Alcuarismi

Conteúdo e métodos

Al-Jabr é a forma abreviada de الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala, título traduzido em inglês como The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. O livro foi escrito em Bagdá durante o reinado de Almamune, entre 813 e 833, e dedicado ao califa. É um dos dois primeiros livros árabes de álgebra conhecidos, ao lado do tratado de Ibn Turk, escrito em Bagdá durante o mesmo reinado. A obra trata de equações de primeiro e segundo graus, mensuração de áreas e volumes, problemas comerciais e cálculos de herança na lei islâmica.

A palavra álgebra deriva de al-jabr, parte do título do livro. Al-jabr pode designar a restauração de termos subtraídos, e al-muqābala pode designar o cancelamento de termos semelhantes. Jeffrey Oaks e Haitham Alkhateeb argumentam que, nos textos algébricos árabes, as duas palavras tinham uso mais flexível e podiam expressar o objetivo imediato de uma etapa do cálculo, sem funcionar como nomes rígidos de duas operações invariáveis.

Alcuarismi reduzia os problemas algébricos a seis formas padronizadas, em que os coeficientes são positivos:

• quadrados iguais a raízes: ax² = bx.
• quadrados iguais a número: ax² = c.
• raízes iguais a número: bx = c.
• quadrados e raízes iguais a número: ax² + bx = c.
• quadrados e número iguais a raízes: ax² + c = bx.
• raízes e número iguais a quadrados: bx + c = ax².

Ele não empregava números negativos nem zero como coeficiente, o que exigia a separação em casos. Em exemplos usados para explicar os procedimentos, al-jabr pode transformar x² = 40x − 4x² em 5x² = 40x, enquanto al-muqābala pode reduzir 50 + x² = 29 + 10x a 21 + x² = 10x. As soluções de equações quadráticas recebem justificações geométricas. Uma parte extensa do livro aplica aritmética e equações a heranças e disposições testamentárias.

A fórmula al-jabr wa-al-muqābala aparece também em títulos algébricos atribuídos a Abu Hanifa de Dinavar, Abū Muḥammad al-'Adlī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk, Sinde ibne Ali e Sahl ibn Bišr.

Exemplo de resolução

Os símbolos usados acima não aparecem no texto de Alcuarismi, que escreve os problemas e as soluções em palavras. Num dos exemplos, a tradução de Rosen de 1831 diz:

Se alguém disser: "Divida dez em duas partes. Multiplique uma delas por si mesma. O resultado será igual à outra tomada oitenta e uma vezes." Cálculo: diga que dez menos uma coisa, multiplicado por si mesmo, é cem mais um quadrado menos vinte coisas, e isso é igual a oitenta e uma coisas. Separe as vinte coisas de cem e um quadrado e acrescente-as às oitenta e uma. Terá então cem mais um quadrado, igual a cento e uma raízes. Tome metade das raízes. A metade é cinquenta e meio. Multiplique-a por si mesma, resultando em dois mil quinhentos e cinquenta e um quarto. Subtraia cem. O restante é dois mil quatrocentos e cinquenta e um quarto. Extraia a raiz, que é quarenta e nove e meio. Subtraia-a da metade das raízes, que é cinquenta e meio. Resta um, e esta é uma das duas partes.

Na notação algébrica simbólica, toma-se x para a "coisa", شيء, shayʾ, termo usado para a quantidade desconhecida. O processo é o seguinte:

${\displaystyle (10-x)^{2}=81x}$

${\displaystyle 100+x^{2}-20x=81x}$

${\displaystyle x^{2}+100=101x}$

Se as raízes da equação forem x = p e x = q, então ${\displaystyle {\tfrac {p+q}{2}}=50{\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle pq=100}$ e

${\displaystyle {\frac {p-q}{2}}={\sqrt {\left({\frac {p+q}{2}}\right)^{2}-pq}}={\sqrt {2550{\tfrac {1}{4}}-100}}=49{\tfrac {1}{2}}}$

Uma das raízes é

${\displaystyle x=50{\tfrac {1}{2}}-49{\tfrac {1}{2}}=1}$

Manuscritos e traduções

Há dois testemunhos manuscritos árabes conhecidos do tratado, o Huntington 214 da Biblioteca Bodleiana, em Oxford, e o manuscrito Ḥikmat jabr 4, em Medina. A tradução inglesa de Friedrich August Rosen, publicada em 1831, utilizou o manuscrito de Oxford. O texto foi traduzido ao latim mais de uma vez na Idade Média, entre elas por Roberto de Chester em 1145 e por Gerardo de Cremona, e também circulou em versões vernáculas.

Textos e métodos de cálculo

O Kitāb al-ḥisāb al-hindī, "Livro do cálculo indiano", perdeu-se em árabe e é o mais antigo tratado árabe conhecido sobre os algarismos e o cálculo indianos. O texto tratava da formação dos números e de operações como adição, subtração, duplicação, divisão por dois, multiplicação, divisão, frações e extração de raiz quadrada no sistema decimal posicional.

Também lhe é atribuído um Kitāb al-jamʿ wa-al-tafrīq, "Livro da adição e subtração". Julius Ruska considerou que esse título e Kitāb al-ḥisāb al-hindī poderiam designar a mesma obra, enquanto parte da bibliografia lê de outra forma a atribuição transmitida pelo Fihrist.

Os algoritmos descritos no tratado eram adequados a uma tábua de pó, takht, superfície coberta por pó ou areia em que os algarismos podiam ser escritos, apagados e deslocados. Em 952/953, Al-Uqlidisi já apresentava métodos adaptados a tinta e papel e explicava as desvantagens da tábua de pó. Seu livro é o mais antigo texto árabe preservado sobre o cálculo indiano e também apresenta frações decimais.

Nos textos aritméticos árabes a partir do século IX, ṣifr designava sobretudo o sinal usado para uma posição vazia na escrita dos números, embora alguns autores também efetuassem operações envolvendo esse sinal. O tratado de Alcuarismi usa o sistema indiano de notação decimal posicional, com nove algarismos e um marcador para a posição vazia, e expõe métodos que já faziam parte desse sistema. A obra não constitui um ponto de origem isolado do zero como conceito matemático.

Transmissão latina

O original árabe do Kitāb al-ḥisāb al-hindī e uma tradução latina medieval não chegaram diretamente até nós. Um retrabalho latino da tradução, editado sob o título Algoritmi de numero indorum, conserva parte do conteúdo. A forma Algoritmi, latinização de seu nome, deu origem a algorismo e depois a algoritmo.

Quatro textos latinos preservam versões ou reelaborações da aritmética atribuída a Alcuarismi, sem constituir traduções literais de um único original. São eles Dixit Algorizmi, Liber Ysagogarum Alchorismi, Liber Alchorismi e Liber pulveris.

Dixit Algorizmi, "Assim falou Alcuarismi", abre um manuscrito da Biblioteca da Universidade de Cambridge. Uma tradução do texto foi publicada em 1990.

No início do século XIII, o Liber Abaci de Fibonacci apresentou o sistema numérico hindu-arábico, seus algoritmos de cálculo e técnicas de solução algébrica. John Hannah encontrou no livro justificações que seguem o cânone atribuído a Alcuarismi, enquanto Jens Høyrup argumentou que muitos, possivelmente todos, os empréstimos de Abu Camil chegaram a Fibonacci por vias indiretas.

Zīj as-Sindhind

O Zīj as-Sindhind, زيج السند هند, era um manual de tabelas astronômicas dedicado a Almamune. Outros zījes árabes do tipo Sindhind, baseados em traduções de manuais astronômicos indianos, já circulavam antes de Alcuarismi. O astrônomo Ibne Aladami caracterizou o livro como um resumo preparado a partir de um manual anterior de Alfazari.

Nenhuma cópia do Zīj original chegou até nós. Os textos transmitidos em latim e hebraico pertencem a revisões, comentários e compilações. Por volta do ano 1000, Maslama Almajeriti revisou as tabelas em Al-Andalus, e seu aluno Ibn al-Saffār provavelmente prosseguiu o trabalho editorial. Essa revisão foi traduzida ao latim no século XII, provavelmente por Adelardo de Bath. A forma transmitida reúne regras de cálculo e tabelas astronômicas, mas nem todo elemento preservado pode ser atribuído sem ressalva ao texto original de Alcuarismi.

O material transmitido combina dados e procedimentos de tratados indianos dos séculos V a VII com elementos de tabelas sassânidas, obras gregas, sobretudo de Ptolemeu, e valores obtidos de observações feitas durante o reinado de Almamune. O Zīj não deriva de uma única obra de Brahmagupta.

As tabelas circularam em Bagdá, na Ásia Central e em Al-Andalus, onde foram usadas, comentadas e criticadas. Albiruni dedicou três tratados ao Zīj, e as Tábuas de Toledo, compiladas no século XI, incorporaram tabelas derivadas do material de Alcuarismi. Por volta de 900, Albatani compôs novas tabelas baseadas em Ptolemeu e em suas próprias observações. Parte das tabelas atribuídas ao Zīj chegou ao Ocidente latino pelas Tábuas de Toledo.

Trigonometria

Os testemunhos do Zīj conservam uma tabela de senos. O material também contém uma tabela do "seno das horas" baseada numa tabela de senos. Como o original se perdeu e os testemunhos passaram por revisão em Al-Andalus, nem todas as tabelas trigonométricas dessas recensões podem ser atribuídas ao texto de Alcuarismi. O comentário de Ibn al-Muthannā informa que sua tabela de senos usava raio 150, enquanto a versão latina preservada emprega base 60.

Astronomia prática e instrumentos

Ibne Anadim lista um tratado sobre relógios de sol e dois sobre o astrolábio. O tratado sobre a construção do astrolábio parece perdido. Os manuscritos Landberg 56, em Berlim, e Aya Sofya 4830, em Istambul, contêm textos de astronomia prática, alguns explicitamente atribuídos a Alcuarismi. O mais extenso trata do uso do astrolábio e é o mais antigo texto árabe preservado desse gênero. O corpus recebeu edição, tradução e estudo em 2004. Também lhe é atribuído um Kitāb al-ʿamal bi-al-asṭurlāb.

Um tratado sobre relógios de sol horizontais, ʿAmal al-sāʿāt fī basīṭ al-rukhāmah, é conhecido em dois testemunhos manuscritos, um em Istambul e outro em Medina.

Calendário judaico e cronologia

Alcuarismi escreveu um tratado sobre o calendário judaico intitulado Risāla fi istikhrāj ta'rīkh al-yahūd, رسالة في إستخراج تأريخ اليهود, "Extração da era judaica". A obra explica o ciclo metônico de 19 anos, dá regras para determinar o primeiro dia de Tishrei, calcula o intervalo entre o Anno Mundi e a Era selêucida e fornece regras para a longitude média do Sol e da Lua no calendário hebraico. Um exemplo calculado para 823/824 fixa esse ano como limite anterior para a composição do tratado. Material semelhante aparece nas obras de Albiruni e Maimônides.