Cykloida

Długość jednego przęsła cykloidy (${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 2\pi }$) wyraża się wzorem:

${\displaystyle S=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt}$

Dla parametryzacji:

${\displaystyle x=r(t-\sin t)}$

${\displaystyle y=r(1-\cos t)}$

otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=r\sin t}$

stąd:

${\displaystyle S=r\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(1-\cos t)^{2}+\sin ^{2}t}}\,dt}$

${\displaystyle =r\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt}$

${\displaystyle =2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt=8r}$

Pole jednego przęsła (dla ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 2\pi }$) liczymy ze wzoru:

${\displaystyle A=\int y\,dx}$

Ponieważ krzywa jest zadana parametrycznie, mamy:

${\displaystyle dx={\frac {dx}{dt}}\,dt}$

Obliczamy pochodną:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)}$

Podstawiając do całki:

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }y(t){\frac {dx}{dt}}\,dt}$

otrzymujemy:

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }r(1-\cos t)\,r(1-\cos t)\,dt}$

czyli:

${\displaystyle A=r^{2}\int _{0}^{2\pi }(1-\cos t)^{2}\,dt}$

Rozwijamy kwadrat:

${\displaystyle (1-\cos t)^{2}=1-2\cos t+\cos ^{2}t}$

oraz korzystamy z tożsamości:

${\displaystyle \cos ^{2}t={\frac {1+\cos 2t}{2}}}$

Stąd:

${\displaystyle A=r^{2}\int _{0}^{2\pi }\left(1-2\cos t+{\frac {1+\cos 2t}{2}}\right)dt}$

Całki z ${\displaystyle \cos t}$ i ${\displaystyle \cos 2t}$ po pełnym okresie znikają:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos t\,dt=0,\qquad \int _{0}^{2\pi }\cos 2t\,dt=0}$

pozostaje więc:

${\displaystyle A=r^{2}\int _{0}^{2\pi }{\frac {3}{2}}\,dt=r^{2}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot 2\pi =3\pi r^{2}}$, cnd.