Lok Agnesi

Lok Agnesi, wersjera, czarownica Agnesi – krzywa płaska definiowana na różne sposoby, m.in. przez konstrukcję:

1. Wykreśl okrąg o środku w punkcie ${\displaystyle (0,a)}$ i o promieniu ${\displaystyle a>0.}$
2. Z początku układu współrzędnych poprowadź prostą przecinającą w punkcie ${\displaystyle A}$ ten okrąg.
3. Znajdź punkt przecięcia ${\displaystyle B}$ tej prostej z prostą o równaniu ${\displaystyle y=2a.}$
4. Znajdź punkt przecięcia prostej pionowej przechodzącej przez ${\displaystyle B}$ i prostej poziomej przechodzącej przez ${\displaystyle A.}$
5. Otrzymany punkt ${\displaystyle P}$ leży na krzywej zwanej wersjerą.

Wzory

Niech ${\displaystyle t}$ oznacza miarę kąta między osią pionową a prostą przechodzącą przez punkty ${\displaystyle (0,0),}$ ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ Wtedy krzywą opisuje równanie:

${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

lub parametrycznie

${\displaystyle \alpha (t)=(2a\operatorname {tg} t,2a\cos ^{2}t).}$

Wykres ma asymptotę o równaniu

${\displaystyle y=0,}$

maksimum w punkcie:

${\displaystyle (0,2a),}$

promień krzywizny w tym punkcie wynosi

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}.}$

Pole powierzchni ograniczonej wykresem i asymptotą krzywej jest równe

${\displaystyle S=4\pi a^{2}.}$

Nazwy

Krzywą tę badał Guido Grandi, nazywając ją po włosku versorio – „mający możliwość ruchu w dowolnym kierunku”. Nazwa czarownica Agnesi może być skutkiem błędnego tłumaczenia – w połowie XVIII wieku Maria Agnesi błędnie myślała, że Grandi używał włoskiego słowa versiera, oznaczającego „żona diabła” lub „czarownica”.

Uogólnienia

Wersjera jest szczególnym przypadkiem krzywej Breita-Wignera, opisywanej równaniem^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle y={\frac {a}{b^{2}+(x-c)^{2}}}}$ dla ${\displaystyle a>0.}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Witch of Agnesi, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-19].
• Witch of Agnesi (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
• Witch of Agnesi (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].