie ${\displaystyle H_{f}(x_{0})}$ oznacza hesjan. We wzorze Taylora

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+\nabla f(x_{0})^{\mathsf {T}}h+{\frac {1}{2}}h^{\mathsf {T}}H_{f}(x_{0})h+o(\|h\|^{2})}$

forma ta opisuje człon drugiego rzędu.

Jeżeli ${\displaystyle \nabla f(x_{0})=0}$, dodatnia określoność hesjanu gwarantuje ścisłe minimum lokalne, ujemna – ścisłe maksimum, a nieokreśloność – punkt siodłowy. Sama półokreśloność nie rozstrzyga rodzaju punktu krytycznego: na przykład funkcje ${\displaystyle x^{4}}$ i ${\displaystyle -x^{4}}$ mają w zerze tę samą zerową drugą pochodną, lecz różne rodzaje ekstremów.

Optymalizacja i metoda najmniejszych kwadratów

W programowaniu kwadratowym minimalizuje się funkcję

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c}$

przy ograniczeniach liniowych. Dla symetrycznej macierzy ${\displaystyle A}$ funkcja ta jest wypukła dokładnie wtedy, gdy ${\displaystyle A}$ jest dodatnio półokreślona.

W metodzie najmniejszych kwadratów funkcja celu ma postać

${\displaystyle \|Mx-y\|_{2}^{2}=x^{\mathsf {T}}M^{\mathsf {T}}Mx-2y^{\mathsf {T}}Mx+y^{\mathsf {T}}y.}$

Jej część kwadratowa ma macierz ${\displaystyle M^{\mathsf {T}}M}$, zawsze dodatnio półokreśloną, a dodatnio określoną wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny ${\displaystyle M}$ są liniowo niezależne.

Statystyka i analiza ryzyka

Jeżeli wektor losowy ${\displaystyle X}$ ma skończone drugie momenty i macierz kowariancji ${\displaystyle \Sigma }$, to

${\displaystyle \operatorname {Var} (a^{\mathsf {T}}X)=a^{\mathsf {T}}\Sigma a.}$

Wariancja jest więc dodatnio półokreśloną formą kwadratową względem współczynników ${\displaystyle a}$. W teorii portfela Markowitza ten sam wzór opisuje wariancję stopy zwrotu portfela jako funkcję jego wag.

Przy dodatnio określonej macierzy ${\displaystyle \Sigma }$ wyrażenie

${\displaystyle (x-\mu )^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-1}(x-\mu )}$

jest kwadratem odległości Mahalanobisa. Jest formą kwadratową względem odchylenia ${\displaystyle x-\mu }$, choć na ogół nie względem samego ${\displaystyle x}$. Dla ${\displaystyle X\sim N_{n}(\mu ,\Sigma )}$ zachodzi

${\displaystyle (X-\mu )^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-1}(X-\mu )\sim \chi _{n}^{2}.}$

Formy kwadratowe pojawiają się również w rozkładach wariancji z próby i sum kwadratów reszt, co stanowi podstawę wielu testów statystycznych.

Iloczyny skalarne i normy

Każda dodatnio określona rzeczywista forma kwadratowa wyznacza iloczyn skalarny ${\displaystyle \langle u,v\rangle =B_{Q}(u,v)}$ i normę

${\displaystyle \|v\|_{Q}={\sqrt {Q(v)}}.}$

Kwadratem normy jest zatem ${\displaystyle Q}$, nie sama norma.

Odwrotny związek opisuje twierdzenie Jordana–von Neumanna: norma na rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni liniowej pochodzi od iloczynu skalarnego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia regułę równoległoboku. Charakteryzacja ta obowiązuje również w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych i nie wymaga zupełności; przestrzenią Hilberta otrzymana przestrzeń staje się dopiero wtedy, gdy jest zupełna. W przypadku zespolonym odzyskany iloczyn jest hermitowski, a nie zespolenie dwuliniowy.

Geometria różniczkowa i teoria względności

Na rozmaitości riemannowskiej każdej przestrzeni stycznej ${\displaystyle T_{p}M}$ przypisuje się dodatnio określoną symetryczną formę dwuliniową ${\displaystyle g_{p}}$, zależną gładko od punktu ${\displaystyle p}$. Odpowiadająca jej forma kwadratowa

${\displaystyle Q_{p}(v)=g_{p}(v,v)}$

określa kwadrat długości wektora stycznego. Lokalnie zapisuje się ją jako

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}(x)\,dx^{i}dx^{j}.}$

Nie chodzi tu o pojedynczą formę tworzącą rozmaitość, lecz o gładko zmieniającą się rodzinę form na jej przestrzeniach stycznych.

W geometrii pseudoriemannowskiej formy są nieosobliwe, ale nie muszą być dodatnio określone. Przykładem jest interwał czasoprzestrzeni Minkowskiego

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.}$

Jego izotropowe kierunki odpowiadają kierunkom świetlnym. Taka forma nie jest kwadratem normy ani odległości w zwykłym sensie metrycznym.

Mechanika

Energia kinetyczna obrotu bryły sztywnej ma postać

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\omega ^{\mathsf {T}}I\omega ,}$

gdzie ${\displaystyle \omega }$ jest wektorem prędkości kątowej, a ${\displaystyle I}$ – macierzą tensora bezwładności. Jej diagonalizacja wyznacza główne osie i główne momenty bezwładności.

W liniowym przybliżeniu drgań wokół położenia równowagi energia kinetyczna i potencjalna są formami

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\mathsf {T}}M{\dot {q}},\qquad V={\frac {1}{2}}q^{\mathsf {T}}Kq.}$

Przy dodatnio określonej macierzy mas ${\displaystyle M}$ i symetrycznej macierzy sztywności ${\displaystyle K}$ częstości drgań wyznacza uogólniony problem własny

${\displaystyle Kv=\omega ^{2}Mv.}$

Dodatnia określoność ${\displaystyle K}$ zapewnia dodatnie kwadraty częstości i oscylacyjny charakter ruchu w tym przybliżeniu.

Teoria liczb

W arytmetycznej teorii form kwadratowych bada się między innymi, jakie liczby całkowite są reprezentowane przez daną formę, czyli kiedy równanie

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=m}$

ma rozwiązanie całkowite. Równoważność nad ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dopuszcza tylko zmiany zmiennych o macierzy całkowitej z wyznacznikiem ${\displaystyle \pm 1}$, jest więc silniejszym wymaganiem niż równoważność nad ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ lub ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Dla całkowitej formy binarnej ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ klasycznym wyróżnikiem jest liczba ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$. Dla ustalonego ${\displaystyle D<0}$ spełniającego ${\displaystyle D\equiv 0,1{\pmod {4}}}$ klasy pierwotnych dodatnio określonych form binarnych o wyróżniku ${\displaystyle D}$, rozpatrywane względem zmian zmiennych z grupy ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$, tworzą grupę z działaniem opisanym przez prawo składania Gaussa. Pierwotność oznacza, że współczynniki formy są względnie pierwsze. Konstrukcja ta wiąże formy kwadratowe z grupami klas ideałów porządków kwadratowych.

Dla form o współczynnikach wymiernych twierdzenie Hassego–Minkowskiego daje zasadę lokalno-globalną: równanie ${\displaystyle Q(x)=0}$ ma niezerowe rozwiązanie wymierne wtedy i tylko wtedy, gdy ma niezerowe rozwiązanie rzeczywiste i niezerowe rozwiązanie w każdym ciele liczb ${\displaystyle p}$-adycznych ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Nie jest to ogólna zasada istnienia rozwiązań całkowitych.

Dodatnio określone formy całkowite prowadzą ponadto do szeregów theta

${\displaystyle \theta _{Q}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi iQ(m)z},\qquad \operatorname {Im} z>0.}$

Współczynniki tych szeregów zliczają reprezentacje liczb przez ${\displaystyle Q}$. Ich własności modularne łączą teorię form kwadratowych z formami modularnymi.