Podgrupa normalna

Warunki równoważne

Niech ${\displaystyle N}$ będzie podgrupą grupy ${\displaystyle G.}$ Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) ${\displaystyle N}$ jest podgrupą normalną,

(ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych ${\displaystyle N}$ w ${\displaystyle G}$ są równe, czyli ${\displaystyle G/N=G\backslash N,}$

(iii) relacja równoważności ${\displaystyle \sim }$ na zbiorze ${\displaystyle G}$ określona wzorem

${\displaystyle a\sim b{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{\iff }}ab^{-1}\in N}$

jest zgodna z działaniem w grupie ${\displaystyle G,}$ czyli dla wszystkich ${\displaystyle a,b,c,d\in G}$

${\displaystyle (a\sim b)\land (c\sim d)\Rightarrow (ac)\sim (bd),}$

(iii’) relacja równoważności ${\displaystyle \backsim }$ na zbiorze ${\displaystyle G}$ określona wzorem

${\displaystyle a\backsim b{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{\iff }}a^{-1}b\in N}$

jest zgodna z działaniem w grupie ${\displaystyle G,}$ czyli dla wszystkich ${\displaystyle a,b,c,d\in G}$

${\displaystyle (a\backsim b)\land (c\backsim d)\Rightarrow (ac)\backsim (bd),}$

(iv) dla każdego ${\displaystyle g\in G}$ zachodzi ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N,}$

(iv’) dla każdego ${\displaystyle g\in G}$ zachodzi ${\displaystyle g^{-1}Ng\subseteq N,}$

(v) dla każdego ${\displaystyle g\in G}$ zachodzi ${\displaystyle gNg^{-1}=N,}$

(v’) dla każdego ${\displaystyle g\in G}$ zachodzi ${\displaystyle g^{-1}Ng=N,}$

(vi-vi’) grupa ${\displaystyle N}$ jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, czyli

${\displaystyle \varphi (N)=N}$ dla ${\displaystyle \varphi (n)=gng^{-1}}$ dla dowolnego ${\displaystyle g\in G}$

lub

${\displaystyle \psi (N)=N}$ dla ${\displaystyle \psi (n)=g^{-1}ng}$ dla dowolnego ${\displaystyle g\in G,}$

(vii) ${\displaystyle N}$ jest sumą klas sprzężoności ${\displaystyle G,}$

(viii) istnieje pewien homomorfizm określony na ${\displaystyle G,}$ którego jądrem jest ${\displaystyle N.}$

Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.

Niektórzy autorzy używają oznaczenia ${\displaystyle \operatorname {NSub} \;G}$ dla rodziny wszystkich podgrup normalnych grupy ${\displaystyle G}$ (od ang. Normal Subgroup).

Uwagi

Podgrupy trywialne grupy ${\displaystyle G,}$ czyli zawarte w niej grupa trywialna oraz cała grupa ${\displaystyle G,}$ są w niej normalne – nazywa się je trywialnymi podgrupami normalnymi. Nietrywialne podgrupy normalne grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się właściwymi podgrupami normalnymi i oznacza czasem za pomocą symbolu ${\displaystyle \vartriangleleft .}$ Grupa, która nie ma właściwych podgrup normalnych nazywa się grupą prostą.

Podgrupy normalne są niezmiennicze ze względu na działanie całej grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne. Podgrupy niezmiennicze ze względu na wszystkie automorfizmy nazywa się podgrupami charakterystycznymi.

Struktura kraty w rodzinie podgrup normalnych

 Zobacz też: twierdzenie o odpowiedniości.

Podgrupy normalne w ${\displaystyle G}$ tworzą kratę ze względu na zawieranie zbiorów o elemencie najmniejszym ${\displaystyle \{e\}}$ i największym ${\displaystyle G.}$ Dla danych dwóch podgrup normalnych ${\displaystyle M,N}$ ich infimum określone jest jako ich przekrój (zawsze jest podgrupą):

${\displaystyle N\wedge M:=N\cap M,}$

a supremum dane jest jako grupa generowana przez te podgrupy (również zawsze jest podgrupą):

${\displaystyle N\vee M:=\langle N,M\rangle$ ;}

w przypadku grup przemiennych ${\displaystyle \langle N,M\rangle }$ jest równe iloczynowi kompleksowemu ${\displaystyle NM=\{nm\colon n\in N,m\in M\},}$ dlatego przyjmuje się wtedy zwykle po prostu ${\displaystyle N\vee M:=NM.}$