Dysjunkcja (Sheffera)

Nie mylić z: alternatywa (nierozłączna) (po ang. disjunction).

Nie mylić z: alternatywa rozłączna (po ang. exclusive disjunction).

Dysjunkcja, dyzjunkcja, dysjunkcja/dyzjunkcja Sheffera, funkcja Sheffera, funktor Sheffera, NAND, niewspółzachodzenie – zdanie lub funkcja zdaniowa utworzone za pomocą funktora dysjunkcji, jednego z dwuargumentowych funktorów zdaniotwórczych rachunku zdań. Pojęcie dysjunkcji wprowadził w roku 1913, amerykański logik Henry Sheffer.

W języku potocznym funktorowi temu odpowiada „nieprawda, że (jednocześnie): ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$” (ponieważ dysjunkcja jest negacją koniunkcji) lub „zachodzi najwyżej jedno z dwojga” (por. artykuł „Funktory klasycznego rachunku zdań (KRZ) a język naturalny”).

Symbolem funktora dysjunkcji jest przeważnie ukośna kreska / (tzw. kreska Sheffera).

Uwaga: W terminologii angielskiej dotyczącej logiki, angielskie słowo disjunction oznacza w istocie polską alternatywę (nierozłączną), nie zaś polską dysjunkcję (opisywaną w niniejszym artykule). Tym, co stanowi angielski odpowiednik dla polskiej dysjunkcji (Sheffera), jest natomiast angielskie sformułowanie: alternative denial.

Wartość logiczna

Zdanie utworzone za pomocą spójnika dysjunkcji jest fałszywe tylko wtedy, gdy prawdziwe są oba argumenty tego spójnika; w przeciwnym wypadku jest zawsze zdaniem prawdziwym.

Tablica prawdy dla dysjunkcji

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p/q}$
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

gdzie: ${\displaystyle 1}$ – zdanie prawdziwe; ${\displaystyle 0}$ – fałszywe

Wybrane własności

Funktor dysjunkcji posiada pewne własności interesujące ze względu na ekonomię zapisu: prócz binegacji jest jedynym funktorem, za pomocą którego można zdefiniować wszystkie inne; ponadto jest jedynym funktorem jedynego aksjomatu dysjunkcyjnego rachunku zdań.

Twierdzenie, że za pomocą funktora dysjunkcji zdefiniować można wszystkie pozostałe, pochodzi od logika Henry’ego Sheffera, który opublikował je w 1913 w artykule A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logical Constants. Wcześniej na ten pomysł wpadł Charles Peirce (artykuł A Boolian Algebra with One Constant z 1880), lecz nie został on opublikowany za jego życia (ukazał się dopiero w tomie 4. dzieł zebranych Peirce’a, wydawanych w latach 1931–1958). W 1925 Eustachy Żyliński udowodnił, że nie istnieje żaden inny niż binegacja i dysjunkcja funktor rachunku zdań, przy użyciu którego zdefiniować można wszystkie pozostałe.

Inne funktory logiczne definiowane są w sposób następujący:

${\displaystyle \neg p\iff p/p}$

${\displaystyle p\wedge q\iff \neg \neg (p\wedge q)\iff \neg (p/q)\iff (p/q)/(p/q)}$

${\displaystyle p\vee q\iff \neg \neg (p\vee q)\iff \neg ((\neg p)\wedge (\neg q))\iff \neg ((p/p)\wedge (q/q))\iff (p/p)/(q/q)}$

${\displaystyle p\to q\iff p/(q/q)\iff p/(p/q).}$

Funktor dysjunkcji stanowi jedyny termin pierwotny rachunku zdań w stylizacji zwanej dysjunkcyjnym rachunkiem zdań. Dysjunkcyjny rachunek zdań jest jedyną formą klasycznego rachunku zdań, w której występuje tylko jeden aksjomat. Jest nim aksjomat Nicoda-Łukasiewicza, sformułowany przez Jeana Nicoda (A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic, 1917), uproszczony przez Jana Łukasiewicza (Uwagi o aksjomacie Nicoda i o „definicji uogólniającej”, 1933).

Bramka logiczna

 Osobny artykuł: Bramka NAND.

Realizacją operacji NAND w elektronice jest bramka logiczna NAND. Oznaczana jest symbolem:

Zobacz też

• Alternatywa (nierozłączna)
• Alternatywa rozłączna
• Koniunkcja

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

Zobacz hasło NAND w Wikisłowniku

• Artykuł Nicoda A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic w Wikisource