Brahmagupta

Brahmagupta
Brahmagupta
ब्रह्मगुप्त
	Baixo-relevo moderno de Brahmagupta no parque Shaheedi, em Déli.
Conhecido(a) por	Regras de cálculo com o zero; sistema de numeração decimal; teorema de Brahmagupta; identidade de Brahmagupta; problema de Brahmagupta; identidade de Brahmagupta–Fibonacci; fórmula de Brahmagupta; fórmula de interpolação de Brahmagupta
Nascimento	c. 598; provavelmente Bhillamala, Gurjaradesha, reino da dinastia Chavda (atual Bhinmal, Rajastão, Índia)
Morte	após 665; possivelmente Ujaim (atual Madhya Pradesh, Índia)
Nacionalidade	indiana
Ocupação	matemático e astrônomo

Brahmagupta (c. 598 – após 665) foi um matemático e astrônomo indiano. É autor de uma das primeiras exposições conhecidas do zero como número e de regras para calcular com ele e com números negativos. Escreveu duas obras antigas sobre matemática e astronomia: o Brāhmasphuṭasiddhānta (BSS, "doutrina de Brahma corretamente estabelecida"), tratado teórico datado de 628, e o Khandakhadyaka ("porção comestível"), texto de caráter mais prático, datado de 665. Também apresentou uma formulação geral da fórmula quadrática para resolver a equação do segundo grau em sua obra principal.

Vida e carreira

Brahmagupta afirmou ter nascido em 598. Costuma-se situar seu nascimento em Bhillamāla, em Gurjaradesha, cidade que corresponde à atual Bhinmal, no Rajastão. Ela estava sob o domínio de Vyagrahamukha, da dinastia Chavda, embora uma biografia também mencione Ujaim como possível lugar de nascimento. Albiruni dá a seu pai o nome Jishnu, enquanto o catálogo de manuscritos de David Pingree e outra biografia o chamam Jishnugupta. Brahmagupta seguia o hinduísmo, mais precisamente o xivaísmo. Passou boa parte da vida em Bhillamala, e Prithudaka Svamin, que mais tarde comentou suas obras, chamou-o de Bhillamalacharya, "mestre de Bhillamala".

Capital de Gurjaradesha, Bhillamala ficava num reino que abrangia o sul do atual Rajastão e o norte do atual Guzerate. Era o segundo maior reino do oeste da Índia e tinha escolas de matemática e astronomia. Brahmagupta trabalhou na escola astronômica Brahmapaksha, uma das quatro principais escolas indianas daquele período. Estudou os cinco siddhantas tradicionais da astronomia indiana e obras de Ariabata, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin e Vishnuchandra.

Aos trinta anos, em 628, Brahmagupta compôs o Brāhmasphuṭasiddhānta, cujo título pode ser traduzido como "tratado aperfeiçoado de Brahma". A obra retoma o siddhanta da escola Brahmapaksha e reúne material matemático e astronômico em 1.008 versos escritos na métrica ārya. Costuma ser dividida em 24 capítulos, mas algumas edições contam 25 porque incluem um capítulo adicional de tabelas em verso. A astronomia ocupa boa parte do livro, ao lado de capítulos de álgebra, geometria, trigonometria e algoritmos, nos quais Brahmagupta apresenta regras e exemplos.

Brahmagupta mudou-se depois para Ujaim, em Avanti, onde dirigiu o observatório astronômico da cidade, então um centro de estudos dessa área na Índia central. Aos 67 anos, escreveu o Khaṇḍakhādyaka, manual prático de astronomia indiana destinado a estudantes e pertencente à categoria karaṇa.

Brahmagupta concluiu o Khaṇḍakhādyaka em 665, mas não se conhece a data de sua morte. Algumas cronologias a situam por volta de 670 e apontam Ujaim como o possível lugar em que morreu.

Obras

Brahmagupta compôs os seguintes tratados:

Brāhmasphuṭasiddhānta, composto em 628.
Khaṇḍakhādyaka, composto em 665.
Grahaṇārkajñāna, título registrado em um catálogo de manuscritos como possivelmente relacionado ao capítulo 5 do Brāhmasphuṭasiddhānta; sua identificação como obra independente é incerta.

Recepção

Na escola matemática de Ujaim, Bhaskara II deu continuidade aos cálculos de Brahmagupta e chamou-o de ganaka-chakra-chudamani, "joia do círculo dos matemáticos". Prithudaka Svamin escreveu comentários às duas obras, reformulando versos difíceis e acrescentando exemplos. Lalla comentou o Khaṇḍakhādyaka no século VIII e Bhattotpala fez o mesmo no século X. Novos comentários ainda eram escritos no século XII. Muito depois, em 1817, Henry Thomas Colebrooke publicou uma tradução inglesa das partes matemáticas de obras de Brahmagupta e Bhaskara II.

A conquista do Sinde pelo califado omíada, em 712, abriu caminho para contatos entre a astronomia indiana e o mundo de língua árabe. Albiruni conta que um estudioso da Índia, integrante de uma embaixada do Sinde, transmitiu cálculos astronômicos à corte do califa Almançor, que reinou de 754 a 775. Outro relato fala de um homem vindo da Índia, mas não menciona a embaixada. Nenhum deles dá o título de um livro que esse homem teria levado.

O califa Almançor encarregou Maomé Alfazari de elaborar em árabe o Kitāb al-Sindhind al-kabīr com base em métodos indianos. Fragmentos dessa obra permitem reconhecer material do Brāhmasphuṭasiddhānta, ao lado de material de outros tratados. Já a suposta tradução completa e independente do Khaṇḍakhādyaka sob o título Arakhand não tem a mesma confirmação documental. Alcuarismi, ativo por volta de 800 a 850, escreveu mais tarde seu próprio Sindhind, aproveitando a obra de al-Fazārī e elementos da astronomia de Ptolemeu. Textos astronômicos indianos circularam em árabe e chegaram também à literatura latina medieval.

Por volta de 825, Alcuarismi escreveu ainda um tratado de aritmética decimal indiana. Embora o texto árabe tenha se perdido, adaptações latinas do século XII difundiram no Ocidente o cálculo com os nove algarismos e o zero. O título árabe original não é conhecido com segurança, e não há base para atribuir diretamente a Brahmagupta todos os procedimentos encontrados nas versões latinas.

Ao avaliar a obra de Brahmagupta, o historiador da ciência George Sarton chamou-o de "um dos maiores cientistas de seu povo e o maior de sua época".

Matemática

Álgebra

Ao resolver uma equação linear no capítulo 18 do Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta trabalha com números conhecidos e uma incógnita. Ele chama os números conhecidos de rūpas e enuncia a regra com palavras:

A diferença entre os rūpas, depois de invertida e dividida pela diferença entre os [coeficientes] das [incógnitas], é a incógnita da equação. Os rūpas são [subtraídos do lado] abaixo daquele de que se devem subtrair o quadrado e a incógnita.

Na escrita algébrica atual, a regra resolve uma equação da forma $b x + c = d x + e$ , em que rūpas são os números $c$ e $e$ . Reunindo os termos com $x$ de um lado e os demais do outro, chega-se a $x = \frac{e - c}{b - d}$ , desde que $b \neq d$ .

Para uma equação do segundo grau, que contém o quadrado da incógnita, Brahmagupta enuncia duas regras equivalentes:

18.44. Da raiz quadrada dos rūpas multiplicados por quatro vezes o quadrado e aumentados do quadrado do termo médio, subtraia o termo médio; divida o restante por duas vezes o quadrado. [O resultado é] o termo médio.
18.45. Tome a raiz quadrada dos rūpas multiplicados pelo quadrado e aumentados do quadrado da metade da incógnita; subtraia dessa raiz a metade da incógnita e divida [o restante] pelo coeficiente do quadrado. [O resultado é] a incógnita.

Se a equação for escrita como $a x^{2} + b x = c$ , com $a \neq 0$ , as duas regras dão a mesma solução. Em símbolos atuais, elas ficam assim:

x = \frac{\sqrt{4 a c + b^{2}} - b}{2 a}

e

x = \frac{\sqrt{a c + \frac{b^{2}}{4}} - \frac{b}{2}}{a} .

Se houver outra raiz real, ela se obtém escolhendo o sinal negativo diante da raiz quadrada, possibilidade que as regras citadas não explicitam. As duas raízes podem coincidir ou ser diferentes, conforme o valor sob a raiz quadrada.

Para resolver equações indeterminadas com mais de uma incógnita, Brahmagupta recomendou isolar a variável procurada e dividir pelo coeficiente que a acompanha. Quando havia muitas incógnitas, recorria ao procedimento chamado "pulverizador":

18.51. Subtraia as cores diferentes da primeira cor. [O restante], dividido pelo [coeficiente] da primeira [cor], é a medida da primeira. Os [termos], tomados dois a dois, [são] considerados [depois de reduzidos a] divisores semelhantes, e assim por diante, repetidamente. Se houver muitas [cores], deve-se usar o pulverizador.

Na escrita algébrica de Brahmagupta, como na de Diofanto, números postos lado a lado indicavam uma soma. Um ponto acima do subtraendo indicava subtração, e o divisor colocado abaixo do dividendo indicava divisão, ainda sem uma barra de fração. Palavras abreviadas serviam para multiplicação, extração de raízes e incógnitas. Não se sabe se a escrita indiana recebeu alguma influência grega. É possível que as duas formas de abreviação tenham vindo de uma fonte babilônica comum.

Aritmética

Ao expor adição, subtração, multiplicação e divisão, Brahmagupta usava métodos baseados no sistema de numeração decimal de origem indiana. Essas operações já eram praticadas por muitos povos antes dele. Para explicar uma maneira de multiplicar, ele compara o número a ser multiplicado a uma corda repetida conforme as partes do multiplicador:

O multiplicando é repetido como uma corda para o gado, tantas vezes quantas forem as partes integrantes do multiplicador, e multiplicado sucessivamente por elas; os produtos são somados. Isso é a multiplicação. Ou o multiplicando é repetido tantas vezes quantas forem as partes que compõem o multiplicador.

Na Europa medieval, os métodos aritméticos vindos da Índia eram chamados de modus Indorum, "método dos indianos". No Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta expõe quatro modos de multiplicar, entre eles o gomūtrikā, próximo de métodos usados hoje. No capítulo 12, "Cálculo", passa às frações. Parte do princípio de que o leitor já sabe fazer as operações básicas e extrair raízes quadradas, mas ensina a encontrar o cubo e a raiz cúbica de um inteiro e dá regras para calcular quadrados e raízes quadradas com mais facilidade. Também apresenta cinco combinações de frações, desde uma soma com o mesmo denominador até expressões como $\frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ , $\frac{a}{c} \times \frac{b}{d}$ , $\frac{a}{1} + \frac{b}{d}$ , $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} \times \frac{a}{c} = \frac{a (d + b)}{c d}$ e $\frac{a}{c} - \frac{b}{d} \times \frac{a}{c} = \frac{a (d - b)}{c d}$ .

Quadrados e cubos

Para somar os quadrados ou os cubos dos primeiros $n$ números inteiros, Brahmagupta parte da soma desses números e dá a seguinte regra:

12.20. A soma dos quadrados é essa [soma] multiplicada por duas vezes o [número de] passo[s] acrescido de um e dividida por três. A soma dos cubos é o quadrado dessa [soma]. Pilhas com bolas iguais também [podem ser calculadas] assim.

Enquanto Brahmagupta parte da soma dos primeiros $n$ inteiros, a escrita mais comum hoje usa diretamente $n$ para indicar quantos termos são somados.

Com essa notação, os quadrados de 1 até $n$ somam $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ , enquanto os cubos de 1 até $n$ somam ${(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$ .

Zero

Embora o zero já servisse como marcador de posição na escrita de números, entre os babilônios e no manuscrito de Bakhshali, o Brāhmasphuṭasiddhānta dá regras para calcular com ele como um número por si só e também com números negativos. Brahmagupta compara quantidades positivas a bens e quantidades negativas a dívidas ao enunciar, no capítulo 18, as regras de adição e subtração:

18.30. [A soma] de dois positivos é positiva; a de dois negativos, negativa; a de um positivo e um negativo é a diferença entre eles; se forem iguais, é zero. A soma de um negativo e zero é negativa; a de um positivo e zero, positiva; e a de dois zeros, zero.
[...]
18.32. Um negativo menos zero é negativo; um positivo [menos zero] é positivo; zero [menos zero] é zero. Quando se subtrai um positivo de um negativo, ou um negativo de um positivo, deve-se somá-lo.

Para multiplicar, ele usa os mesmos sinais positivos e negativos:

18.33. O produto de um negativo por um positivo é negativo; de dois negativos, positivo; e de dois positivos, positivo. O produto de zero por um negativo, de zero por um positivo ou de dois zeros é zero.

Na divisão por zero, as regras enunciadas no tratado deixam de coincidir com as usadas na matemática atual:

18.34. Um positivo dividido por um positivo, ou um negativo por um negativo, é positivo; zero dividido por zero é zero; um positivo dividido por um negativo é negativo; um negativo dividido por um positivo [também] é negativo.
18.35. Um negativo ou positivo dividido por zero tem esse [zero] como divisor; o zero dividido por um negativo ou positivo [tem esse negativo ou positivo como divisor]. O quadrado de um negativo ou positivo é positivo; [o quadrado] de zero é zero. Aquilo cujo [quadrado] é o quadrado é sua raiz quadrada.

Brahmagupta toma $0 / 0 = 0$ e não fixa um resultado para $a / 0$ quando $a \neq 0$ . Hoje, nenhuma divisão por zero tem valor definido. Fora desse caso, grande parte de suas regras para números negativos e zero coincide com a aritmética ensinada atualmente.

Análise diofantina

Ao procurar valores inteiros que resolvam uma equação, Brahmagupta passa de problemas com lados de triângulos a relações entre quadrados de números, estudados na análise diofantina.

Ternos pitagóricos

No capítulo 12 do Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta conta uma viagem entre uma montanha e uma cidade para chegar a medidas que formam um terno pitagórico, ou seja, os três lados inteiros de um triângulo retângulo:

12.39. A altura de uma montanha multiplicada por um multiplicador dado é a distância até uma cidade; ela não se altera. Quando se divide essa distância pelo multiplicador acrescido de dois, obtém-se o salto de um dos dois viajantes que fazem o mesmo percurso.

Um dos viajantes sobe verticalmente $d$ a partir do topo de uma montanha de altura $m$ e segue em linha reta até uma cidade situada a $m x$ da base. O outro desce a montanha e vai pela horizontal. Os dois caminhos têm o mesmo comprimento quando $d = \frac{m x}{x + 2}$ . Ao desenhar os caminhos, obtém-se um triângulo retângulo de base $a = m x$ , altura $b = m + d$ e hipotenusa $c = m (1 + x) - d$ . Com o valor indicado para $d$ , essas medidas satisfazem $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Se $m$ e $x$ forem racionais, $d$ , $a$ , $b$ e $c$ também serão. Multiplicando as três medidas pelo mínimo múltiplo comum de seus denominadores, obtêm-se lados inteiros. Por exemplo, se $m = 3$ e $x = 1$ , então $d = 1$ e os lados são 3, 4 e 5.

Equação de Pell e composição de soluções

Para encontrar números inteiros que satisfaçam certas equações diofantinas do segundo grau, Brahmagupta usava resultados já encontrados para produzir outros. Um desses problemas se escreve hoje como $x^{2} - N y^{2} = 1$ e recebe o nome de equação de Pell. Nesse caso, $N$ é um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito. A combinação de soluções de equações auxiliares recebe o nome de bhāvanā.

A natureza dos quadrados:
18.64. [Escreva] duas vezes a raiz quadrada de um quadrado dado, multiplicada por um multiplicador e aumentada ou diminuída de um [número] arbitrário. O produto do primeiro [par], multiplicado pelo multiplicador, junto com o produto do último [par], é o último resultado calculado.
18.65. A soma dos produtos cruzados é o primeiro. O termo aditivo é igual ao produto dos termos aditivos. As duas raízes quadradas, divididas pelo termo aditivo ou subtrativo, são os rūpas aditivos.

Para pôr a bhāvanā em símbolos, tomam-se duas expressões da forma $x^{2} - N y^{2}$ . O produto delas pode ser reescrito como outra expressão do mesmo tipo, de acordo com a identidade:

(x_{1}^{2} - N y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} - N y_{2}^{2}) = (x_{1} x_{2} + N y_{1} y_{2})^{2} - N (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})^{2},

Quando $N = 1$ , ela assume a forma de uma identidade conhecida por Diofanto:

(x_{1}^{2} - y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} - y_{2}^{2}) = (x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})^{2} - (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})^{2} .

Se $(x_{1}, y_{1})$ resolve $x^{2} - N y^{2} = k_{1}$ e $(x_{2}, y_{2})$ resolve $x^{2} - N y^{2} = k_{2}$ , a identidade dá o novo par $(x_{1} x_{2} + N y_{1} y_{2}, x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ , que resolve $x^{2} - N y^{2} = k_{1} k_{2}$ . Brahmagupta formava, com esse procedimento, uma sequência de equações do tipo $x^{2} - N y^{2} = k_{i}$ . Não encontrou um método que funcionasse da mesma maneira para todo $N$ , mas mostrou como chegar a uma solução de $x^{2} - N y^{2} = 1$ quando uma equação auxiliar tem solução inteira para $k = - 1$ , $k = \pm 2$ ou $k = \pm 4$ .

No caso $x^{2} - 92 y^{2} = 1$ , Brahmagupta partiu, entre outros passos, da igualdade $92 \cdot 1^{2} + 8 = 1 0^{2}$ e chegou a $x = 1151$ e $y = 120$ , a menor solução inteira positiva. A própria equação explica outra utilidade desses pares: quando $x^{2} - N y^{2} = 1$ , dividir $x$ por $y$ dá uma aproximação de $\sqrt{N}$ .

O "pulverizador" já havia entrado nas regras para equações com mais de uma incógnita. Esse procedimento, relacionado ao algoritmo de Euclides, reaparece no método cíclico chamado chakravāla, desenvolvido depois de Brahmagupta. Bhaskara II expôs esse método por volta de 1150. Uma obra anterior, conhecida por uma citação do século XI, já o atribuía a Jayadeva.

Identidade de Brahmagupta–Fibonacci

Ao substituir $N$ por $- 1$ na identidade de composição, cada expressão $x^{2} - N y^{2}$ se torna uma soma de dois quadrados. O resultado é a identidade de Brahmagupta–Fibonacci. Essa substituição se aplica à identidade algébrica, já que a equação de Pell acima foi formulada para $N$ positivo.

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} .

Geometria

Ao estudar figuras planas no capítulo 12, Brahmagupta calcula áreas, lados, diagonais e alturas de triângulos e quadriláteros. Também combina triângulos retângulos para construir triângulos isósceles e escalenos, retângulos, trapézios isósceles, trapézios isósceles com três lados iguais e quadriláteros escalenos inscritíveis. Seus versos sobre quadriláteros podem ser lidos em sequência, porque uma relação geométrica é usada na seguinte.

Fórmula de Brahmagupta

Se os quatro vértices de um quadrilátero ficam sobre a mesma circunferência, ele é um quadrilátero cíclico. Brahmagupta calculou sua área a partir dos comprimentos dos quatro lados por meio da fórmula de Brahmagupta. No tratado, a regra aparece ao lado de um cálculo aproximado:

12.21. A área aproximada é o produto das metades das somas dos lados opostos do triângulo e do quadrilátero. A [área] exata é a raiz quadrada do produto das metades das somas dos lados, diminuídas de [cada] lado do quadrilátero.

Chamando os quatro lados sucessivos de $p$ , $q$ , $r$ e $s$ , a estimativa de área multiplica as médias dos pares opostos: $\frac{p + r}{2} \cdot \frac{q + s}{2}$ . Para calcular a área exata, toma-se primeiro o semiperímetro, isto é, a metade da soma dos lados, $t = \frac{p + q + r + s}{2}$ . A fórmula fica:

\sqrt{(t - p) (t - q) (t - r) (t - s)} .

O texto de Brahmagupta não exige expressamente que o quadrilátero seja inscritível, mas essa condição está implícita nas regras para a área exata. Se um dos lados for tomado formalmente como zero, o quadrilátero se reduz a um triângulo e a expressão se torna a fórmula de Herão.

Triângulos

Quando se traça a altura de um triângulo até sua base, o ponto em que ela chega divide a reta da base em dois segmentos. Brahmagupta dá uma regra para encontrar essas medidas a partir dos lados do triângulo:

12.22. A base, diminuída e aumentada da diferença entre os quadrados dos lados dividida pela base, fornece, após a divisão por dois, os segmentos corretos. A perpendicular [altura] é a raiz quadrada do quadrado de um lado diminuído do quadrado de seu segmento.

Se a base mede $b$ e os outros lados medem $a$ e $c$ , a regra pode ser escrita como $\frac{1}{2} (b \pm \frac{c^{2} - a^{2}}{b})$ . Com o pé da altura dentro da base, os dois resultados são os comprimentos dos segmentos. Num triângulo obtusângulo, a altura pode alcançar o prolongamento da base, e um dos resultados é então um segmento orientado, com sinal.

Brahmagupta também constrói triângulos com lados e área racionais, ou seja, expressos por frações de inteiros. Para uma família desses triângulos, os três lados $a$ , $b$ e $c$ são obtidos a partir de $u$ , $v$ e $w$ pela regra:

a = \frac{1}{2} (\frac{u^{2}}{v} + v), b = \frac{1}{2} (\frac{u^{2}}{w} + w), c = \frac{1}{2} (\frac{u^{2}}{v} - v + \frac{u^{2}}{w} - w),

Podem-se escolher números naturais $u$ , $v$ e $w$ que satisfaçam $0 < v < u$ e $0 < w < u$ . Valores racionais adequados também dão triângulos dessa família.

Diagonais e teorema de Brahmagupta

Em seguida, Brahmagupta passa à diagonal e à altura de um trapézio isósceles, que ele chama de quadrilátero "não desigual":

12.23. A raiz quadrada da soma dos dois produtos de lados opostos de um quadrilátero não desigual é a diagonal. Do quadrado da diagonal, subtraia o quadrado da metade da soma da base com o lado superior; a raiz quadrada é a perpendicular [altura].

Se os lados sucessivos do trapézio forem $p$ , $q$ , $r$ e $s$ , cada diagonal mede $\sqrt{p r + q s}$ . O tratado também dá regras para as circunferências que passam pelos vértices de um trapézio isósceles e de um quadrilátero escaleno, além de regras para as diagonais de um quadrilátero escaleno inscritível.

No teorema de Brahmagupta, as diagonais de um quadrilátero inscritível se cruzam em ângulo reto. Se uma reta passar pelo cruzamento e também for perpendicular a um dos lados, ela cortará o lado oposto ao meio. Os versos 12.30–31 trabalham com os segmentos formados pelas diagonais e pelas alturas nessa figura:

12.30–31. Imagine dois triângulos dentro [de um quadrilátero inscritível] de lados desiguais; as duas diagonais são as duas bases. Seus segmentos são, separadamente, os segmentos superiores e inferiores [formados] no cruzamento das diagonais. Os dois [segmentos inferiores] das duas diagonais são dois lados de um triângulo; a base [do quadrilátero é a base desse triângulo]. Sua perpendicular é a parte inferior da perpendicular [central]; a parte superior da perpendicular [central] é a metade da soma das perpendiculares [dos lados] diminuída da [parte inferior da perpendicular central].

Aproximações de π

Para calcular a circunferência e a área de um círculo a partir do diâmetro e do raio, Brahmagupta precisa de um valor para π. No verso 12.40, ele dá um valor para cálculos práticos e outro mais preciso:

12.40. O diâmetro e o quadrado do raio, cada um multiplicado por 3, dão, respectivamente, a circunferência e a área [de um círculo] para uso prático. Os [valores] mais precisos são as raízes quadradas dos quadrados desses dois resultados multiplicados por dez.

Brahmagupta usa 3 para os cálculos práticos e $\sqrt{10} \approx 3,1622 \dots$ como aproximação mais precisa de π, com diferença relativa de cerca de 0,66%.

Volumes e mensuração

Ao passar das figuras planas para os sólidos, Brahmagupta calcula volumes e áreas de superfície e considera também cavidades escavadas. Trata de prismas retangulares, pirâmides, troncos de pirâmide de base quadrada e da profundidade média de poços. Para um tronco de pirâmide, chama de volume "pragmático" o produto da profundidade pelo quadrado da média dos lados das faces superior e inferior. O volume "superficial" é a profundidade multiplicada pela média das áreas das duas faces.

Trigonometria

Nos cálculos astronômicos, uma tabela de senos dava valores para ângulos já escolhidos. Se o ângulo procurado ficasse entre dois deles, era preciso estimar seu valor por interpolação. Brahmagupta apresentou uma tabela e regras para fazer esse cálculo.

Tabela de senos

No capítulo 2 do Brāhmasphuṭasiddhānta, "Longitudes verdadeiras dos planetas", Brahmagupta reúne valores da função seno numa tabela trigonométrica. Em vez de escrever simplesmente os algarismos, os versos os substituem por nomes de objetos e seres conhecidos:

2.2–5. Os senos: os progenitores, os gêmeos; a Ursa Maior, os gêmeos, os Vedas; os deuses, os fogos, seis; os sabores, os dados, os deuses; a Lua, cinco, o céu, a Lua; a Lua, as flechas, os sóis [...]

Essa maneira de registrar números era comum nos tratados em sânscrito: cada palavra fornece um algarismo ou grupo de algarismos de acordo com uma quantidade conhecida. "Progenitores" remete aos 14 "Manus" da cosmologia indiana; "gêmeos" dá 2; as sete estrelas da Ursa Maior dão 7; os Vedas dão 4; e o dado tradicional dá 6 por suas faces. Brahmagupta usa um raio de $R = 3270$ como escala da tabela, em vez do raio 1 usado para escrever senos atualmente. Os 24 valores correspondem, com arredondamentos, a $3270 \sin \frac{π n}{48}$ , para $n = 1, \dots, 24$ . Cada passo de $n$ aumenta o ângulo em 3,75°, até chegar a 90° e ao valor 3.270.

Valores da tabela de senos, com $R = 3270$
$n$	Valor	$n$	Valor
1	214	13	2.459
2	427	14	2.594
3	638	15	2.719
4	846	16	2.832
5	1.051	17	2.933
6	1.251	18	3.021
7	1.446	19	3.096
8	1.635	20	3.159
9	1.817	21	3.207
10	1.991	22	3.242
11	2.156	23	3.263
12	2.312	24	3.270

Interpolação de senos

Entre os ângulos já registrados em sua tabela, Brahmagupta calculava outros senos por interpolação, acompanhando a variação dos valores conhecidos. Essa regra está no Brāhmasphuṭasiddhānta e volta a ser usada no Khaṇḍakhādyaka, de 665. Há também uma versão para intervalos iguais em outro texto anterior seu e uma forma posterior para intervalos desiguais. Na linguagem algébrica atual, a regra para intervalos iguais equivale a um caso da fórmula de interpolação de Newton–Stirling.

Para aplicar a regra, conhecem-se os valores de uma função $f$ em $a - h$ , $a$ e $a + h$ , três pontos igualmente espaçados, com $h > 0$ . Busca-se o valor num ponto intermediário $a + x h$ , com $- 1 \leq x \leq 1$ . A estimativa leva em conta como esses valores mudam de um ponto ao seguinte:

f (a + x h) \approx f (a) + x \frac{Δ f (a) + Δ f (a - h)}{2} + x^{2} \frac{Δ^{2} f (a - h)}{2},

O símbolo $Δ f (a) = f (a + h) - f (a)$ indica a diferença entre dois valores consecutivos. Já $Δ^{2} f (a - h) = f (a + h) - 2 f (a) + f (a - h)$ combina essas diferenças para mostrar como elas mudam de um intervalo para o seguinte.

Física

Ao tratar da gravidade, Brahmagupta atribuiu a queda dos corpos à capacidade natural da Terra de atraí-los. Albiruni conservou uma passagem em que essa atração é comparada ao movimento da água:

A Terra é igual por todos os lados; todas as pessoas sobre ela permanecem eretas, e todas as coisas pesadas caem em direção à Terra por uma lei da natureza, pois é da natureza da Terra atrair e reter as coisas, assim como é da natureza da água correr [...]. Se algo quiser descer mais fundo do que a Terra, que tente. A Terra é a única coisa "baixa", e as sementes sempre voltam a ela, seja qual for a direção em que forem lançadas, e nunca sobem a partir da Terra.

Astronomia

Nos primeiros capítulos do Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta discute como relacionar os cálculos astronômicos à posição e ao movimento dos astros. As divergências sobre as medidas e os modelos usados nesses cálculos formam um dos primeiros registros de divisão entre matemáticos indianos. Ele rejeita, por exemplo, a rotação da Terra defendida por Ariabata e adota uma Terra imóvel. Há críticas a outras teorias nos dez primeiros capítulos de astronomia, seguidas por um capítulo inteiro dedicado a elas, o 11. Os capítulos 12 e 18 não contêm críticas desse tipo.

Ao calcular a duração do ano no Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta chegou a 365 dias, 6 horas, 5 minutos e 19 segundos. No Khaṇḍakhādyaka, adotou 365 dias, 6 horas, 12 minutos e 36 segundos. Também mudou a organização dos cálculos: apesar das críticas a Ariabata no primeiro tratado, seguiu na primeira parte do segundo a escola Ardharātrika, fundada por ele, antes de apresentar seu próprio sistema revisto.

Para explicar a forma do crescente da Lua, Brahmagupta considera que ela recebe luz do Sol e está mais perto da Terra do que ele. No capítulo 7 do Brāhmasphuṭasiddhānta, "Crescente lunar", contesta assim a ordem dos astros encontrada em textos tradicionais e recorre à imagem de um pote iluminado de um lado:

1. Se a Lua estivesse acima do Sol, como se poderia calcular o crescimento e a diminuição [de sua parte iluminada], e assim por diante, a partir da longitude lunar? A metade próxima estaria sempre iluminada.
2. Assim como a metade de um pote exposto à luz solar e voltada para o Sol é clara, enquanto a outra metade é escura, o mesmo ocorre com [a iluminação] da Lua [se ela estiver] abaixo do Sol.
3. A luminosidade aumenta na direção do Sol. No fim de uma quinzena clara [de Lua crescente], a metade próxima está iluminada e a distante está escura. Desse modo, a elevação das pontas [do crescente pode ser obtida] pelo cálculo [...].

A parte iluminada da Lua visível da Terra muda conforme mudam as posições da Lua e do Sol. Brahmagupta calcula essa parte a partir do ângulo entre os dois astros.

No Khandakhadyaka, seus cálculos abrangem as longitudes dos planetas, a rotação diurna, os eclipses solares e lunares, o nascimento e o ocaso dos astros, o crescente lunar e as conjunções planetárias.

Ver também

Brāhmasphuṭasiddhānta, tratado de matemática e astronomia de Brahmagupta.
Fórmula de interpolação de Brahmagupta, cálculo de valores intermediários de seno.
Método chakravala, procedimento posterior para equações indeterminadas.
Matemática indiana, desenvolvimento da matemática no subcontinente indiano.
Equação de Pell, equação estudada por Brahmagupta.
Triângulo inteiro, figura relacionada aos triângulos racionais estudados por Brahmagupta.
Quadrilátero cíclico, figura à qual se aplica a fórmula de Brahmagupta.
Teorema de Herão, fórmula de área obtida como caso particular da fórmula de Brahmagupta.
História da matemática, contexto histórico dos resultados matemáticos de Brahmagupta.
História da álgebra, contexto da notação algébrica usada em seus tratados.

Notas

↑ Na cronologia da era Saka, 550 corresponde a 628, ano em que Brahmagupta disse ter trinta anos.
↑ A passagem é conhecida por meio de Alberuni's India, obra de Albiruni escrita por volta de 1030.

Referências

1 2 3 4 5 6 7 8 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Brahmagupta». MacTutor History of Mathematics Archive. Consultado em 27 de setembro de 2026
1 2 «Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'». Bodleian Libraries, University of Oxford. 14 de setembro de 2017. Consultado em 27 de setembro de 2026. Cópia arquivada em 7 de agosto de 2026
↑ Bradley, Michael (2006). The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. [S.l.]: Infobase Publishing. p. 86
↑ Mackenzie, Dana (2012). The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations. [S.l.]: Princeton University Press. p. 61. Cópia arquivada em 14 de janeiro de 2026
1 2 Sachau, Edward C. (1910). Alberuni's India, Volume I. Londres: Kegan Paul, Trench and Trübner. p. 153
1 2 3 4 Thomas Hockey, ed. (2007). «Brahmagupta». Biographical Encyclopedia of Astronomers (PDF). [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 165. ISBN 978-0387304007
1 2 3 4 5 Pingree, David E. (1981). Census of the Exact Sciences in Sanskrit. 4. [S.l.]: American Philosophical Society. pp. 254–256. Cópia arquivada em 28 de setembro de 2026
1 2 Bhattacharyya (2011), p. 185.
1 2 3 Gupta (2008), p. 162.
↑ Bhattacharyya (2011), pp. 185–186.
↑ Bose, Sen e Subbarayappa (1971), pp. 95–97.
1 2 3 4 Gupta (2008), p. 163.
1 2 Brahmagupta; Bhaskara II (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. [S.l.]: John Murray. p. 319. Cópia arquivada em 30 de novembro de 2024 Tradução de Henry Thomas Colebrooke.
↑ Avari (2013), p. 32.
1 2 3 van Bladel, Kevin (2014). «Eighth Century Indian Astronomy in the Two Cities of Peace». In: Asad Q. Ahmed, Behnam Sadeghi e Robert G. Hoyland. Islamic Cultures, Islamic Contexts: Essays in Honor of Professor Patricia Crone. [S.l.]: Brill. pp. 260–261. ISBN 978-90-04-28171-4. Cópia arquivada em 12 de dezembro de 2023
↑ Hopkins, J. F. P. (2006). «Geographical and Navigational Literature». In: M. J. L. Young, J. D. Latham e R. B. Serjeant. Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 302–303. ISBN 978-0-521-02887-5. Cópia arquivada em 25 de fevereiro de 2025
↑ Allard, André (1991). «The Arabic Origins and Development of Latin Algorisms in the Twelfth Century». Arabic Sciences and Philosophy. 1 (2): 233–283. doi:10.1017/S0957423900001508. Cópia arquivada em 28 de setembro de 2026
↑ Plofker (2009), pp. 257–259.
1 2 3 4 5 6 7 Plofker (2007), pp. 428–434.
↑ Brahmagupta (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. [S.l.]: John Murray. pp. 346–347 Tradução de Henry Thomas Colebrooke.
1 2 3 Strick, Heinz Klaus (2021). «Brahmagupta» (PDF). MacTutor History of Mathematics Archive. Consultado em 27 de setembro de 2026. Cópia arquivada (PDF) em 28 de setembro de 2026
1 2 Boyer (1991), p. 221.
↑ Tiwari, Sarju (1992). Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science: From Ancient Times to Modern Age. [S.l.]: Mittal Publications. p. 91. ISBN 978-81-7099-404-6. Cópia arquivada em 16 de dezembro de 2023
↑ Plofker (2007), p. 422.
1 2 3 4 5 6 7 Plofker (2007), pp. 421–427.
↑ Plofker (2007), p. 423.
1 2 Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Londres: Allen Lane/The Penguin Press. pp. 68–75
↑ Plofker (2009), pp. 122–123.
↑ Boyer (1991), p. 220.
1 2 Plofker (2009), pp. 154–155.
1 2 Plofker (2007), p. 426.
1 2 Stillwell (2004), pp. 44–46.
1 2 Stillwell (2004), pp. 72–74.
1 2 Plofker (2009), pp. 194–195.
↑ Stillwell (2004), pp. 74–76.
1 2 Dutta, Amartya Kumar (2023). «Mathematics in India». Bhāvanā. 7 (4). Consultado em 28 de setembro de 2026. Cópia arquivada em 2 de agosto de 2024
↑ Waldschmidt, Michel (7 de setembro de 2024). «On the Brahmagupta–Fermat–Pell equation» (PDF). Kerala Mathematical Association. Consultado em 27 de setembro de 2026. Cópia arquivada (PDF) em 3 de dezembro de 2023 P. 48.
↑ Kichenassamy, Satyanad (2010). «Brahmagupta's derivation of the area of a cyclic quadrilateral». Historia Mathematica. 37 (1): 28–61. doi:10.1016/j.hm.2009.08.004
↑ Plofker (2007), p. 424.
↑ Plofker (2009), pp. 144–145.
↑ Stillwell (2004), p. 77.
↑ Plofker (2009), pp. 146–147.
↑ Kichenassamy, Satyanad (2012). «Brahmagupta's propositions on the perpendiculars of cyclic quadrilaterals». Historia Mathematica. 39 (4): 387–404. doi:10.1016/j.hm.2012.07.004
↑ Plofker (2007), p. 427.
1 2 Plofker (2009), pp. 81–82 e 105.
↑ Plofker (2007), p. 419.
↑ Plofker (2007), pp. 419–420.
↑ Joseph (2000), pp. 285–286.
↑ Gupta, R. C. (1969). «Second Order Interpolation in Indian Mathematics Up To the Fifteenth Century» (PDF). Indian Journal of History of Science. 4 (1–2): 86–98. Cópia arquivada (PDF) em 14 de junho de 2024
↑ Pickover, Clifford (2008). Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them. [S.l.]: Oxford University Press. p. 105. ISBN 978-0-19-979268-9. Cópia arquivada em 5 de novembro de 2025
↑ Sen, Amartya (2005). The Argumentative Indian. [S.l.]: Allen Lane. p. 29. ISBN 978-0-7139-9687-6
↑ Alberuni's India. 1. Londres: Kegan Paul, Trench, Trübner & Co. 1910. p. 272 Tradução de Edward C. Sachau.
1 2 Plofker (2007), pp. 418–419.
1 2 3 Plofker (2007), pp. 419–420.

Bibliografia

Cai, Tianxin (2023). A Brief History of Mathematics: A Promenade through the Civilizations of Our World. [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-031-26841-0. Cópia arquivada em 16 de dezembro de 2023
Avari, Burjor (2013). Islamic Civilization in South Asia: A History of Muslim Power and Presence in the Indian Subcontinent. [S.l.]: Routledge. ISBN 978-0-415-58061-8
Bose, D. M.; Sen, S. N.; Subbarayappa, B. V. (1971). A Concise History of Science in India. Nova Déli: Indian National Academy of Science. pp. 95–97
Bhattacharyya, R. K. (2011). «Brahmagupta: The Ancient Indian Mathematician». In: B. S. Yadav e Man Mohan. Ancient Indian Leaps into Mathematics. [S.l.]: Springer Science & Business Media. pp. 185–192. ISBN 978-0-8176-4695-0. Cópia arquivada em 2 de fevereiro de 2026
Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-54397-7
Bose, Mainak Kumar (1988). Late Classical India. [S.l.]: A. Mukherjee & Co. Cópia arquivada em 5 de dezembro de 2025
Thurston, Hugh (1993). Early Astronomy. Nova Iorque: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94107-3
Kitāb al-Jawharatayn al-'atīqatayn al-mā'i'atayn min al-ṣafrā' wa-al-bayḍā': al-dhahab wa-al-fiḍḍah. Cairo: Maṭba'at Dār al-Kutub wa-al-Wathā'iq al-Qawmīyah bi-al-Qāhirah. 2004. pp. 43–44, 87. OCLC 607846741
Cooke, Roger (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. [S.l.]: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3
Gupta, Radha Charan (2008). «Brahmagupta». In: Helaine Selin. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. [S.l.]: Springer. pp. 162–163. ISBN 978-1-4020-4559-2. Cópia arquivada em 27 de novembro de 2024
Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8
O'Leary, De Lacy (2001). How Greek Science Passed to the Arabs 2 ed. [S.l.]: Goodword Books. ISBN 8187570245 Publicado originalmente em 1948.
Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6. Cópia arquivada em 11 de fevereiro de 2026
Plofker, Kim (2007). «Mathematics in India». In: Victor Katz. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9. Cópia arquivada em 11 de janeiro de 2026
Stillwell, John (2004). Mathematics and its History 2 ed. [S.l.]: Springer Science + Business Media. ISBN 0-387-95336-1. Cópia arquivada em 13 de janeiro de 2026
Thomas Hockey, ed. (2007). «Brahmagupta». Biographical Encyclopedia of Astronomers. [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 165. ISBN 978-0387304007

Leitura adicional

Ikeyama, Setsuro (2003). Brāhmasphuṭasiddhānta (Chapter 21) of Brahmagupta with Commentary of Pṛthūdhakasvāmin, Critically Edited with English Translation and Notes. [S.l.]: INSA
Pingree, David. Census of the Exact Sciences in Sanskrit (CESS). [S.l.]: American Philosophical Society A4, p. 254.
Sharma, Shashi S. Mathematics & Astronomers of Ancient India. [S.l.]: Pitambar Publishing. ISBN 9788120914216. Cópia arquivada em 16 de dezembro de 2023
"Brahmagupta", por John J. O'Connor e Edmund F. Robertson, MacTutor History of Mathematics Archive (em inglês).

Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Brahmagupta

"Antes de ser número, o zero foi um símbolo de ausência", Instituto de Matemática Pura e Aplicada (em português).
"As origens e os avanços da matemática indiana", Instituto de Matemática Pura e Aplicada (em português).
"Como a Índia revolucionou a Matemática antes do Ocidente", Instituto de Matemática Pura e Aplicada (em português).
"Áreas de Figuras Planas", Portal da OBMEP, aula sobre a fórmula de Brahmagupta (em português).
"Origens da álgebra", Khan Academy (em português).
Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta, edição de Ram Swarup Sharma, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research, 1966, introdução em inglês, texto e comentários em sânscrito e hindi (PDF).
Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara, tradução de Henry Thomas Colebrooke no Internet Archive (em inglês).
Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara, digitalização no Google Livros (em inglês).
"Brahmagupta", MacTutor History of Mathematics Archive (em inglês).
Obras de Brahmagupta no Wikisource em inglês (em inglês).

[5] Na cronologia da era Saka, 550 corresponde a 628, ano em que Brahmagupta disse ter trinta anos.

[54] A passagem é conhecida por meio de Alberuni's India, obra de Albiruni escrita por volta de 1030.

[MacTutor-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Brahmagupta». MacTutor History of Mathematics Archive. Consultado em 27 de setembro de 2026

[Bodleian2017-2] 1 2 «Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'». Bodleian Libraries, University of Oxford. 14 de setembro de 2017. Consultado em 27 de setembro de 2026. Cópia arquivada em 7 de agosto de 2026

[Bradley-3] Bradley, Michael (2006). The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. [S.l.]: Infobase Publishing. p. 86

[4] Mackenzie, Dana (2012). The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations. [S.l.]: Princeton University Press. p. 61. Cópia arquivada em 14 de janeiro de 2026

[Sachau2013-6] 1 2 Sachau, Edward C. (1910). Alberuni's India, Volume I. Londres: Kegan Paul, Trench and Trübner. p. 153

[BEA2007-7] 1 2 3 4 Thomas Hockey, ed. (2007). «Brahmagupta». Biographical Encyclopedia of Astronomers (PDF). [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 165. ISBN 978-0387304007

[Pingree-8] 1 2 3 4 5 Pingree, David E. (1981). Census of the Exact Sciences in Sanskrit. 4. [S.l.]: American Philosophical Society. pp. 254–256. Cópia arquivada em 28 de setembro de 2026

[Bhattacharyya185-9] 1 2 Bhattacharyya (2011), p. 185.

[Gupta162-10] 1 2 3 Gupta (2008), p. 162.

[Bhattacharyya185186-11] Bhattacharyya (2011), pp. 185–186.

[Bose1971-12] Bose, Sen e Subbarayappa (1971), pp. 95–97.

[Gupta163-13] 1 2 3 4 Gupta (2008), p. 163.

[Brahmagupta1817-14] 1 2 Brahmagupta; Bhaskara II (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. [S.l.]: John Murray. p. 319. Cópia arquivada em 30 de novembro de 2024 Tradução de Henry Thomas Colebrooke.

[Avari32-15] Avari (2013), p. 32.

[vanBladel-16] 1 2 3 van Bladel, Kevin (2014). «Eighth Century Indian Astronomy in the Two Cities of Peace». In: Asad Q. Ahmed, Behnam Sadeghi e Robert G. Hoyland. Islamic Cultures, Islamic Contexts: Essays in Honor of Professor Patricia Crone. [S.l.]: Brill. pp. 260–261. ISBN 978-90-04-28171-4. Cópia arquivada em 12 de dezembro de 2023

[YoungLatham2006-17] Hopkins, J. F. P. (2006). «Geographical and Navigational Literature». In: M. J. L. Young, J. D. Latham e R. B. Serjeant. Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 302–303. ISBN 978-0-521-02887-5. Cópia arquivada em 25 de fevereiro de 2025

[Allard1991-18] Allard, André (1991). «The Arabic Origins and Development of Latin Algorisms in the Twelfth Century». Arabic Sciences and Philosophy. 1 (2): 233–283. doi:10.1017/S0957423900001508. Cópia arquivada em 28 de setembro de 2026

[Plofker2009_258-19] Plofker (2009), pp. 257–259.

[Plofker18-20] 1 2 3 4 5 6 7 Plofker (2007), pp. 428–434.

[Colebrooke346-21] Brahmagupta (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. [S.l.]: John Murray. pp. 346–347 Tradução de Henry Thomas Colebrooke.

[Strick2021-22] 1 2 3 Strick, Heinz Klaus (2021). «Brahmagupta» (PDF). MacTutor History of Mathematics Archive. Consultado em 27 de setembro de 2026. Cópia arquivada (PDF) em 28 de setembro de 2026

[Boyer221-23] 1 2 Boyer (1991), p. 221.

[Tiwari1992-24] Tiwari, Sarju (1992). Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science: From Ancient Times to Modern Age. [S.l.]: Mittal Publications. p. 91. ISBN 978-81-7099-404-6. Cópia arquivada em 16 de dezembro de 2023

[Plofker422-25] Plofker (2007), p. 422.

[Plofker12-26] 1 2 3 4 5 6 7 Plofker (2007), pp. 421–427.

[Plofker423-27] Plofker (2007), p. 423.

[Kaplan-28] 1 2 Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Londres: Allen Lane/The Penguin Press. pp. 68–75

[Plofker2009_122-29] Plofker (2009), pp. 122–123.

[Boyer220-30] Boyer (1991), p. 220.

[Plofker2009_154-31] 1 2 Plofker (2009), pp. 154–155.

[Plofker426-32] 1 2 Plofker (2007), p. 426.

[Stillwell4446-33] 1 2 Stillwell (2004), pp. 44–46.

[Stillwell7274-34] 1 2 Stillwell (2004), pp. 72–74.

[Plofker2009_194-35] 1 2 Plofker (2009), pp. 194–195.

[Stillwell7476-36] Stillwell (2004), pp. 74–76.

[Dutta2023-37] 1 2 Dutta, Amartya Kumar (2023). «Mathematics in India». Bhāvanā. 7 (4). Consultado em 28 de setembro de 2026. Cópia arquivada em 2 de agosto de 2024

[38] Waldschmidt, Michel (7 de setembro de 2024). «On the Brahmagupta–Fermat–Pell equation» (PDF). Kerala Mathematical Association. Consultado em 27 de setembro de 2026. Cópia arquivada (PDF) em 3 de dezembro de 2023 P. 48.

[Kichenassamy2010-39] Kichenassamy, Satyanad (2010). «Brahmagupta's derivation of the area of a cyclic quadrilateral». Historia Mathematica. 37 (1): 28–61. doi:10.1016/j.hm.2009.08.004

[Plofker424-40] Plofker (2007), p. 424.

[Plofker2009_145-41] Plofker (2009), pp. 144–145.

[Stillwell77-42] Stillwell (2004), p. 77.

[Plofker2009_147-43] Plofker (2009), pp. 146–147.

[Kichenassamy2012-44] Kichenassamy, Satyanad (2012). «Brahmagupta's propositions on the perpendiculars of cyclic quadrilaterals». Historia Mathematica. 39 (4): 387–404. doi:10.1016/j.hm.2012.07.004

[Plofker427-45] Plofker (2007), p. 427.

[Plofker2009_81-46] 1 2 Plofker (2009), pp. 81–82 e 105.

[Plofker419-47] Plofker (2007), p. 419.

[Plofker419420-48] Plofker (2007), pp. 419–420.

[Joseph285286-49] Joseph (2000), pp. 285–286.

[Gupta1969-50] Gupta, R. C. (1969). «Second Order Interpolation in Indian Mathematics Up To the Fifteenth Century» (PDF). Indian Journal of History of Science. 4 (1–2): 86–98. Cópia arquivada (PDF) em 14 de junho de 2024

[Oxford-51] Pickover, Clifford (2008). Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them. [S.l.]: Oxford University Press. p. 105. ISBN 978-0-19-979268-9. Cópia arquivada em 5 de novembro de 2025

[Sen-52] Sen, Amartya (2005). The Argumentative Indian. [S.l.]: Allen Lane. p. 29. ISBN 978-0-7139-9687-6

[Alberuni-53] Alberuni's India. 1. Londres: Kegan Paul, Trench, Trübner & Co. 1910. p. 272 Tradução de Edward C. Sachau.

[Plofker418419-55] 1 2 Plofker (2007), pp. 418–419.

[Plofker420-56] 1 2 3 Plofker (2007), pp. 419–420.

v d e Astronomia indiana
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Instrumentos	Esfera armilar · Astrolábio · Globo celestial · Compasso · Equipe misturada · Dioptra · Anel equatorial · Relógio solar equatorial · Globo terrestre · Gnômon · Instrumento de mural · Quadrante · Sextante · Relógio solar · Triquetrum · Relógio de água
Conceitos	Inclinação axial · Azimute · Direção cardinal · Equador celestial · Esfera celestial · Esferas celestiais · Centro de massa · Órbita circular · Deferente e epiciclo · Rotação da Terra · Excentricidade · Eclíptica · Órbita elíptica · Equante · Geocentrismo · Geo-heliocentrismo · Globo terrestre · Gravidade · Heliocentrismo · Jyotiṣa · Kalpa · Luar · Nakshatra · Paralaxe · Precessão · Ritu · Terra esférica · Luz solar · Tithi · Yuga · Signo zodiacal · Manvantara
Centros	Jantar Mantar (Jaipur) · Escola Kerala de astronomia e matemática · Observatório · Ujjain · Yantra Mandir · Jantar Mantar (Déli)
Influências	Astronomia babilônica · Astronomia helenística · Astronomia islâmica
Influenciados	Astronomia chinesa · Astronomia europeia · Astronomia islâmica
Meses do Calendário védico	1. Chaitra (चैत्र) 2. Vaisakha (वैशाख) 3. Jyeshta (ज्येष्ठ) 4. Aashaadha (आषाढ) 5. Shraavana (श्रावण) 6. Bhadrapada (भाद्रपद) 7. Ashwin (अश्विन्) 8. Kartik (कार्तिक) 9. Margashirsha (मार्गशीर्ष) 10. Pausha (पौष) 11. Maagha (माघ) 12. Phalguna (फाल्गुन)