Grupa Hopfa

Grupa Hopfa – grupa, która nie jest izomorficzna ze swoją grupą ilorazową przez nietrywialną podgrupę normalną. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Hopfa.

Definicja

Grupę $G$ nazywamy grupą Hopfa, jeżeli każdy epiendomorfizm w $G$ jest automorfizmem.

Grupa $G$ nie jest grupą Hopfa (non-Hopfian group), jeżeli istnieje taki epiendomorfizm w $G,$ który nie jest automorfizmem (posiada nietrywialne jądro $N$ ).

Niech $G$ będzie dowolną grupą oraz $H$ jej nietrywialną podgrupą. Jeżeli $G ≃ G / H,$ to grupa $G$ nie jest grupą Hopfa.

Przykłady

Każda skończona grupa jest grupą Hopfa.
Skończenie generowana rezydualnie skończona grupa jest grupą Hopfa.
Skończona wolna polinilpotentna grupa jest grupą Hopfa.
Grupa wolna skończenie generowana jest grupą Hopfa.
Grupa wolna nieskończenie generowana nie jest grupą Hopfa.
$ℂ_{p^{\infty}} ≃ ℂ_{p^{\infty}} / ℂ_{p},$ gdzie $ℂ_{p}$ jest grupą pierwiastków z jedynki stopnia $p$ będącego liczbą pierwszą.
$C^{*} / {1, - 1} ≃ C^{*} .$

Zobacz też

grupa ilorazowa

Bibliografia

Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.
A. Karras, W. Magnus, D. Solitar, Combinatorial group theory, John Wiley & Sons, 1966.
H. Neumann, Varieties of groups, Springer-Verlag, New York, 1967.

Linki zewnętrzne

Hopf group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].