Asymptota

Poziome i ukośne

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej ${\displaystyle y=ax+b}$ dla krzywej danej w postaci ${\displaystyle y=f(x)}$ można wyznaczyć jako granice:

• w przypadku asymptoty prawostronnej:

${\displaystyle a=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}}$

oraz

${\displaystyle b=\lim _{x\to +\infty }(f(x)-ax)}$

• w przypadku asymptoty lewostronnej:

${\displaystyle a=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}}$

oraz

${\displaystyle b=\lim _{x\to -\infty }(f(x)-ax)}$

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających ${\displaystyle a}$ lub ${\displaystyle b}$ nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli ${\displaystyle a=0,}$ to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.

Pionowe

Jeśli krzywa dana jest w postaci ${\displaystyle y=f(x),}$ gdzie ${\displaystyle f}$ jest funkcją, to ma ona w punkcie ${\displaystyle x=a}$ asymptotę pionową, jeśli istnieje granica niewłaściwa:

• ${\displaystyle \lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty }$ (asymptota lewostronna)
• ${\displaystyle \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty }$ (asymptota prawostronna)
• ${\displaystyle \lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty \wedge \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty }$ (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa ${\displaystyle +\infty }$ a druga ${\displaystyle -\infty }$)

Przykłady funkcji z asymptotą pionową to tangens ${\displaystyle (y=\operatorname {tg} x)}$ i kotangens ${\displaystyle (y=\operatorname {ctg} x).}$ Obie mają nieskończenie wiele asymptot pionowych i każda z tych asymptot jest obustronna.

tangensoida – wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {tg} x}$

kotangensoida – wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} x}$