Epicykloida

Epicykloida – krzywa, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu na zewnątrz innego, nieruchomego okręgu. Epicykloida jest szczególnym przypadkiem epitrochoidy.

Kształt epicykloidy zależy od stosunku ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}}$ promieni okręgów, nieruchomego do toczącego się. Gdy promienie są równe otrzymuje się krzywą sercową, z grecka zwaną kardioidą (sercowata od gr. καρδιά – serce).

Współrzędne

Epicykloidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:

${\displaystyle x=(R+r)\cos(t)-r\cos \left({\frac {R+r}{r}}t\right),}$

${\displaystyle y=(R+r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R+r}{r}}t\right).}$

Przykłady

Poniższe rysunki pokazują kilka epicykloid dla różnych wartości ilorazów ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}.}$

• powstawanie kardioidy i kardioida statycznie:

• epicykloida ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}=2}$ zwana też nefroidą – powstawanie i krzywa statycznie:

• epicykloida ${\displaystyle {\frac {R}{r}}=3}$ – powstawanie i krzywa statycznie:

Jeżeli stosunek ${\displaystyle {\frac {R}{r}}}$ jest liczbą niewymierną, otrzymuje się krzywą otwartą. Kolejne przybliżenia takiej sytuacji pokazują poniższe rysunki:

Zobacz też

Krzywe

• cykloida
• epitrochoida
• hipocykloida

Inne

• epicentrum

Przypisy

Linki zewnętrzne

O epicykloidach ogółem:

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid Evolute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid Involute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid Pedal Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid Radial Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Epicycloid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].
• Epicycloid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].

O nefroidach:

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nephroid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nephroid Evolute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nephroid Involute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Nephroid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].